1、海淀区高三年级第一学期期末数学（文科）2016.1本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1. 复数 (1i)A. B. C. D.21122. 已知数列 是公比为 2 的等比数列，且满足 ，则 的值为na4320a4aA. B. C. D.248163. 如图, 正方形 中， 为 的中点，若 ，ABCDEAEBC则 的值为A.B. C. D.1212114 . 如图，在边长为 的正方形内有区域
2、 （阴影部分所示） ，张明同学用随3A机模拟的方法求区域 的面积. 若每次在正方形内每次随机产生 个点, A0并记录落在区域 内的点的个数. 经过多次试验，计算出落在区域 内点的个 A数平均值为 个，则区域 的面积约为60A. B. C. D.5785. 某程序框图如图所示，执行该程序，如输入的 值为 1，则输出的 值为aaA. B. C. D.12356. 若点 (2,3)不在不等式组 表示的平面区域内，则实数 a的取值 0,21xya范围是A. B. C. D. (,0)(,)(0,)(,1)EABCD7. 已知函数 则下列结论正确的是, 1,()sin2xfA B000,()()xffx
3、R,()xffxRC函数 在 上单调递增 D函数 的值域是()f,2()f1,8. 已知点 ，抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上，若点 恰好在 的5,0A:4CyxFPCFPA垂直平分线上，则 的长度为PA. B. C. D.2234二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。9. 若 ，则lg1ab_.a10. 已知双曲线 的一条渐近线通过点 , 则2(0)yx(12)_,b其离心率为 _.11. 某三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积为 .12. 直线 经过点 ，且与曲线 相切，若直线 的倾斜角为 ，l(,0)At2yxl45 则 _.t13. 已知圆 截直线 所得的弦的长
4、度为为 ，则 2()4xay42_.a14. 已知 ，若存在 ，满足 ,则称 是 的一个“友好”三ABC1ABC111coscosiniinABC1ABC角形.(i) 在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是_：（请写出符合要求的条件的序号） ； ；90,6,30ABC75,60,45ABC .75,(ii) 若 存在“友好”三角形，且 ，则另外两个角的度数分别为_.70主2主2主三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。15. （本小题满分 13 分）等差数列 的首项 ，其前 项和为 ，且 . na1nnS3547a（）求 的通项公式；（）求满足不
5、等式 的 的值. 32nSan16.（本小题满分 13 分）已知函数 .()2cos(incs)1fxx（）求函数 的最小正周期；（）求函数 在区间 上的最大值与最小值的和. ()fx, 61217.（本小题满分 13 分）为了研究某种农作物在特定温度下（要求最高温度 满足： ）的生长状况，某农学家需要t27c30t在十月份去某地进行为期十天的连续观察试验. 现有关于该地区 10 月份历年 10 月份日平均最高温度和日平均最低温度（单位： ）的记录如下：c()根据本次试验目的和试验周期，写出农学家观察试验的起始日期.()设该地区今年 10 月上旬（10 月 1 日至 10 月 10 日）的最高
6、温度的方差和最低温度的方差分别为 ，12,D估计 的大小？（ 直接写出结论即可 ）.12,D()从 10 月份 31 天中随机选择连续三天，求所选 3 天每天日平均最高温度值都在27，30之间的概率.18.（本小题满分 14 分）如图，四边形 是菱形， 平面 ，ABCDPABCD，PDBEA, ，点 为 的中点.2ADPE60F（）求证： 平面 ；F（）求证：平面 平面 ；AP（）求三棱锥 的体积. EFEBAPDC温度19.（本小题满分 13 分）已知函数 1()ln,0.fxkx（）当 时，求函数 单调区间和极值；k()f（）若关于 的方程 有解，求实数 的取值范围 . xxkk20.（本
7、小题满分 14 分）如图，椭圆 的离心率为 ，其2:1(0)xyWab32 左顶点 在A圆 上. 2:16Oxy（）求椭圆 的方程；（）直线 与椭圆 的另一个交点为 ，与圆 的另一个 APPO交点为 .Q（i）当 时，求直线 的斜率；82|5A（ii）是否存在直线 ，使得 ? 若存在，求出直线 的斜率；若不存在，P|3QAP说明理由. y x O B A 海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案数 学 （文科） 2016.1阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40
