1、石景山区 2017年高三统一练习数学（理）试卷第一部分（选择题 共 40分）一、选择题共 8小题，每小题 5分，共 40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知集合 210Ax， 1Bx，那么 AB等于（ ）A 0x B C 2 D 02x2已知实数 ,xy满足60，则 zxy的最大值是（ ）A4 B6 C10 D123直线 1cos2被圆 所截得的弦长为（ ）A1 B 3 C2 D4 4设 R， “sinc”是“ cos0”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件5我国南宋数学家秦九韶（约公元 12021261年）给出了求 (N)n次多项
2、式110nnaxax当 0x时的值的一种简捷算法，该算法被后人命名为“秦九韶算法” 例如，可将 3次多项式改写为： 3210a3210()axxa之后进行求值运行如图所示的程序框图，能求得多项式（ ）的值A 4324xxB 5C 32xD 46某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）A 25 B 25 C 45 D57如图，在矩形 ACD中， ， 2B，点 E为 BC的中点，点 F在边 CD上，若BF，则 EF的值是（ ）A 2 B1 C 2 D28如图，将正三角形 A分割成 m个边长为 1的小正三角形和一个灰色菱形，这个灰色菱形可以分割成n个边长为 1的小正三角形若 :47:5n
3、，则三角形 ABC的边长是（ ）A10 B11 C12 D13第二部分（非选择题 共 110分）二、填空题共 6小题，每小题 5分，共 30分.9若复数 1ai是纯虚数，则实数 a 10在数列 n中， 1， 12nA(,3) ，那么 8a等于 11若抛物线 2ypx的焦点与双曲线 14xy的右顶点重合，则 p 12如果将函数 ()sin3)(0)f的图象向左平移 12个单位所得到的图象关于原点对称，那么 13将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分法的总数是 （用数字做答）14已知42(),(),axaf当 1a时， ()3fx，则 ；当 时，若 有三个不等
4、实数根，且它们成等差数列，则 a 三、解答题共 6小题，共 80分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 15已知 ,abc分别是 ABC的三个内角 ,ABC的三条对边，且 22cb（）求角 的大小；（）求 os的最大值 16某超市从现有甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的 1200个数据（数据均在区间 0,5内）中，按照 5%的比例进行分层抽样，统计结果按 0,1， ,20， ,3， 0,4， 分组，整理如下图：（）写出频率分布直方图（图乙）中 a的值；记所抽取样本中甲种酸奶与乙种酸奶日销售量的方差分别为 21s， ，试比较 21s与 的大小（只需写出结论） ；（）从甲种酸奶日销售量在区间
5、 0,2的数据样本中抽取 3个，记在 0,1内的数据个数为 X，求X的分布列；（）估计 1200个日销售量数据中，数据在区间 0,1中的个数17 九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，在阳马 PABCD中，侧棱 P底面 ABCD，且 P， E为 PC中点，点 F在 PB上，且B平面 EF，连接 ， E（）证明： DE平面 PBC；（）试判断四面体 F是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论） ；若不是，说明理由；（）已知 2A， ，求二面角 FADB的余弦值18已知函数 ()1nfx（）求曲线 y在点 (,)
6、f处的切线方程；（）求证：当 0x时， 1x；（）若 1na对任意 恒成立，求实数 a的最大值19已知椭圆2:1(0)yEb过点 (,1)，且离心率为 32（）求椭圆 的方程；（）设直线 :2lyxm与椭圆 E交于 A、 C两点，以 为对角线作正方形 ABCD，记直线 l与x轴的交点为 N，问 B、 两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由20已知集合 12(,),0,1,2nniRXxin ()对于 12(,)naR ，12(,)Bb，定义 A与 之间的距离为 12, ndAaba 1nib（）写出 2R中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；（）若集合 M满足： 3R
