1、第七章 真空中的静电场71 在边长为a的正方形的四角，依次放置点电荷q,2q,-4q和2q，它的几何中心放置一个单位正电荷，求这个电荷受力的大小和方向。解：如图可看出两2q的电荷对单位正电荷的在作用力将相互抵消，单位正电荷所受的力为 方向由q指向-4q。)41(240aqF,250a72 如图，均匀带电细棒，长为 L，电荷线密度为。（1）求棒的延长线上任一点 P 的场强；(2)求通过棒的端点与棒垂直上任一点 Q 的场强。解：（1）如图 72 图 a， 在细棒上任取电荷元 dq，建立如图坐标，dqd ，设棒的延长线上任一点 P 与坐标原点 0 的距离为 x，则 2020)(4)(4dxdE则整根
2、细棒在 P 点产生的电场强度的大小为 )1()(002xLxL 方向沿轴正向。)(40（2）如图72 图b，设通过棒的端点与棒垂直上任一点Q与坐标原点0的距离为y 20rdxE， cos420dyin20rxEx因 ，cos,s,2ydytgq 2q-4q2q习题 71 图0dqd,P习题 7 2 图 ax0dqxdx,P习题 72 图 bydEy Q00代入上式，则 ，方向沿x轴负向。)cos1(400y )1(420LydydEyy0cs0sin424L73 一细棒弯成半径为R的半圆形，均匀分布有电荷 q，求半圆中心O处的场强。解：如图，在半环上任取 dl=Rd的线元，其上所带的电荷为 d
3、q=Rd。对称分析Ey=0。 sin420dx0iREx02，如图，方向沿x轴正向。20Rq74 如图线电荷密度为 1的无限长均匀带电直线与另一长度为l、线电荷密度为 2的均匀带电直线在同一平面内，二者互相垂直，求它们间的相互作用力。解：在 2的带电线上任取一dq， 1的带电线是无限长，它在dq处产生的电场强度由高斯定理容易得到为， xE01两线间的相互作用力为dydExx0inddExy习题 73 图Ra12习题 74 图0 xdqxdF021lax021如图，方向沿x轴正向。,ln201a75 两个点电荷所带电荷之和为Q ，问它们各带电荷多少时，相互作用力最大？解：设其中一个电荷的带电量是
4、q，另一个即为Q q，若它们间的距离为r ，它们间的相互作用力为 204)(rQF相互作用力最大的条件为 420rqd由上式可得：Q=2q，q=Q/276 一半径为R的半球壳，均匀带有电荷，电荷面密度为，求球心处电场强度的大小。 解：将半球壳细割为诸多细环带，其上带电量为 drdqsin2dq在o点产生的电场据（710）式为，304RyqEcosddin2030。如图，方向沿y 轴负向。)(si20 200si477 设匀强电场的电场强度E与半径为R 的半球面对称轴平行，计算通过此半球面电场强度的通量。解：如图，设作一圆平面S 1盖住半球面S 2，成为闭合曲面高斯，对此高斯曲面电通量为0，yr
5、习题 76 图oS1S2E习题 77 图即 021 SSS dEdE221 RSS 78 求半径为R，带电量为 q的空心球面的电场强度分布。解： 由于电荷分布具有球对称性，因而它所产生的电场分布也具有球对称性，与带电球面同心的球面上各点的场强E的大小相等，方向沿径向。在带电球内部与外部区域分别作与带电球面同心的高斯球面S 1与S 2。对S 1与S 2，应用高斯定理，即先计算场强的通量，然后得出场强的分布，分别为 04d21rES得 （rR)r204外79 如图所示，厚度为d的“无限大”均匀带电平板，体电荷密度为，求板内外的电场分布。解:带电平板均匀带电，在厚度为d/2的平分街面上电场强度为零，
6、取坐标原点在此街面上，建立如图坐标。对底面积为A ，高度分别为xd/2的高斯曲面应用高斯定理，有 01dAES得 )2( 0dxi r0R习题 718 图d习题 79 图0 xE02d2dAES)( 0xi外710 一半径为R的无限长带电圆柱，其体电荷密度为 ， 0为常)(0Rr数。求场强分布。解： 据高斯定理有 VS drlEd012时：Rrrlkl0rdlk02lE230neE02时：RrRrldkrl0Rrdlk02lE230nerE03711 带电为q、半径为R 1的导体球，其外同心地放一金属球壳，球壳内、外半径为R 2、R 3。（1）球壳的电荷及电势分布；（2）把外球接地后再绝缘，求
