1、北京师范大学数学科学学院数学 思想 史课程期末论文 1 浅 谈 复数 起源 及 其 对复数教学的启示 作者姓名： * 作者单位： 数学科学学院 作者学号： 20111113* 作者年级： 2011 级 作者专业： 北京师范大学数学科学学院数学 思想 史课程期末论文 2 浅谈 复数 起源 及 其 对复数 教学设计的启示 摘 要 本论文以复数在数学史上的发现与探索为线索 ，浅读复数发展史 ， 并 较为完整的将复数的产生、矛盾的解决以及近代数学家们对于复数的探索呈现出来，从逻辑矛盾、逻辑推理再到几何解释等方式使数学界广泛接受复数概念。最后本文讨论了复数发展史对于现代教学设计的相似性与启示，认为数学史
2、对教师的作用是不可小视的，按照数学的发展历程教学有利于学生的学习。 关键词： 复数 ； 几何解释；相似性 ；教学 北京师范大学数学科学学院数学 思想 史课程期末论文 3 目录 1.复数产生的缘起 4 1.1 从二次方程、三次方程求根公式到复数的崭露头角 5 1.2 复数在 17-19 世纪的发展 7 2.复数发展史与复数学习的相似性与启示 . 9 北京师范大学数学科学学院数学 思想 史课程期末论文 4 英国科学期刊物理世界曾让读者投票评选了“最伟大的公式”，欧拉公式（ Eulers Identity）最终以仅次于麦克斯韦方程（ The Maxwells Equations）的票数获得了第二名。
3、 而美国数学情报杂志曾于 1988 年刊出数学上 24 个著名的定理，让读者给每一个定理打分，评出最美定理，第一名还是欧拉公式（ Eulers Identity）。 让我们重新审视欧拉公式 这样一个简单的公式将数学中最简单也最重要的五个常数联系到了一起，分别是 、 、 、 和 。这五个数字中，每个数字都有其自身的发展历程，是各自领域的“杰出代表”： e 和 代表了无理数， 1 和 0 代表了有理数，而 i 则是复数（虚数）的代表。相比于其他四个数字， i 看起来一点也不普通，这也决定了它的产生、发展历程也是不平凡的。 复数作为数学的根基，已经被纳入了初等数学的必修部分，这无疑对于学生对于数学的
4、理解是有一定 帮助的。高等数学中也有复变函数，作为数学专业的学生学习是必不可少的。复 数的发展史对于初等数学学习，乃至高等数学学习是否有帮助？答案是肯定的。 1.复数 产生的缘起 正像前面所说的那样， 复数与其他数字一样，是数学庞大建筑的重要根基，也同样有着自己的起源和发展。与实数不同的是，实数中，自然数可以通过人们对于自然界的认知得出，整数可以通过人们最初对于数学认识的加减乘除等简单运算得出，无理数 可以通过乘法的进一步复杂深入运算 乘方与开方运算得出，然而，复数不会那么直接的产生。因此，每一个初识复数的人都会问两个问题，第一个是“复数是怎样被发明出来的”，第二个是“既然复数在自然界中不能由
5、人 们的认知直接得出，那么复数在人类的生产生活中到底有什么用”。相比于应用，产生过程往往要重要一些，耗费人们时间与经历会多一些，所以“复数为什么会出现”这个问题就有一定研究价值。 复数的产生是数学史中的一朵奇葩，没有专门研究过数学史的人并不会对现代教科书中关于“复数产生于 的求解问题”或者“复数域的建立是从一维欧式空间扩充到二位欧式平面，在二位欧氏平面 中引入乘法运算 ，从而扩充到了复平面”北京师范大学数学科学学院数学 思想 史课程期末论文 5 产生任何疑问。上述两种方法是正确的，而特别是初等数学中对于第一种方法学生接受得比较良好。 但是，实际上历史上数学家们对于复数的探究可谓是一波三折，虚数