7、，且任意两元素间的距离均为 2，求集合 M中元素个数的最大值并写出此时的集合 ；（）设集合 nPR， 中有 (2)m个元素，记 P中所有两元素间的距离的平均值为 ()dP，证明()21)md试卷答案一、选择题1-5:DCBAA 6-8:BCC 二、填空题91 10-2 114 12 4 1336 144，6三、解答题15解：（）因为 22cab，所以221cosabcC又因为 (0,)C，所以 3（）由（）知 ，又 AB，所以 23B且 2(,)，故 coscos3A22ins3A13cosinsi()26A又 (0,)， 5(,)6，所以当 2A即 3时， cosB的最大值为 116解：（）
8、由图（乙）知， 10(.203.5.0)a解得 0.1a， 2s（） X的所有可能取值 1，2，3则12436()5CP，21436()5CPX，30426()5CPX，其分布列如下： X1 2 3P53515（）由图（甲）知，甲种酸奶的数据共抽取 460个，其中有 4个数据在区间 0,1内，又因为分层抽样共抽取了 25%60个数据，乙种酸奶的数据共抽取 64个，由（）知，乙种酸奶的日销售量数据在区间 ,1内的频率为 0.1，故乙种酸奶的日销售量数据在区间 0,内有 0.4个故抽取的 60个数据，共有 48个数据在区间 ,内所以，在 1200个数据中，在区间 ,1内的数据有 160个17 （）
9、因为 PD面 ABC， 面 ABCD，所以 P因为四边形 为矩形，所以 PDC，所以 B面 PDCE面 ， E，在 中， ， 为 中点，所以 EPC，所以 D面 PBC（）四面体 EF是鳖臑，其中 2BDF， 2BFD（）以 A， ， 所在直线为 x轴， y轴， z轴建立空间直角坐标系 (0,)， (2,0)A， (0,2)C， (0,2)P， (,0)设 FB，则 2D得 0A解得 14所以 32(,)4F设平面 的法向量 (,)nxyz，nFDA123040x令 1z得 0x， 3y平面 的法向量 (,1)n，平面 B的法向量 2P，cosn， 01DA二面角 FB的余弦值为 018解:（
10、） 1()fx， ()f，又 (1)0f，所以切线方程为 yx；（）由题意知 x，令 1()()gf 1nx21()gx令 0，解得 x易知当 1x时， ()g，易知当 01x时， ()0gx即 ()gx在 0,1单调递减，在 (1,)单调递增所以 min()， 0gx即 ()0xf，即 1()fx（）设 1nhax，依题意，对于任意 1， ()0hx恒成立()x，1a时， ()0， ()x在 ,上单调递增，当 x时， 1h，满足题意时，随 变化， ()x， h的变化情况如下表：x,aa(,)a()h 0 +x 极小值 ()在 1,a上单调递减，所以 ()10ga即当 时，总存在 ()0，不合
11、题意综上所述，实数 的最大值为 119解：（）设椭圆的半焦距为 c因为点 (0,1)在椭圆 C上，所以 b故 21a又因为 32cea，所以 3c， 所以椭圆 C的标准方程为: 214xy（）设 1(,)Axy， 2(,)，线段 AC中点为 0(,)Mxy联立 2m和 0，得: 22m由 22()4()84，可得 所以 12x， 12x所以 AC中点为 1(,)2Mm弦长 211xy2115()44xx205m，又直线 l与 轴的交点 (,0)N，所以 22215(4Mmm所以 2BACMN所以 、 N两点间距离为定值 10220解：（） 2(,),(),R，2,AB， max,d（） 3中含有 8个元素，可将其看成正方体的 8个顶点，已知集合 M中的元素所对应的点，应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，所以 (0,)1,(,0),1M或 (0,1),(,0)1,M，集合 中元素个数最大值为 4（） 2,()(,)ABPmddC，其中 ,(,)ABPd表示 中所有两个元素间距离的总和设 P中所有元素的第 i个位置的数字中共有 it个 1， imt个 0，则, 1(,)()niiABPdt由于2()4iimt(,)in所以2, 1(,)()4niiABPdt从而22,()(,)(1)ABPmmnCC【注:若有其它解法，请酌情给分】