7、外球壳的电荷及球壳内外电势分布；（3）再把内球接地，求内球的电荷及外球壳的电势。解：（1）静电平衡，球壳内表面带q，外表面带q电荷。据（723）式的结论得： ),(1(4132101 RrRqV);)(1(4213202 rRrqV 习题 710 图 rooR1 R2R3q-qq习题 711 图),(432303RrqV).(304r（2） ),(1(1201 RrqU);)(421202rV ),(0323RrV).(034RrV（3）再把内球接地，内球的电荷及外球壳的电荷重新分布设静电平衡，内球带q /，球壳内表面带q /，外表面带 q/q。 ),(411320 RrqRV得： 21321
8、q3034RV)()213201Rq)(3r712 一均匀、半径为R的带电球体中，存在一个球形空腔，空腔的半径r(2rR），细线近端离球心的距离为L。设球和细线上的电荷分布固定，试求细线在电场中的电势能。解：在带电细线中任取一长度为dr的线元，其上所带的电荷元为dq=dr ，据（723）式带电球面在电荷元处产生的电势为 rV04电荷元的电势能为: rdQW0R2o R1 xp习题 713 图o rQ dr习题 714 图细线在带电球面的电场中的电势能为：LrdQW2042ln0*715 半径为R的均匀带电圆盘，带电量为 Q。过盘心垂直于盘面的轴线上一点P到盘心的距离为L。试求P点的电势并利用电
9、场强度与电势的梯度关系求电场强度。解：P到盘心的距离为L，p点的电势为 RPLrdV024)(22200 LLrR圆盘轴线上任意点的电势为 RxrdxV024)()(222000 xRQR利用电场强度与电势的梯度关系得： ixRQidVE )1()( 220P到盘心的距离为L，p点的电场强度为： iLL)()( 220716 两个同心球面的半径分别为R 1和R 2,各自带有电荷Q 1和Q 2。求：（1）各区城电势分布，并画出分布曲线；（2）两球面间的电势差为多少？解：（1）据（723）式的结论得各区城电势分布为),( )(41210rQV);( )(21202 RRr p习题 715 图 xo
10、oQ1Q2 R1 R2习题 716 图).( 420213RrQV（2）两球面间的电势差为 drR2104 )1(201717 一半径为R的无限长带电圆柱，其内部的电荷均匀分布，电荷体密度为，若取棒表面为零电势，求空间电势分布并画出电势分布曲线。解： 据高斯定理有时：r02lrlESdnerE0时，V=0，则Rr时：RrdV02)(420r时：r02lRrlESd nerE02RrV02rln02空间电势分布并画出电势分布曲线大致如图。718 两根很长的同轴圆柱面半径分别为R 1、R 2，带有等量异号的电荷，两者的电势差为U，求：（1）圆柱面单位长度带有多少电荷？（2 ）两圆柱面之间的电场强度
11、。解：设圆柱面单位长度带电量为，则两圆柱面之间的电场强度大小为 rE0两圆柱面之间的电势差为 rdU02210Rrd120ln习题 710 图roR roV习题 718 图ro由上式可得： 120lnRU所以 nerE02 )( l 2112 Rrern719 在一次典型的闪电中，两个放电点间的电势差约为 109V，被迁移的电荷约为30库仑，如果释放出来的能量都用来使0 0C的冰熔化成0 0C的水，则可融化多少冰? （冰的熔解热为3.3410 5Jkg -1)解：两个放电点间的电势差约为 109V，被迁移的电荷约为 30 库仑，其电势能为JWp9103上式释放出来的能量可融化冰的质量为： 8.98104kg54.m720 在玻尔的氢原子模型中，电子沿半径为a的玻尔轨道上绕原子核作圆周运动。（1）若把电子从原子中拉出来需要克服电场力作多少功?（2）电子在玻尔轨道上运动的总能量为多少？解：电子沿半径为a的玻尔轨道上绕原子核作圆周运动，其电势能为 aeWp04（1）把电子从原子中拉出来需要克服电场力作功为： aeWp024外（2）电子在玻尔轨道上运动的总能量为： kpE21mvpavme2024外2ae0421Ek08电子的总能量为： 21mvWpae024028ae02
