1、2018 届江苏省南京师大附中高三高考考前模拟考试数学试题2018.05注 意 事 项 ：1本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题第 14 题） 、解答题（第 15 题第 20 题）两部分本试卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟2答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题纸参考公式：锥体的体积公式：V Sh，其中 S 为锥体的底面积，h 为锥体的高13一 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 14 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 计 70 分 . 不 需 写 出 解 答 过 程 ， 请 把 答 案
2、 写 在 答 题 纸 的 指 定 位置 上 ）1. 已知集合 A0，1，2， 3，Bx| x 2x20 ，则 AB _2. 若复数 z1i，则 z 的虚部是 1z _3. 某公司生产甲、乙、丙三种不同型号的轿车，产量分别为 1400 辆、5600 辆、2000 辆为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 45 辆进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件_4. 设变量 x，y 满足约束条件 则目标函数 z2xy 的最大值是 x 1 0，x y 1 0，x y 3 0，)5. 小明随机播放 A，B，C，D，E 五首歌曲中的两首，则 A，B 两首歌曲至少有一首被播放的概率 是 _6
3、. 如图是一个算法的流程图，则输出的 n 的值是 _BCAA1 C1B1D7. 如图，直三棱柱 ABCA 1B1C1 的各条棱长均为 2，D 为棱 B1C1 上任意一点，则三棱锥 DA 1BC的体积是 8. 已知双曲线 1(a0，b0)的一条渐近线方程是 y2x ，它的一个焦点与抛物线 y220x x2a2 y2b2的焦点相同，则双曲线的方程是 _9. 若直线 y2x b 是曲线 ye x2 的切线，则实数 b _10. “a1”是“函数 f(x) sin xa 为奇函数”的 条件（填“充分不必要”，“必x 1x 2 _要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）11. 在数列a n中，若 a
4、41，a 125，且任意连续三项的和都是 15，则 a2018 _12. 已知直线 xy b0 与圆 x y 9 交于不同的两点 A，B若 O 是坐标原点，且2 2 | | | |，则实数 b 的取值范围是 OA OB AB _13. 在ABC 中，已知 2 3 ，则 cosC 的最小值是 AB AC BA BC CA CB _14. 已知函数 f(x)x 33x 2 1，g(x) 若方程 gf(x)a0（a0）有 6 个实 数根（互不相同），则实数 a 的取值范围是 _（第 6 题） （第 7 题） 二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请
5、把答案写在答题纸的指定区域内）15 (本小题满分 14 分)已知 A，B ，C 是ABC 的三个内角，向量 ( 1， )， (cosA，sinA)，且 1 m 3 n m n（1）求 A 的值；（2）若 3，求 tanC 的值1 sin2Bcos2B sin2B16 (本小题满分 14 分)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，点 E 在棱 PC 上（异于点 P，C），平面 ABE 与棱 PD 交于点 F（1）求证：AB/EF ；（2）若 AFEF，求证：平面 PAD平面 ABCD17 (本小题满分 14 分)如图，A，B， C 三个警亭有直道相通，已知 A 在 B 的正北方
6、向 6 千米处，C 在 B 的正东方向6 千米处 3（1 ）警员甲从 C 出发，沿 CA 行至点 P 处，此时CBP 45，求 PB 的距离；（2 ）警员甲从 C 出发沿 CA 前往 A，警员乙从 A 出发沿 AB 前往 B，两人同时出发，甲的速度为 3 千米/小时，乙的速度为 6 千米/小时两人通过专用对讲机保持联系，乙到达 B后原地等待，直到甲到达 A 时任务结束若对讲机的有效通话距离不超过 9 千米，试问两人通过对讲机能保持联系的总时长？18 (本小题满分 16 分)北PCAB（第 16 题）（第 17 题）如图，已知椭圆 C： 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F 2，若椭圆 C
