1、,Home,目录,3.2 柯西-古萨基本定理,3.3 柯西积分公式,3.4 解析函数的高阶导数,3.1 复积分的概念,第3章 复变函数的积分,3.1 复积分的概念,1 复变函数的积分定义,定义：设函数 w=f(z) 定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为:,2 复积分存在的一个充分条件：,复积分的计算方法：,一个复积分的实质是两个实二型线积分,1 线性性：,3 复积分的性质 ：,例题1,（2）C：左半平面以原点为中心逆时针方向 的单位半圆周。,解（1）,（2）参数方程为,可见积分与路径有关。,例题2,解：,例如,例题3,解：,可见，
2、积分仅与起点和终点有关,而与路径无关。,例题4,证明：,定理1（Cauchy-Goursat）,如果函数 f (z)在单连通域D内处处解析, 则它 在D内任何一条封闭曲线 C 的积分为零:,注1：定理中的曲线C可以不是简单曲线.此定理成立的条件之一是曲线C要属于区域D。, 3.2 柯西-古萨基本定理,注2：如果曲线C是D的边界, 函数 f (z)在D内与C上解析, 即在闭区域 D+C上解析, 甚至 f (z)在D内解析, 在闭区域D+C 上连续, 则 f (z)在边界上的积分仍然有,推论：,与路径无关仅与起点和终点有关。,如果函数 f (z)在单连通域D内处处解析, C属于D，,柯西-古萨基本
3、定理还可推广到多连通域:,假设C及C1为任意两条简单闭曲线, C1在C内部,设函数 f (z)在C及C1所围的二连域D内解析, 在边界上连续，则,定理2 (复合闭路定理),证明：取,这说明解析函数沿简单闭曲线积分不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值。,-闭路变形原理,推论（复合闭路定理）：,(互不包含且互不相交)，,所围成的多连通区域，,例题1,C 如图所示：,解：,存在 f (z)的解析单连通域D包含曲线 C ，故积分与路径无关，仅与起点和终点有关。,或,现设z=it，t从-3变化到1，,例题2 求,C为包含0与1的任何正向简单闭曲线。,解：,现分别以z=0,1为圆心,在C内作两个互不包
4、含也互不相交的正向圆周C1与C2.,练习：计算积分,解：现分别以z=1,2为圆心,在C内作两个互不包含也互不相交的正向圆周C1与C2.由复合闭路定理知：, 3.3 柯西积分公式,若 f (z) 在D内解析，则,分析：,在上节的基础上,我们来进一步探讨如下积分:,定理 (柯西积分公式) 如果 f (z)在区域D内处处解析, C为D内的任何一条正向简单闭曲线, 它的内部完全含于D, z0为C内的任一点, 则,-解析函数可用复积分表示。,证 由于f (z)在 z0连续, 任给e 0, 存在d (e) 0, 当|z-z0|d 时, | f (z)-f (z0)| e. 设以 z0为中心, R 为半径的
5、圆周K : |z-z0|=R全部在C的内部, 且R d.,从而有:,例题1 计算,解：,因为f(z)=cosz在复平面上解析, 又-i在 内,所以,例题2 计算,解：方法1,因为f(z)=sinz在复平面上解析,又-1,1均在 内,所以,解：方法2,利用复合闭路定理,分别以-1,1为圆心,作两个互不相交互不包含的圆周C1，C2,练习 计算,解：,因为被积函数在 内只有一个奇点,所以,例题3,解：,一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各高阶导数, 它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示. 这一点和实变函数完全不同. 一个实变函数在某一区间上可导, 它的导数在这区间上是否连续也不一定,更不要说
6、它有高阶导数存在了., 3.4 解析函数的高阶导数,定理 解析函数f(z)的导数仍为解析函数, 它的n阶导数为:,其中C为在函数 f (z)的解析区域D内围绕 z0的任何一条正向简单曲线, 而且它的内部全含于D.,证 设z0为D内任意一点, 先证n=1的情形, 即,因此就是要证,按柯西积分公式有,因此,现要证当Dz0时I0, 而,f (z)在C上连续, 则有界, 设界为M, 则在C上有 | f (z) | M. d为 z0 到C上各点的最短距离, 则取 |Dz| 适当地小使其满足 |Dz| d/2,因此,L是C的长度,这就证得了当 Dz0时, I0.,即:,再利用同样的方法去求极限:,依此类推
7、, 用数学归纳法可以证明:,高阶导数公式的作用, 不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来求积分.,例1 求下列积分的值, 其中C为正向圆周: | z | = r 1.,解 1) 函数 在C内的z=1处不解析, 但cospz在C内却是处处解析的.,练习: 求下列积分的值, 其中C为正向圆周: | z | = 2.,解：,因为z=1在 | z | = 2包围的区域D内， 又f（z）=5z2-3z+2在复平面上解析.,练习: 求下列积分的值, 其中C为正向圆周: | z | = 3/2.,解：由于,在 | z | = 3/2内有两个奇点z=0,z=-1，分别分别以0,-1为圆心,作两个互不相交互不包含的圆周C1，C2,由复合闭路定理知：,I1和I2的计算都属于复变量函数在内只有一个奇点的情形.,由高阶导数公式知：,由柯西公式知：,所以：,同学们学习愉快！ 下次课再见！,
