1、第二节 平面向量的基本定理及坐标表示考纲传真 1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件1平面向量基本定理(1)定理：如果 e1，e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 1， 2，使 a 1e1 2e2.(2)基底：不共线 的向量 e1，e 2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i，j作为基底，该平面内的任一向量 a 可表示成 axiy
2、j，由于 a 与数对(x，y)是一一对应的，把有序数对(x，y )叫做向量 a 的坐标，记作 a(x，y)，其中 a 在x 轴上的坐标是 x，a 在 y 轴上的坐标是 y.3平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设 a(x 1，y 1)，b(x 2，y 2)，则ab(x 1x 2，y 1y 2)， ab(x 1x 2，y 1y 2)，a (x1，y 1)，|a| .x21 y21(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 (x 2x 1，y 2y 1)，AB | | .AB x2 x12 y2 y124平
3、面向量共线的坐标表示设 a(x 1，y 1)，b(x 2，y 2)，其中 b0.a，b 共线x 1y2x 2y10.1(思考辨析) 判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底( )(2)在ABC 中，设 a ， b，则向量 a 与 b 的夹角为ABC.( )AB BC (3)若 a，b 不共线，且 1a 1b 2a 2b，则 1 2， 1 2.( )(4)若 a(x 1， y1)，b(x 2，y 2)，则 ab 的充要条件可以表示成 .( )x1x2 y1y2答案 (1) (2) (3) (4)2已知平面向量 a(2，1)，b(1,3) ，那
4、么| ab|等于 ( )A5 B. 13C. D.1317B 因为 ab(2，1)(1,3) (3,2)，所以| ab| .32 22 133(2015全国卷 )已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量 (4，3)，则向量AC BC ( )A( 7，4) B.(7,4)C(1,4) D.(1,4)A (3,2) (0,1)(3,1)，AB ( 4，3) (3,1) (7，4)BC AC AB 故选 A.4(2016全国卷 )已知向量 a( m,4)，b(3，2)，且 ab，则m_.6 a(m,4)，b(3，2)，ab，2m430，m6.5(教材改编) 已知ABCD 的顶点 A(1，2)，B(3
5、，1)，C(5,6)，则顶点 D 的坐标为_(1,5) 设 D(x，y) ，则由 ，得(4,1) (5x,6y )，AB DC 即Error!解得Error!平面向量基本定理及其应用(1)如果 e1，e 2 是平面 内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是 ( )Ae 1 与 e1e 2Be 12e 2 与 e12e 2Ce 1e 2 与 e1e 2De 13e 2 与 6e22e 1(2)(2016山西晋中四校联考 )在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD和 BC 的中点，若 ，其中 ，R，则 _.AC AE AF (1)D (2) (1)
6、选项 A 中，设 e1e 2e 1，则Error!无解；43选项 B 中，设 e12e 2(e 12e 2)，则Error!无解；选项 C 中，设 e1e 2(e 1e 2)，则Error!无解；选项 D 中，e 13e 2 (6e22e 1)，所以两向量是共线向量12(2)选择 ， 作为平面向量的一组基底，则 ， AB AD AC AB AD AE 12AB ， ，AD AF AB 12AD 又 ，AC AE AF (12 )AB ( 12)AD 于是得Error!解得Error!所以 .43规律方法 1.利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底来表示其他向量，即用特殊向量表示一
7、般向量2利用已知向量表示未知向量，实质就是利用三角形法则进行向量的加减运算，在解题时，注意方程思想的运用如解答本题(2)的关键是根据平面向量基本定理列出关于 ， 的方程组变式训练 1 如图 421，以向量 a， b 为邻边作OADB ， OA OB BM ， ，用 a， b 表示 ， ， .13BC CN 13CD OM ON MN 图 421解 ab，BA OA OB a b，BM 16BA 16 16 a b.3 分OM OB BM 16 56 ab，OD ON OC 13CD 12OD 16OD a b，8 分23OD 23 23 a b a b a b.MN ON OM 23 23 1
