1、2018 届普通高等学校招生全国统一考试(衡水卷)模拟考试数学（理）试题一、单选题1已知 虚数单位，复数 对应的点在复平面的（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】因为 = 所对应的点为 ，在第四项限.故答案为：D.2已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 , 若 ,则 故答案为：D.3设 ， ， ， ， 为实数，且 ， ，下列不等式正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】取 a=2,b=4,c=3,d=2,d-a=0,c-b=-1,此时 d-ac-b,A 错误；取 a=2,b=3
2、,小，则 ，,此时 ,B 错误；取 b=3,a= ,c=1,d=-3, ,C 错误；对于 D ，D 正确.故选 D.4设随机变量 ，则使得 成立的一个必要不充分条件为（ ）A. 或 B. C. D. 或【答案】A【解析】由 ，得到 = ，故 3m=3，得到 m=1,则使得 成立的充要条件为 m=1,故 B 错误；因为 是的真子集，故原题的必要不充分条件为 或 .故答案为：A.5执行如图所示的程序框图，若输出的结果 ，则判断框内实数 应填入的整数值为（ ）A. 998 B. 999 C. 1000 D. 1001【答案】A【解析】因为 令 则 故 当 根据题意此时退出循环，满足题意，则实数 M
3、应填入的整数值为 998，故答案为：A.6已知公差不为 0 的等差数列 的前 项和为 ，若 ，则下列选项中结果为 0的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由 得到 ，因为公差不为 0，故=0，由等差数列的性质得到 ， 故答案为:C.7设 ， 分别为双曲线 （ ， ）的左、右顶点，过左顶点 的直线 交双曲线右支于点 ，连接 ，设直线 与直线 的斜率分别为 ， ，若 ， 互为倒数，则双曲线 的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由圆锥曲线的结论知道 故答案为：B.8如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A.
4、B. C. 16 D. 【答案】A【解析】由已知中的三视图得到该几何体是一个半圆柱挖去了一个三棱锥，底面面积为 ，高为 4，该几何体的体积为 故答案为:A .9已知曲线 和直线 所围成图形的面积是 ，则 的展开式中 项的系数为（ ）A. 480 B. 160 C. 1280 D. 640【答案】D【解析】由题意得到两曲线围成的面积为 = 故答案为：D.点睛：这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等.10在平面直角坐标系中， 为坐标原点， ， ，
5、 ，设 ， ，若 ， ，且 ，则 的最大值为（ ）A. 7 B. 10 C. 8 D. 12【答案】B【解析】已知 ， ， ,得到因为 ， ，故 有不等式组表示出平面区域，是封闭的三角形区域，当目标函数过点(2,4)时取得最大值，为 10.故答案为：B.点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域 ;(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类型有截距型（ 型）、 斜率型（型）和距离型（ 型）;(3) 确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解;(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值;注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.11如
6、图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线 的方程为 ，其左、右焦点分别是 ， ，直线 与椭圆 切于点 ，且 ，过点 且与直线 垂直的直线 与椭圆长轴交于点 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由椭圆的光学性质得到直线 平分角 ，因为由 ， 得到 ，故 .故答案为：C.12将给定的一个数列 ： ， ， ，按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列.如在上述数列中，我们将 作为第一组，将 ， 作为第二组，将 ， ， 作为第三组，依次类推，第 组有 个元素（ ） ，
7、即可得到以组为单位的序列： ， ， ，我们通常称此数列为分群数列.其中第 1 个括号称为第 1 群，第 2 个括号称为第 2 群，第 3 个数列称为第 3 群，第 个括号称为第 群，从而数列 称为这个分群数列的原数列.如果某一个元素在分群数列的第 个群众，且从第 个括号的左端起是第 个，则称这个元素为第 群众的第 个元素.已知数列 1,1,3,1,3,9,1,3,9,27，将数列分群，其中，第 1 群为（1） ，第 2 群为（1,3） ，第 3 群为（1,3， ） ，以此类推.设该数列前 项和，若使得 成立的最小 位于第 个群，则 （ ）A. 11 B. 10 C. 9 D. 8【答案】B【解
8、析】由题意得到该数列的前 r 组共有 个元素，其和为则 r=9 时， 故使得 N14900 成立的最小值 a 位于第十个群.故答案为：B.点睛：这个题目考查的是新定义题型，属于数列中的归纳推理求和问题;对于这类题目，可以先找一些特殊情况，总结一下规律，再进行推广，得到递推关系，或者直接从变量较小的情况开始归纳得到递推关系.二、填空题13若函数 为偶函数，则 _【答案】-1【解析】由偶函数的定义得到 ,即 =即 恒成立，k=-1.故答案为：-1.14已知 ， ，则 _【答案】【解析】 = ,故 = ，因为，故 = ，故 ，故 .故答案为： .15中华民族具有五千多年连绵不断的文明历史，创造了博大
