1、函数模型及其应用,几种不同增长的函数模型,材料：澳大利亚兔子数“爆炸”,在教科书第三章的章头图中,有一大群喝水、嬉戏的兔子,但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋.1859年,有人从欧洲带进澳洲几只兔子,由于澳洲有茂盛的牧草,而且没有兔子的天敌,兔子数量不断增加,不到100年,兔子们占领了整个澳大利亚,数量达到75亿只.可爱的兔子变得可恶起来,75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草,草原的载畜率大大降低,而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚头痛不已,他们采用各种方法消灭这些兔子,直至二十世纪五十年代,科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔,澳大利亚人才算松了一口气.,例题：,例1、假
2、设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：,方案一：每天回报40元；,方案二：第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元;,方案三：第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番.,请问，你会选择哪种投资方案呢？,思考：,投资方案选择原则是什么？,投入资金相同，回报量多者为优,(2) 比较三种方案一段时间内的总回报量,(1)比较三种方案每天回报量,例题：,例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：,方案一：每天回报40元；,方案二：第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元;,方案三：第一天回报0.4元,以后每天的回
3、报比前一天翻一番.,请问，你会选择哪种投资方案呢？,分析：,我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。,解：设第x天所得回报为y元，则,方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； y=10x (xN*),方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。,方案一：每天回报40元； y=40 (xN*),y=0.42x-1 (xN*),图112-1,从每天的回报量来看： 第14天，方案一最多；第58天，方案二最多；第9天以后,方案三最多；,有人认为投资14天选择方案一；58天选择方案二；9天以后选择方案三？,画 图,累积回
4、报表,结论,投资16天，应选择第一种投资方案；投资7天，应选择第一或二种投资方案；投资810天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，应选择第三种投资方案。,例题的启示,解决实际问题的步骤：,实际问题,读懂问题,抽象概括,数学问题,演算,推理,数学问题的解,还原说明,实际问题的解,练习：,1、四个变量 随变量 变化的数据如下表：,关于x呈指数型函数变化的变量最可能是,y2,例2、某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着销售利润x (单位：万元)的增加而增加，但奖金数不超过5万元
5、，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求呢？,分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，奖金数会随着利润的增加而增加，由于销售利润必须达到10万元且公司总的利润目标为1000万元。所以只需在区间10,1000上，检验三个模型是否符合公司要求即可。,不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论再通过具体计算，确认结果。,函数图象如下：,通过观察函数图象得到初步结论：按对数模型进行奖励时符合公司的要求。,x,y,o,y=5,y=0.
6、25x,(1)、由函数图象可以看出，它在区间10,1000上递增，而且当x=1000时，y=log71000+14.555,所以它符合奖金不超过5万元的要求。,模型y=log7x+1,令f(x)= log7x+1-0.25x， x 10,1000。利用计算机作出函数f(x)的图象。,f(x)f(10) -0.31670,所以，当x 10,1000，,由图象可知它是递减的，因此,即 log7x+10.25x,练习：,2、某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么每轮病毒发作时，这台计算机都可能感染没被感染的20台计算机。现在10台计算机在第1轮病毒发作时被感染，问
7、在第5轮病毒发作时共有多少台计算机被感染？,例3.探究函数 的增长情况并分析差异,1.列表：,几何画板演示,2.作图：,结论1：,一般地，对于指数函数y=ax (a1)和幂函数y=xn (n0)，通过探索可以发现：,在区间(0,+)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内，ax会小xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当xx0时，就会有axxn.,结论2：,一般地，对于指数函数y=logax (a1)和幂函数y=xn (n0)，通过探索可以发现：,在区间(0,+)上，随着x的增大，logax增大得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样。尽管在x的一定范围内， logax
8、可能会小xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当xx0时，就会有logaxxn.,综上所述：,(1)、在区间(0,+)上，y=ax (a1)，y=logax (a1)和y=xn (n0)都是增函数。,(2)、随着x的增大， y=ax (a1)的增长速度越来越快，会远远大于y=xn (n0)的增长速度。,(3)、随着x的增大， y=logax (a1)的增长速度越来越慢，会远远小于y=xn (n0)的增长速度。,总存在一个x0，当xx0时，就有logaxxnax,小结,实际 问题,读懂问题,将问题 抽象化,数学 模型,解决 问题,基础,过程,关键,目的,几种常见函数的增长情况：,