7、经过点(0， )，x2a2 y2b2 3离心率为 ，直线 l 过点 F2 与椭圆 C 交于 A、B 两点 12（1）求椭圆 C 的方程；（2）若点 N 为F 1AF2 的内心（三角形三条内角平分线的交点） ，求F 1NF2 与F 1AF2 面积的比值；（3）设点 A，F 2，B 在直线 x4 上的射影依次为点 D，G， E连结 AE，BD，试问当直线 l的倾斜角变化时，直线 AE 与 BD 是否相交于定点 T？若是，请求出定点 T 的坐标；若不 是，请说明理由19 (本小题满分 16 分)已知函数 f(x)ln xa xa，aR（1）若 a1，求函数 f(x)的极值；（2）若函数 f(x)有两
8、个零点，求 a 的范围；（3）对于曲线 yf( x)上的两个不同的点 P(x ，f (x )，Q(x ，f(x )，记直线 PQ 的斜率为 k， 1 1 2 2若 yf(x)的导函数为 f (x)，证明：f ( )k20 (本小题满分 16 分)已知等差数列a n和等比数列 bn均不是常数列，若 a1b 11 ，且 a1，2a 2，4 a4 成等比数列，4b2，2b 3， b4 成等差数列（1）求a n和 bn的通项公式；（2）设 m，n 是正整数，若存在正整数 i，j ，k（ijk ） ，使得 ambj，a manbi，a nbk 成等差数列，求 mn 的最小值；（3）令 cn ，记c n的
9、前 n 项和为 Tn， 的前 n 项和为 An若数列p n满足 p1c 1，且对 n2，anbn 1annN*，都有 pn A ncn，设p n的前 n 项和为 Sn，求证：S n44lnn Tn 1n（第 18 题）南师大附中 2018 届高三年级模拟考试数学附加题 2018.05注 意 事 项 ：1附加题供选修物理的考生使用2本试卷共 40 分，考试时间 30 分钟3答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题纸21 【 选做题 】在 A、B 、C、 D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 2
10、0 分请在答卷纸指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 41：几何证明选讲在ABC 中，已知 AC AB，CM 是ACB 的平分线， AMC 的外接圆交 BC 边于点 N，求证：12BN=2AM（第 21A 题）B选修 42：矩阵与变换已知矩阵 M 的一个特征值为 3，求 M 的另一个特征值1 22 xC选修 44：坐标系与参数方程NMOBAC在极坐标系中，已知圆 C：2 cos 和直线 l： (R)相交于 A，B 两点，求线24段 AB 的长D选修 45：不等式选讲已知 a 0，b 0，ab 1，求证： 12a 1 42b 1 94【必做题】第 22 题、第 23 题，每
11、题 10 分，共 20 分请在答题卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22 (本小题满分 10 分)如图，设 P1，P 2，P 6 为单位圆上逆时针均匀分布的六个点现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量 S（1）求 S 的概率；32（2）求 S 的分布列及数学期望 E(S)（第 22 题）23 (本小题满分 10 分)设集合 A，B 是非空集合 M 的两个不同子集（1）若 M a1，a 2，且 A 是 B 的子集，求所有有序集合对(A，B) 的个数；（2）若 M a1，a 2，a 3，a n，且 A 的元素个数比 B 的元素个数少，求所有有序集合对(A
12、，B) 的个数南师大附中 2018 届高三年级校模考试数学参考答案及评分标准说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，填空题不给中间分数一 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 14 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 计 70 分 . 不 需 写 出 解 答 过
