1、2017 年上海市宝山区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）1 = 2设全集 U=R，集合 A=1，0，1，2，3，B=x|x 2 ，则 A UB= 3不等式 的解集为 4椭圆 （ 为参数）的焦距为 5设复数 z 满足 （i 为虚数单位） ，则 z= 6若函数 的最小正周期为 a，则实数 a 的值为 7若点（8，4）在函数 f（x ）=1+log ax 图象上，则 f（x ）的反函数为 8已知向量 ， ，则 在 的方向上的投影为 9已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为 6 的正三角形，则该圆锥的侧面积为 10某
2、班级要从 5 名男生和 2 名女生中选出 3 人参加公益活动，则在选出的 3 人中男、女生均有的概率为 （结果用最简分数表示）11设常数 a0，若 的二项展开式中 x5 的系数为 144，则 a= 12如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于 2） ，且所有项之和为 N，那么称该数列为 N 型标准数列，例如，数列 2，3，4，5，6 为 20 型标准数列，则 2668 型标准数列的个数为 二.选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13设 aR，则“a=1”是“复数（a1） （a+2）+（a+3）i 为纯虚数”的（ ）A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既
3、非充分又非必要条件14某中学的高一、高二、高三共有学生 1350 人，其中高一 500 人，高三比高二少 50 人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生 120人，则该样本中的高二学生人数为（ ）A80 B96 C108 D11015设 M、N 为两个随机事件，给出以下命题：（1）若 M、 N 为互斥事件，且 ， ，则 ；（2）若 ， ， ，则 M、N 为相互独立事件；（3）若 ， ， ，则 M、N 为相互独立事件；（4）若 ， ， ，则 M、N 为相互独立事件；（5）若 ， ， ，则 M、N 为相互独立事件；其中正确命题的个数为（ ）A1 B2 C3
4、D416在平面直角坐标系中，把位于直线 y=k 与直线 y=l（k 、l 均为常数，且 kl）之间的点所组成区域（含直线 y=k，直线 y=l）称为“kl 型带状区域 ”，设 f（x）为二次函数，三点（2 ，f（2） +2） 、 （0，f（0）+2） 、 （2，f（2）+2 ）均位于“0 4 型带状区域”，如果点（t，t+1）位于“ 13 型带状区域”，那么，函数 y=|f（t ）|的最大值为（ ）A B3 C D2三.解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17如图，已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的底面积为 ，侧面积为 36；（1）求正三棱柱 ABCA1B1
5、C1 的体积；（2）求异面直线 A1C 与 AB 所成的角的大小18已知椭圆 C 的长轴长为 ，左焦点的坐标为（ 2，0） ；（1）求 C 的标准方程；（2）设与 x 轴不垂直的直线 l 过 C 的右焦点，并与 C 交于 A、B 两点，且 ，试求直线 l 的倾斜角19设数列x n的前 n 项和为 Sn，且 4xnSn3=0（nN *） ；（1）求数列x n的通项公式；（2）若数列y n满足 yn+1yn=xn（n N*） ，且 y1=2，求满足不等式 的最小正整数 n 的值20设函数 f（x ）=lg（x+m） （mR） ；（1）当 m=2 时，解不等式 ；（2）若 f（0）=1 ，且 在闭区
6、间2，3上有实数解，求实数 的范围；（3）如果函数 f（x）的图象过点（ 98，2） ，且不等式 fcos（2 nx）lg2 对任意 nN 均成立，求实数 x 的取值集合21设集合 A、B 均为实数集 R 的子集，记：A +B=a+b|aA，b B；（1）已知 A=0，1，2，B= 1，3，试用列举法表示 A+B；（2）设 a1= ，当 nN*，且 n2 时，曲线 的焦距为 an，如果A=a1，a 2， ，a n，B= ，设 A+B 中的所有元素之和为 Sn，对于满足m+n=3k，且 mn 的任意正整数 m、n 、k，不等式 Sm+SnSk0 恒成立，求实数 的最大值；（3）若整数集合 A1A