8、 分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A C A B C B D D二、填空题:本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.题号 9 10 11 12 13 14答案 10,241或26； 456，说明： 第 1题少写一个减分，错的则不得分第 14 题第一空 3 分，第二空 2 分，第二问少或错写的都不得分三、解答题: 本大题共 6 小题，共 80 分.15解：（）设数列 的公差为 . .1 分nad因为 ，所以 . .3 分3547112637ad因为 ，所以 ，即 , .5 分1ad所以 . .7 分()21nn（）因为 ， ，所以 , .9 分1an21nnaS所以 ，所
9、以 , .11 分23()2n2650解得 ，所以 的值为 . .13 分15n,3416.解：（）因为 ()2cos(incs)1fxx.4 分sin2cosx.6 分i()4所以函数 的最小正周期 . .8 分()fx2|T（）因为 ，,61所以 ，所以 , .9 分2,3x(2)412x，根据函数 的性质，()sinf当 时，函数 取得最小值 ， .10 分241x()fx2sin()1当 时，函数 取得最大值 . .11 分()fsi因为 ， 2sin()2sin01所以函数 在区间 上的最大值与最小值的和为 . .13 分()fx,61017解：（）农学家观察试验的起始日期为 7 日
10、或 8 日. .3 分（少写一个扣 1 分）（）最高温度的方差大. .6 分（）设“连续三天平均最高温度值都在27，30 之间” 为事件 A， .7 分则基本事件空间可以设为 ，共计 29 个基本事件(1,23),4(,5).,(290,31).9 分由图表可以看出，事件 A 中包含 10 个基本事件， .11 分所以 ， .13 分10()29PA所选 3 天每天日平均最高温度值都在27，30之间的概率为 . 102918解：（）取 中点 ，连接ADG,FB因为点 为 的中点，FP所以 且 .1 分A 12又 ，且 ， BEPDP所以 ,FGA所以四边形 为平行四边形 . .2 分所以 ,E
11、B又 平面 ， 平面 , .3 分 FACDABCD所以 平面 . .4 分（）连接 .B因为四边形 为菱形， ，所以 为等边三角形.AC=60ABABD因为 为 中点，所以 ， .6 分GDG又因为 平面 ， 平面 ，所以 ， .7 分PCPG又 ， 平面 ， .8 分A,PA所以 平面 . .9 分B又 所以 平面 ，,EFGD又 平面 ，所以平面 平面 . .10 分PAPAE法二：因为四边形 为菱形， ，所以 为等边三角形.BC=60BABD因为 为 中点，所以 ， .6 分D又因为 平面 ， 平面 ，PAP所以平面 平面 ， .7 分B又平面 ， 平面 , .8 分C平 面 GABC
12、D所以 平面 . .9 分BGPADGFEBAPDC又 所以 平面 ，,EFBGAPAD又 平面 ，所以平面 平面 . .10 分E（）因为 ， .12 分12PADS, 所以 . .14 分3EFBG1233PADEPAVSF19解：（）函数 的定义域为 . .1 分()lnfxkx(0)，. .3 分21()kfx当 时， ,1k221()xfx令 ，得 ， .4 分()0f所以 随 的变化情况如下表：,xf(0,1)(1,)()fx0A极小值 A.6 分所以 在 处取得极小值 , 无极大值. .7 分()fx1(1)f的单调递减区间为 ，单调递增区间为 . .8 分(0, (,)（）因为
13、关于 的方程 有解,x)fxk令 ，则问题等价于函数 存在零点, .9 分()gxfk()gx所以 . .10 分221()x令 ，得 .()0gxk当 时， 对 成立，函数 在 上单调递减，k()(0,)()gx0,)而 ， ， (1)0gk1 1()()0eekkkg 所以函数 存在零点. .11 分x当 时， 随 的变化情况如下表：0k(),gxx10,k1(,)k()g 0 +x 极小值 所以 为函数 的最小值, 11()lnlgkk()gx当 时，即 时，函数 没有零点,()0()当 时，即 时，注意到 , 所以函数 存在零点. 1()gk1k1()0gke()gx综上，当 或 时，关于 的方程 有解. .13 分0xfx法二：因为关于 的方程 有解，x()fxk所以问题等价于方程 有解， .9 分1ln)0令 ，所以 , .10 分g()ln)xk(lgxk令 ，得01x当 时， 随 的变化情况如下表：k(),x0,1(,)()g0 x 极大值 所以函数 在 处取得最大值，而 .g()1g(1)0k