13、程 ， 请 把 答 案 写 在 答 题 纸 的 指 定 位置 上 ）10，1 2 310 45 5 107 647 328 1052yx92ln2 10充分不必要 119 12 )23,63，（ 13 14 ），（ 451二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15(本小题满分 14 分)解：（1） 因为 1nm，所以(1， )(cosA，sin A)1， 3即 cosi ， 2 分则 1)2(sin2，即 21)6sin(， 4 分又 A0 ，所以56A，故 6，所以 3 6 分（2）由题知 sinco21
14、2B，整理得 0coisin2B8 分易知 0 ，所以 2tat2 ，所以 ta或 1an ， 10 分而 1nB时 0sico22B，不合题意舍去，所以 2tanB ， 12 分故 )tan()(BACtant85311AB 14 分16(本小题满分 14 分)证明：（1） 因为四边形 ABCD 是矩形，所以 AB/CD 2 分又 AB平面 PDC，CD平面 PDC， 所以 AB/平面 PDC， 4 分又因为 AB平面 ABE，平面 ABE平面 PDCEF， 所以 AB/EF 7 分（2） 因为四边形 ABCD 是矩形，所以 ABAD 8 分因为 AFEF ， （1）中已证 AB/EF，所以
15、 ABAF ， 9 分又 ABAD ，由点 E 在棱 PC 上（异于点 C） ，所以 F 点异于点 D，所以 AFAD A，AF，AD 平面 PAD，所以 AB平面 PAD， 12 分又 AB平面 ABCD，所以平面 PAD平面 ABCD 14 分17(本小题满分 14 分)解：（1）在 ABC中， 6， 0A， 75PB由正弦定理， Psinsi，即3612362123=3624264BP（ ），故 PB的距离是 9 3 千米 4 分 2 6（2）甲从 C 到 A，需要 4 小时，乙从 A 到 B 需要 1 小时设甲、乙之间的距离为 tf，要保持通话则需要 9tf1当 0t时，60cos31
16、263126tttf379tt， 6 分即 0162t，解得 758758t，又 1,0t所以 758t， 8 分时长为 1小时 2当 4t时，60cos3123126ttf39tt， 10 分即 02，解得 t，又 4,1(t所以 41t， 12 分时长为 3 小时3 75 15207（小时） 答：两人通过对讲机能保持联系的总时长是 15207小时 14 分（注：不答扣 1 分）18(本小题满分 16 分)解：（1）由题意，b ，又因为 ，所以 ，解得 a2， 3ca 12 ba所以椭圆 C 的方程为 1. 4 分x24 y23（2）因为点 N 为F 1AF2 的内心，所以点 N 为F 1A
17、F2 的内切圆的圆心，设该圆的半径为 r.则 . 8 分F1F2AF1 AF2 F1F2 ca c 13（3）若直线 l 的斜率不存在时，四边形 ABED 是矩形，此时 AE 与 BD 交于 F2G 的中点 ( ，0)， 9 分52下面证明：当直线 l 的倾斜角变化时，直线 AE 与 BD 相交于定点 T( ，0).52设直线 l 的方程为 yk(x1) ，化简得(34k 2)x28k 2x4k 2120， 因为直线 l 经过椭圆 C 内的点(1 ，0)，所以0，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x1x 2 ，x 1x2 . 11 分8k23 4k2 4k2 123 4k2由题
18、意，D(4，y 1)，E(4，y 2)，直线 AE 的方程为 yy 2 (x4)，y2 y14 x1令 x ，此时 yy 2 ( 4) 52 y2 y14 x1 52 2(x1 4)y2 3(y2 y1)2(x1 4)2(x1 4)k(x2 1) 3k(x2 x1)2(x1 4)8k 2kx1x2 5k(x2 x1)2(x1 4)8k(3 4k2) 2k(4k2 12) 5k8k22(x1 4)(3 4k2) 0，24k 32k3 8k3 24k 40k32(x1 4)(3 4k2) 40k3 40k32(x1 4)(3 4k2)所以点 T( ，0)在直线 AE 上，52同理可证，点 T( ，0)在直线 BD 上. 16 分52所以当直线 l 的倾斜角变化时，直线 AE 与 BD 相交于定点 T( ，0).5219(本小题满分 16 分)解：（1） 1(axfx， 0，当 0a时， ()f， ()f在 ,)上单调递增，无极值； 2 分当 时， ,xax， (f在 10,)a上单调递增；
