1、For personal use only in study and research; not for commercial use蚇 3.3 逻辑运算定理羇 3.3.1 逻辑函数相等有两个逻辑函数 F和 G，如果对于 F和 G的每一种取值组合，对应的输出都相同，我们说这两个逻辑函数相等，记作 F=G。由逻辑函数相等的概念，可以得到下面的推论：如果 F=G,则 F和 G对应的真值表完全相同；反过来，如果两个逻辑函数的真值表完全相同，则 F=G.例 3.3.1 证明 A+AB=A+B解：根据题意，列出真值表如表 3.3.1所示。膁表 3.3.1 例 3.3.1的真值表薀 A B 肇 A+AB
2、蒄 A+B芃 0 0 蚈 0 蒆 0膄 0 1 莄 1 肁 1腿 1 0 羄 1 膂 1腿 1 1 虿 1 蚅 1膃 由表，对于 A+AB和 A+B两个逻辑函数的每一种取值组合，它们的输出完全相同。所以， A+AB=A+B逻辑函数相等的概念是逻辑函数运算、化简和变换的基础。我们介绍的定理、公式都可以利用逻辑函数相等的概念加以证明。3.3.2 逻辑运算公理常用的逻辑运算公理如表薁表 3.3.2 常用逻辑运算公理肈原等式 莅对偶式芄 00=0 蚀 1+1=1蒈 01=10=0 膆 1+0=0+1=1肂 11=1 羂 0+0=0袇 袆肃若 A0，则 A=1 膁若 A1,则 A=0莆3.3.3 逻辑运
3、算定理常用的逻辑运算定理如表 蚆表 3.3.3 常用逻辑运算定理膅逻辑运算定理 艿原等式 肀对偶式莇交换律 羂 AB=BA薁 A+B=B+A葿结合律 膇 A(BC)=(AB)C 羃 A+(B+C)=(A+B)+C蚀分配律 袈 A(B+C)=AB+AC 薃 A+BC=(A+B)(A+C)肅自等律 肂 A1=A 芈 A+0=A0-1律 A0=0 A+1=1互补律 AA=0 A+A=1重叠律 AA=A A+A=A吸收律 A+AB=A A(A+B)=A非非律反演律（摩根定律）3.3.4 常用公式逻辑运算的公式有许多，在表，实际上，只要经过证明的等式都可以在以后的变换和化简时使用。 表 3.3.4 常用
4、公式项目 常用公式 推论与证明1 无2 A+AB=A A+AB+ABC+=A3 A+AB=A+AB+AB=A+B4AB+AC+BC =AB+AC+(A+A)CB =AB+AC+ABC+ABC =AB+AC 5 AB+AC=(A+C)(A+B)(A+C)(A+B)=AB+AC+BC+AA=AB+AC 注：公式 1、2 为吸收律和分配律的应用，公式 3为多余因子定律，公式 4为多余项定律，公式 5为与或和或与转换定律。3.3.5 逻辑代数的三个基本规则1.代入规则 若两个逻辑函数相等，即 F=G，且 F和 G中都存在变量 A，如果将所有出现变量 A的地方都用一个逻辑函数 L代替，则等式仍然成立。这
5、个规则称为代入规则。因为任何一个逻辑函数，它和一个逻辑变量一样，只有两种可能的取值(0 和 1)，所以代入规则是正确的。 有了代入规则，就可以将基本等式（定理、常用公式）中的变量用某一逻辑函数来代替，从而扩大了它们的应用范围。 例 3.3.2 已知等式 A(B+E)=AB+AE,将所有出现 E的地方代之以( C+D)，试证明等式成立。 解: 原式左边= AB+(C+D)=AB+A(C+D)=AB+AC+AD原式右边= AB+A(C+D)=AB+AC+AD 所以等式 AB+(C+D)=AB+A(C+D)成立。注意：在使用代入规则时，必须将所有出现被代替变量的地方都用同一函数代替，否则不正确。2.
6、反演规则 设 L是一个逻辑函数表达式，如果将 L中所有的“”(注意，在逻辑表达式中，不致混淆的地方,“”常被忽略)换为“”，所有的“”换为“”；所有的常量 0换为常量 1，所有的常量 1换为常量 0；所有的原变量换为反变量，所有的反变量换为原变量，这样将得到一个新的逻辑函数，这个新的逻辑函数就是原函数 L的反函数，或称为补函数，记作 。这个规则称为反演规则。反演规则又称为德摩根定理，或称为互补规则。运用反演规则可以方便地求出反函数。例 3.3.3 已知 ，求反函数 。 解：按照反演规则，得例 3.3.4 已知 ，求反函数 。解：按照上述法则得 。注意： (1)使用反演规则时，必须保证运算优先顺
7、序不变，即如果在原函数表达式中， AB之间先运算，再和其他变量进行运算， 那么反函数的表达式中，必须保证 AB之间先运算。(2)对于反变量以外的非号应保留不变。3.对偶规则 设 L是一个逻辑表达式，如果将 L中的“”、“+”互换；所有的“0”、“1”互换，那么就得到一个新的逻辑函数式，称为 L的对偶式，记作 L。这个规则称为对偶规则。例如 L=(A+B)(A+C)，则 。注意： L的对偶式 L和 L的反演式是不同的，在求 L时不能将原变量和反变量互换。变换时仍要保持原式中运算先后顺序。 推论：若两个逻辑函数相等，即 F=G，则它们的对偶式也相等，即 F=G；反之，若F=G，则必有 F=G。利用
8、对偶规则，可从已知公式中得到更多的运算公式，例如，吸收律成立，则它的对偶式 A(A+B)=AB 也成立。以下无正文 仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。 , , . For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fr den persnlichen fr Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l tude et la recherche uniquement des fins personnelles; pas des fins commerciales.