7、1+A1，则称 A1 为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合 A2 的某个非空有限子集中所有元素的和，则称 A2 为“N *的基底集”，问：是否存在一个整数集合既是自生集又是 N*的基底集？请说明理由2017 年上海市宝山区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）1 = 2 【考点】极限及其运算【分析】分子、分母都除以 n，从而求出代数式的极限值即可【解答】解： = =2，故答案为：22设全集 U=R，集合 A=1，0，1，2，3，B=x|x 2 ，则 A UB= 1，0，1 【考点】交、并、补集的混合运
8、算【分析】根据补集与交集的定义，写出 UB 与 A UB 即可【解答】解析：因为全集 U=R，集合 B=x|x2，所以 UB=x|x2=（，2） ，且集合 A=1，0，1，2，3，所以 A UB=1，0，1 故答案为：1，0，13不等式 的解集为 （2， 1） 【考点】其他不等式的解法【分析】不等式 转化（x+1） （x +2）0 求解即可【解答】解：不等式 等价于（x+1） （x +2） 0，解得：2x1，原不等式组的解集为（2， 1） 故答案为：（2，1） 4椭圆 （ 为参数）的焦距为 6 【考点】椭圆的参数方程【分析】求出椭圆的普通方程，即可求出椭圆的焦距【解答】解：消去参数 得： ，所
9、以， c= =3，所以，焦距为 2c=6故答案为 65设复数 z 满足 （i 为虚数单位） ，则 z= 1+i 【考点】复数代数形式的混合运算【分析】设 z=x+yi，则 代入 ，再由复数相等的充要条件，即可得到 x，y 的值，则答案可求【解答】解：设 z=x+yi， 则 =x+yi+2（xyi）=3 i，即 3xyi=3i，x=1，y=1 ，因此，z=1+i故答案为：1+i6若函数 的最小正周期为 a，则实数 a 的值为 1 【考点】三角函数的周期性及其求法【分析】利用行列式的计算，二倍角公式化简函数的解析式，再根据余弦函数的周期性，求得 a 的值【解答】解：y=cos 2xsin2x=co
10、s2x，T=a，所以，a=1，故答案为：17若点（8，4）在函数 f（x ）=1+log ax 图象上，则 f（x ）的反函数为 f 1（x）=2 x1 【考点】反函数【分析】求出函数 f（x）的解析式，用 x 表示 y 的函数，把 x 与 y 互换可得答案【解答】解：函数 f（x） =1+logax 图象过点（8，4） ，可得：4=1+log a8，解得：a=2f（ x）=y=1 +log2x则：x=2 y1，反函数为 y=2x1故答案为 f1（x）=2 x18已知向量 ， ，则 在 的方向上的投影为 【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据投影公式为 ，代值计算即可【解答】解：由于向量 ，
11、 ，则 在 的方向上的投影为 = 故答案为：9已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为 6 的正三角形，则该圆锥的侧面积为 18 【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【分析】由题意，得：底面直径和母线长均为 6，利用侧面积公式求出该圆锥的侧面积【解答】解：由题意，得：底面直径和母线长均为 6，S 侧 = =18故答案为 1810某班级要从 5 名男生和 2 名女生中选出 3 人参加公益活动，则在选出的 3 人中男、女生均有的概率为 （结果用最简分数表示）【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】先求出基本事件总数 n= ，在选出的 3 人中男、女生均有的对立事件是三人均为男生或三人均为女
12、生，由此能求出在选出的 3 人中男、女生均有的概率【解答】解：某班级要从 5 名男生和 2 名女生中选出 3 人参加公益活动，基本事件总数 n= ，在选出的 3 人中男、女生均有的对立事件是三人均为男生或三人均为女生，在选出的 3 人中男、女生均有的概率：p= = 故答案为： 11设常数 a0，若 的二项展开式中 x5 的系数为 144，则 a= 2 【考点】二项式系数的性质【分析】利用通项公式 Tr+1= （r=0 ，1， 2， ，9） 令 92r=5，解得 r，即可得出【解答】解：T r+1= = （r=0，1，2，9） 令 92r=5，解得 r=2，则 =144，a0，解得 a=2故答案