8、6 56 12 16综上， a b， a b， a b.12 分OM 16 56 ON 23 23 MN 12 16平面向量的坐标运算已知 A(2,4)，B(3，1) ，C (3，4)设a， b， c ，且 3c ， 2b，AB BC CA CM CN (1)求 3ab 3c；(2)求满足 a mbnc 的实数 m，n；(3)求 M，N 的坐标及向量 的坐标MN 解 由已知得 a(5，5) ，b(6，3)，c(1,8).2 分(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(15 63，15324)(6，42).5 分(2)mbnc(6mn，3m8n)，Error!解得 Error!8 分(
9、3)设 O 为坐标原点 3c ，CM OM OC 3c (3,24) (3，4)(0,20)OM OC M(0,20).10 分又 2b ，CN ON OC 2b (12,6)(3，4)(9,2) ，ON OC N(9,2) ， (9 ，18).12 分MN 规律方法 1. 向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标常利用向量相等则其坐标相同列方程(组)求解2平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言“坐标语言” ，实质是“形”化为“数” 向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形
10、紧密结合起来变式训练 2 (2017 合肥三次质检 )已知 a(1，t)，b(t ，6)，则|2ab|的最小值为_2 由条件得 2ab(2t,2t6)，所以|2 ab| 5 2 t2 2t 62，当 t2 时，|2 ab| 的最小值为 2 .5t 22 20 5平面向量共线的坐标表示(1)已知向量 a(1,1)，b(3 ，m)，若 a(ab)，则 m( )A2 B.2 C.3 D.3(2)已知梯形 ABCD，其中 ABCD，且 DC2AB ，三个顶点 A(1,2)，B (2,1)，C(4,2)，则点 D 的坐标为_(1)C (2)(2,4) (1)由题意可知 ab(2,1m) ，a(ab) ，
11、2(m1)0m3.(2)在梯形 ABCD 中，DC2AB ， 2 .设点 D 的坐标为(x ，y)，DC AB 则 (4,2)( x，y)(4x,2y )DC (2,1)(1,2)(1，1)，AB (4 x,2y )2(1，1)，即(4 x,2y )(2，2)，Error!解得Error!故点 D 的坐标为(2,4) 规律方法 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若 a(x 1，y 1)，b( x2， y2)，则 ab 的充要条件是 x1y2x 2y10；(2)若 ab(a0)，则 ba.2向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐
12、标对应成比例求解变式训练 3 (1)(2017郑州模拟)已知向量 a(1 sin ，1)，b，若 ab，则锐角 _.(12，1 sin )(2)已知向量 (1，3)， (2，1)， (k1，k 2)，若OA OB OC A，B，C 三点能构成三角形，则实数 k 应满足的条件是_. 【导学号：01772146】(1) (2)k1 (1)由 ab，得(1sin )(1sin ) ，4 12所以 cos2 ，12所以 cos 或 ，又 为锐角，所以 .22 22 4(2)若点 A，B，C 能构成三角形，则向量 ， 不共线AB AC 因为 (2， 1)(1，3)(1,2)，AB OB OA (k 1，
13、k2)(1，3)(k ，k1)，AC OC OA 所以 1(k1)2k0，解得 k1.思想与方法1平面向量基本定理实质上是平面向量的分解定理，是平面向量正交分解、坐标表示的理论基础，用平面向量基本定理可将平面内任一向量分解成形如a 1e1 2e2 的形式2利用平面向量共线的坐标表示既可以证明向量平行、点共线，也可以由平行求点的坐标或参数值3若 a 与 b 不共线，a b0，则 0.易错与防范1在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量 a，点 A 的位置被向量OA a 唯一确定，此时点 A 的坐标与 a 的坐标统一为(x，y )但表示形式与意义不同，如点 A(x，y)，向量 a (x，y )，向量坐标中既有大小信息又有方向信息OA 2若 a，b 为非零向量，当 ab 时，a，b 的夹角为 0或 180，求解时容易忽视其中一种情形致误3若 a(x 1，y 1)，b(x 2，y 2)，则 ab 的充要条件不能表示成 ，因x1x2 y1y2为 x2，y 2 有可能等于 0，应表示为 x1y2x 2y10.