9、精深的中华文化，为人类文明进步作出了不可磨灭的贡献.为弘扬传统文化，某校组织了国学知识大赛，该校最终有四名选手 、 、 、 参加了总决赛，总决赛设置了一、二、三等奖各一个，无并列.比赛结束后， 对 说：“你没有获得一等奖” ， 对 说：“你获得了二等奖” ；对大家说：“我未获得三等奖” ， 对 、 、 说：“你妈三人中有一人未获奖” ，四位选手中仅有一人撒谎，则选手获奖情形共计_ 种 （用数字作答）【答案】12【解析】设选手 ABCD 获得一等奖，二等奖，三等奖，分别用 表示获得的奖次，其中 i=0 时，表示为获奖，若 C 说谎，则 若 B 说谎则 等九种情况，若 A 说谎则 若 D 说谎则
10、，公 12 种情况.故答案为：12.16已知 为 的重心，点 、 分别在边 ， 上，且存在实数 ，使得 .若 ，则 _【答案】3【解析】设 连接 AG 并延长交 BC 于 M，此时 M 为 BC 的中点，故故 存在实数 t 使得 ，得到 故答案为：3. 点睛：本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理、考查了推理能力与计算能力，属于中档题在解决多元的范围或最值问题时，常用的解决方法有：多元化一元，线性规划的应用，均值不等式的应用,“乘 1 法”与基本不等式的性质，等.三、解答题17在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 .（1）求角 的大小；（2）若 的面积 ， 为 边的中点， ，
11、求 .【答案】(1) ；(2)5.【解析】试题分析：(1) 由正弦定理，得 ，又 ，进而得到 ；（2） 的面积 ，得 ， 两边平方得到，结合两个方程得到结果.解析：（1）因为 ，由正弦定理，得 .又 ，所以 ，即 .因为 ，故 .所以 .（2）由 的面积 ，得 .又 为 边的中点，故 ，因此 ，故 ，即 ，故 .所以 .18市场份额又称市场占有率，它在很大程度上反映了企业的竞争地位和盈利能力，是企业非常重视的一个指标.近年来，服务机器人与工业机器人以迅猛的增速占据了中国机器人领域庞大的市场份额，随着“一带一路”的积极推动，包括机器人产业在内的众多行业得到了更广阔的的发展空间，某市场研究人员为了
12、了解某机器人制造企业的经营状况，对该机器人制造企业 2017 年 1 月至 6 月的市场份额进行了调查，得到如下资料:月份 1 2 3 4 5 6市场份额（%） 11 13 16 15 20 21(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 关于 的线性回归方程，并预测该企业2017 年 7 月份的市场份额；(2)如图是该机器人制造企业记录的 2017 年 6 月 1 日至 6 月 30 日之间的产品销售频数(单位:天)统计图.设销售产品数量为 ，经统计，当 时，企业每天亏损约为200 万元，当 时，企业平均每天收人约为 400 万元;当 时，企业平均每天收人约为 700 万元。设该企业在六月
13、份每天收人为 ,求 的数学期望;如果将频率视为概率，求该企业在未来连续三天总收入不低于 1200 万元的概率。附:回归直线的方程是 , , , .【答案】(1)答案见解析；(2).550 万元；.0.876.【解析】试题分析：（1）根据题中数据得到 ， ， ， ，代入样本中心值得到 ，进而得到方程，将 x=7 代入方程即可；（2）由题干知设该企业每天亏损约为 200 万元为事件 ，平均每天收入约达到 400 万元为事件 ，平均每天收入约达到 700 万元为事件 ，则 ， ， ，进而得到分布列和均值；由第一小问得到未来连续三天该企业收入不低于 1200 万元包含五种情况，求概率之和即可.解析：
14、（1）由题意， ，故 ， ，由 得 ，则 .当 时， ，所以预测该企业 2017 年 7 月的市场份额为 23%.（2）设该企业每天亏损约为 200 万元为事件 ，平均每天收入约达到 400 万元为事件 ，平均每天收入约达到 700 万元为事件 ，则 ， ， .故 的分布列为-200 400 7000.1 0.2 0.3所以 （万元）.由知，未来连续三天该企业收入不低于 1200 万元包含五种情况.则 .所以该企业在未来三天总收入不低于 1200 万元的概率为 0.876.19如图，在三棱柱 中，侧面 为矩形， ， ， 为棱的中点， 与 交于点 ， 侧面 ， 为 的中点.（1）证明： 平面 ；
15、（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2) .【解析】试题分析：（1）取 中点为 ，连接 ， ， ，可证明四边形 为平行四边形，进而得到线面平行；（2）建立坐标系得到直线的方向向量和面的法向量，由向量的夹角公式得到要求的线面角.解析：（1）取 中点为 ，连接 ， ， ，由 ， ， ， ，得 ，且 ，所以四边形 为平行四边形.所以 ，又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .（2）由已知 .又 平面 ，所以 ， ， 两两垂直.以 为坐标原点， ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则经计算得 ， ， ， ，因为 ，所以 ，所以 ， ，.设平面 一个法向量为 ，由令 ，得 .设直线 与平面 所成的角为 ，则 .20已知焦点为 的的抛物线 ： （ ）与圆心在坐标原点 ，半径为 的交于 ， 两点，且 ， ，其中 ， ， 均为正实数.（1）求抛物线 及 的方程；（2）设点 为劣弧 上任意一点，过 作 的切线交抛物线 于 ， 两点，过 ，的直线 ， 均于抛物线 相切，且两直线交于点 ，求点 的轨迹方程.