13、为：212如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于 2） ，且所有项之和为 N，那么称该数列为 N 型标准数列，例如，数列 2，3，4，5，6 为 20 型标准数列，则 2668 型标准数列的个数为 6 【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】由题意，公差 d=1，na 1+ =2668，n（2a 1+n1）=5336=2 32329，得出满足题意的组数，即可得出结论【解答】解：由题意，公差 d=1，na 1+ =2668，n（2a 1+n1）=5336=2 32329，n2a 1+n1，且二者一奇一偶，（n，2a 1+n1）= （8，667） ， （23，232） ， （29，1
14、84）共三组；同理 d=1 时，也有三组综上所述，共 6 组故答案为 6二.选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13设 aR，则“a=1”是“复数（a1） （a+2）+（a+3）i 为纯虚数”的（ ）A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分必要条件的定义以及纯虚数的定义判断即可【解答】解：当 a=1 时， （a 1） （a+2）+（a+3）i=4i，为纯虚数，当（a 1） （a+ 2）+（a+3）i 为纯虚数时，a=1 或2，故选：A14某中学的高一、高二、高三共有学生 1350 人，其中高
15、一 500 人，高三比高二少 50 人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生 120人，则该样本中的高二学生人数为（ ）A80 B96 C108 D110【考点】分层抽样方法【分析】求出高一、高二、高三的人数分别为：500，450，400，即可得出该样本中的高二学生人数【解答】解：设高二 x 人，则 x+x50+500=1350，x=450，所以，高一、高二、高三的人数分别为：500，450，400因为 = ，所以，高二学生抽取人数为： =108，故选 C15设 M、N 为两个随机事件，给出以下命题：（1）若 M、 N 为互斥事件，且 ， ，则 ；（2）
16、若 ， ， ，则 M、N 为相互独立事件；（3）若 ， ， ，则 M、N 为相互独立事件；（4）若 ， ， ，则 M、N 为相互独立事件；（5）若 ， ， ，则 M、N 为相互独立事件；其中正确命题的个数为（ ）A1 B2 C3 D4【考点】相互独立事件的概率乘法公式【分析】在（1）中，P（MN）= = ；在（2）中，由相互独立事件乘法公式知 M、N为相互独立事件；在（3）中，由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知 M、N 为相互独立事件；在（4）中，当 M、N 为相互独立事件时，P （MN）= ；（5）由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知 M、N 为相互独立事件【解答】解：
17、在（1）中，若 M、N 为互斥事件，且 ， ，则 P（ MN ）= = ，故（1）正确；在（2）中，若 ， ， ，则由相互独立事件乘法公式知 M、N 为相互独立事件，故（ 2）正确；在（3）中，若 ， ， ，则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知 M、N 为相互独立事件，故（3）正确；在（4）中，若 ， ， ，当 M、 N 为相互独立事件时，P（MN）= ，故（4）错误；（5）若 ， ， ，则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知 M、N 为相互独立事件，故（5）正确故选：D16在平面直角坐标系中，把位于直线 y=k 与直线 y=l（k 、l 均为常数，且 kl）之间的点所组
18、成区域（含直线 y=k，直线 y=l）称为“kl 型带状区域 ”，设 f（x）为二次函数，三点（2 ，f（2） +2） 、 （0，f（0）+2） 、 （2，f（2）+2 ）均位于“0 4 型带状区域”，如果点（t，t+1）位于“ 13 型带状区域”，那么，函数 y=|f（t ）|的最大值为（ ）A B3 C D2【考点】函数的最值及其几何意义【分析】设出函数 f（x）的解析式，求出 |t 的范围，求出|f（t ）|的解析式，根据不等式的性质求出其最大值即可【解答】解：设 f（x）=ax 2+bx+c，则|f（2）|2 ，|f（0）|2，|f（2）|2，即 ，即 ，t+1 1，3，|t |2，故 y=|f（t）|= | t2+ t+f（0）|=| f（2）+ f（ 2）+ f（0 ）| |t（t+2）|+ |t（t 2）|+ |4t2|= |t|（t +2）+ |t|（2 t）+ （4t 2） （|t|1） 2+ ，故选：C
