1、海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案及评分标准数学（理科） 2018.5一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1 2 3 4 5 6 7 8B C D B A C C A二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分（9）1 （10）10（11）1； 23（12）73（13 ）答案不唯一， 0a或 4的任意实数 （14）25注：第 11 题第一空 3 分，第二空 2 分。三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（15） （本小题 13 分）解：（） 2A， ， 3 6 分（）由（）得，()2
2、sin()fx因为 ()1f，所以13因为5,23，所以2(,)所以 6，所以7，所以3cos262 13 分AC1 A1CB1BDEyxz16. （本小题共 13 分）解：（）这 10 名学生的考核成绩（单位：分）分别为：93，89.5，89，88，90，88.5，91.5，91，90.5，91其中大于等于 90 分的有 1 号、5 号、7 号、8 号、9 号、10 号，共 6 人.所以样本中学生考核成绩大于等于 90 分的频率为：60.，从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于等于 90 分的概率为 0.6.4 分（）设事件 A：从上述考核成绩大于等于 90 分的学生中再随
3、机抽取两名同学，这两名同学两轮测试成绩均大于等于 90 分.由（）知，上述考核成绩大于等于 90 分的学生共 6 人，其中两轮测试成绩均大于等于 90 分的学生有 1 号，8 号，10 号，共 3 人.所以，261()5CP.9 分（） 12x，21s.13 分17.（本小题共 14 分）解：（）因为 AB平面 ， A平面 BC，所以 1C因为 ， 1， 1， 平面 1A，所以 平面 因为 1B平面 1，所以 A 4 分（）取 1的中点 M，连接 A、 E因为 E、 分别是 1C、 B的中点，所以 ME 1A，且 ME 12在三棱柱 1B中， 1AD，且 12AC，所以 MEAD，且 ME=A
4、D，所以四边形 ADEM 是平行四边形，所以 DEAM又 AM平面 1B， DE平面 1AB，所以 /DE平面 9 分（）在三棱柱 1C中， 1/，因为 1B，所以 AB在平面 内，过点 作 1/z，因为， 1平面 ，AC1 A1CB1BDE MxyTFOP所以， Cz平面 AB建立空间直角坐标系 C-xyz，如图则(0,), (2,0), 1(,2), 1(,), (01)D, (2,)E.DE， ， 2设平面 1B的法向量为 (,)xyzn，则10Cn，即20z，得 x，令 y，得 1，故 (,1)设直线 DE 与平面 B所成的角为 ，则 sincos,|DEn36，所以直线 E与平面 1
5、BC所成角的正弦值为 . 14 分18. （本小题共 14 分）解：（）在椭圆 ：24xy中， 2a， 1b，所以23cab，故椭圆 C的焦距为 c，离心率3ce 5 分（）法一：设 0(,)Pxy（ 0， 0y） ，则2014x，故224所以2 22003| 1TOTxyx，所以 03|P， 013|24OTSPx又 (0,)， (,0)F，故 00132OFSy因此3()PTOTxS四 边 形 22000314xyy由2014xy，得201，即 0x，所以 036122OFPTSxy四 边 形，当且仅当04xy，即 0， 0时等号成立. 14 分19. （本小题共 13 分）解：（） ()
6、(1)axaxfee,)xR，令 0，得 当 a时， f与 ax符号相同，当 x变化时， ()， 的变化情况如下表： (,0)0(0,)fx() 极小 当 0a时， f与 1axe符号相反，当 x变化时， ， 的变化情况如下表： (,0)0(0,)()fx 极小 综上， ()f在 0处取得极小值 (0)2f.7 分（） 3()axgfxe,aR，故 ()11注意到 02f，2()51fe，2()1fae，所以， 1(,)xa， 20,xa，使得 12fxf因此，曲线 yg在点 11()Pf， 2(,)处的切线斜率均为 . 下面，只需证明曲线 在点 1f， 22(,)Pfx处的切线不重合.曲线
7、()x在点 ,iifx（ ,）处的切线方程为 ()iiygx，即iiyx假设曲线 ()yg在点 ()iixf（ ,）处的切线重合，则21()g令 ()Gg，则 12G，且 (1()xf.由（）知，当 2(,)x时， ()fx，故 )0G所以， 在区间 1上单调递减，于是有 12，矛盾！因此，曲线 y在点 ,iiPf( ,)处的切线不重合 13 分20. （本小题 13 分）解：（）若 12a，公差 3d，则数列 na不具有性质 P理由如下：由题知 n，对于 1和 2，假设存在正整数 k，使得 12ka，则有 31250k，解得 3k，矛盾！所以对任意的 *kN， 12ka 3 分（）若数列 n
8、a具有“性质 P”，则假设 10， d，则对任意的 *n， 1()0nd. 设 2k，则 0k，矛盾！假设 1， ，则存在正整数 t，使得123120tttaaa设 11tka，21tk， 3t， 112ttk，*iN， ,1it ，则310tk，但数列 n中仅有 项小于等于 0，矛盾！假设 1， 0d，则存在正整数 t，使得12312tttaaa设 112ttka， ttk， 314tk， 1ttka，*iN，,i，则 23tkk，但数列 n中仅有 项大于等于 0，矛盾！综上， 10， d 8 分（）设公差为 的等差数列 na具有“性质 P”，且存在正整数 k，使得 2ka若 d，则 n为常
9、数数列，此时 2018n恒成立，故对任意的正整数 ，12k，这与数列 na具有“性质 P”矛盾，故 d设 x是数列 中的任意一项，则 x， 2均是数列 na中的项，设1()k， ()kaxd则 212()kxd，因为 0，所以 1Z，即数列 n的每一项均是整数由（）知， 1a， 0，故数列 的每一项均是自然数，且 d是正整数由题意知， 8是数列 n中的项，故 2018()是数列中的项，设2()mad，则 2(8)72018()mkdmk，即 017因为 8Z， *N，故 是 201的约数所以， ,9,19,9d , 97当 时， 12()ak，得 .8201k，故0,7.,，共 2019 种可能；当 时， 180，得 1,.,，故1208,614,.2,0a，共 1010 种可能；当 9d时， 9()k，得 1,23k，故1,，共 3 种可能；当 207时， 7，得 ,，故18,a，共 2 种可能；当 9d时， 018()0k，得 1,2k，故1,，共 2 种可能；当 207时， 7，得 ，故18a，共 1 种可能；当 9d时， 0901()0k，得 1k，故1，共 1 种可能；当 207时， 2827a，得 ，故18a，共 1 种可能综上，满足题意的数列 n共有 0931309（种） 经检验，这些数列均符合题意13 分
