1、2018 届山东省栖霞市第一中学高三 4 月模拟考试数学（理）试题（解析版）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ， ，选 C.2. 若复数 （为虚数单位， ）的实部与虚部互为相反数，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：利用复数的除法运算化简 ，实部与虚部何为 0 即可得解.详解：复数 .由题意可知： ，解得： .故选 A.点睛：复数除法运算的原理为：分母实数化，从而得到实部和虚部.3. 太极图是以
2、黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化、相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆 被的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为 ，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设大圆的半径为 R，则： ，则大圆面积为： ，小圆面积为： ，则满足题意的概率值为： .本题选择 B 选项.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件 A 满足的不等式，在图形中画
3、出事件 A 发生的区域，据此求解几何概型即可 .4. 某几何体的三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为 ，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】结合三视图可得该几何体是一个组合体，上半部分是一个底面直径为 ，高为 的圆锥，下半部分是一个直径为 的球，则该几何体的体积为： .本题选择 A 选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解5. 已知实数 ， 满足约束条件 则目标
4、函数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】画出不等式组 表示的可行域如图阴影区域所示.由 ，得 ，平移直线 ，当经过点 ， 时，代入的取值为 ，所以，故选 A.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.6. 已知锐角满足 ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：由二倍角公式得 ，再由 ，结合同角三角函数关系可得解.详解：由 ，得 ，即 ，由为锐角
5、，且 ，所以 因为锐角，所以 .故选 D.点睛：解决三角变换中的给值求值问题时，一定要注意先化简再求值，同时要注意所给条件在解题中的整体作用7. 已知命题 ， ， ， ，若 为假命题，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据复合函数的真假关系，确定命题 p 是假命题，q 是真命题，利用函数的性质分别求出对应的取值范围即可得到结论详解：若 p(q)为假命题，则 p，q 都为假命题，即 p 是假命题，q 是真命题，由 得 ，设 则 ，当 x1 时,f(x)0，此时函数单调递增，当 00，则=m 24m0,b0),的渐近线为： .由双曲线 的两条渐近线均和圆 相
6、切，得： ，即 ，所以双曲线的离心率为 .故选：C.点睛：（1）直线与圆相切时，通常是利用圆心到直线的距离等于半径建立关系；（2）求解双曲线的离心率问题，一般是根据题中条件建立 的方程，根据 和 求解即可.12. 若存在两个正实数 ， ，使得等式 成立，其中为自然对数的底数，则正实数的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ，设 ，则，令 ，当 时， 当 时，最小值为 当 时，本题选择 D 选项.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量 ， ， ，则 _【答案】5【解析】分析：将 平方，代入条件即可得解.详解：由 平方
7、可得： .向量 ，所以 .又 .所以 .所以 .故答案为：5.点睛：向量模的求法通常是求得向量的平方即可.14. 在 的展开式中 项的系数为_【答案】【解析】分析：题中二项展开即为在三个因式中选两个 和一个常数项即可.由上式可知，含 的项有： .故答案为： .点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 r1 项，再由特定项的特点求出 r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第 r1 项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.15. 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ， ，则的最小值为_【答案
8、】【解析】在 中，由 ，则化简得 ，由余弦定理得即 ，当且仅当 时成立 则 的最小值为16. 如图所示，在四面体 中，若截面 是正方形，则下列命题中正确的是_ （填序号） ； 截面 ； ；异面直线 与 所成的角为 .【答案】【解析】因为截面 是正方形，所以 ;正确截面 ；正确异面直线 与 所成的角为 , 正确三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 是等比数列，首项 ，公比 ，其前 项和为 ，且 ， ， 成等差数列.（1）求数列 的通项公式；（2）若数列 满足 ， 为数列 的前 项和，且 对任意 恒成立，求实数 的最大值.【答
9、案】 （1）数列 的通项公式 ；（2）实数 的最大值为 .【解析】试题分析：（1）由题意可知:；（2）由，再由错位相减法求得 为递增数列 当 时， 又原命题可转化 的最大值为 试题解析： （1）由题意可知: ,即 ,于是 （2） , ,- 得: , ,恒成立，只需 ,为递增数列， 当 时， 的最大值为 考点：1、等差数列；2、等比数列；3、数列的前 项和；4、数列与不等式【方法点晴】本题考查等差数列、等比数列、数列的前 项和、数列与不等式，涉及特殊与一般思想、方程思想思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型第二小题首先由 再由错位相减法求得 为
10、递增数列 当 时，再利用特殊与一般思想和转化化归思想将原命题可转化 的最大值为 18. 如图，已知三棱柱 的所有棱长均为 ，平面 平面 ， ， 为 的中点.（1）证明： ；（2）若 是棱 的中点，求二面角 的余弦值.【答案】(1)见解析；（2）二面角 的余弦值为 .【解析】试题分析：（1）证线线垂直，由平面 平面 得 平面 ，再由底面图形得线线垂直(2)建系求面的法向量，得法向量的夹角解：(1)证明：取 中点 ，设 与 交于点 ，连接 ， ，依题意得 ，因为平面 平面 ，平面 平面 ， ，所以 平面 ，即 平面 ，所以 ，又因为四边形 为菱形，所以 ，又 ，所以 平面 ，而 平面 ，所以 .(2)解：由(1)结合已知得： ， ， ，以 为原点，如图所示建立空间直角坐标系 ，因为侧面 是边长为 2 的菱形，且 ，所以 ， ， ， ， ，所以 ， ， ，设平面 的法向量为 ，则由 得 ，令 ，可取 ，而平面 的一个法向量 ，由图可知二面角 为锐角，因为 .