6、单位 i 被人们接受 的过程并不是一帆风顺的，这都要从一场风波 三次方程求根公式 说起。 1.1 从 二次方程、 三次方程求根公式到复数的崭露头角 很多人普遍认为，对于 这个东西，如果稍加探索，我们就可以引入虚数单位 i，从而将数域从实数扩展到复数。 虽然这与中学课本中教授的方式相同， 但是史实并未如此。 对于二次方程的研究在很早就有了。 古希腊数学家 丢番图 （ Diophantus 约246-330） 在公元三世纪就对二次方程进行了系统的研究，他用配方法计算了大量的各种各样的二次方程，在求解 这一类型的方程中，判别式可能出现负数的情况，这时与求解 时遇到的情况无异，但是丢番图并没有继续研究
7、下去。 数学的发展并不取决于某一个人，而取决于某一群人或者某一代人。 丢番图 没有继续研究下去， 这与当时的数学发展的历史背景有关，当时的数学界还不敢承认负数的存在，更不用说 承认平方根是负数，或者虚数的存在。 1 二次方程的负判别式在十二世纪的印度人眼中也是毫无研 究价值、毫无意义的。 婆赛协罗（ Bhaskara 1114 - 1185） 用以下简短语言对这个问题做出了解释：“正数的平方，以及负数的平方，都是正的；正数的平方根为二重，一正一赴；负数没有平方根，因为负数不是平方数。” 2 1484 年，法国数学家舒开（ N.Chuquet 约 1445-1500）在算术三编 指出 的 根 没
8、有意义。这是历史上由此形式上出现负数的平方根。 3在后面的很长一段时间（直到十五世纪），全世界的数学家们依然是回避。 在我看来，这与 当时的数学观念发展是有一定联系的。一方面来说 ，负数开平方根对于实 际意义来说毫无价值，因为正数开平方可以认为是求具有某个面积的正方形的边长，而负数开平方已经超出了当时人们对于自然的认知，没有具体形象的实体研究也就没有研究的意义，这与当时数学界朴实自然唯物主义有关；另一方面， 当时的人们认为只要是开平方，就一定是对正数开平方，而不是对于负数开平方。产生负数开平方 的原因是人们对于数学研究的不彻底，一些条件没有限制。 北京师范大学数学科学学院数学 思想 史课程期末
9、论文 6 最早不回避“负数开平方”这个问题，并将其引起数学界注意的人是 意大利文艺复兴时期的数学家、医生、物理学 家 杰罗姆 卡当（ Jerome Cardan 1501-1576） 。卡当的一本书大术 （ Ars Magra ） 中记载了由一名威尼斯数学教师塔塔里亚成果 解三次方程的 一般方法。尽管塔塔里亚对于卡当将自己的的三次方程的解法写到大术中的做法非常气愤，卡当依然是第一个将复数形式写入书中，不回避复数解的正确性的第一人。在大术中 ， 出现了根号下是复数的情况，对于一些具体的例子，最有名的则是大术第 37 章的一题 ：“分 10 为两部分，使其积等于 40”。对于现代数学而言，很容易有
10、 的结论，但是 对于已经验证 这两解对于方程的正确性的卡当而言，这两个解依然是不可接受的，他对 形式的数字依然十分怀疑。 虽然怀疑，但是卡当依然是将 形式引入数学舞台的第一个人。 （注：在大术中并没有 准确给出 a+bi的复数表现形式，甚至于并没有出现 i 这一符号，但是确实承认了 a+bi 是有一定数学意义的 。 ） 有时候某一种事物发现者并不一定是将它发扬光大的人，就像蒸汽机，我们并不会记得发明蒸汽机的人是谁，但是记得改良蒸汽机的瓦特，是他将人类带入了第一次工业革命。复数的发现 与发展的历程也是如此 ，卡当抱着怀疑的态度提出来了最初的复数形式，而后面的数学家才将其发扬光大， 拉法耶儿 邦贝
11、利（ Rafael Bombelli 1526-1572）就接住了卡当在复数研究方面的接力棒。 卡当的大术是一本影响力极大的数，它标志着超越欧洲所研究的伊斯兰代数之后首次实质性的进步。 4大术在知识角度有较大的跨越，但是作为一本教材来说，其中一些繁杂甚至有些啰嗦的推理，是不合适的。邦贝利希望写一本更加适合学生使用的教科书，因此他写了代数 一本虽然数学水平不及大术但更加通俗易懂的教科书。邦贝利的代数标 志着文艺复兴时期意大利代数的高峰。 4 在代数中，邦贝利将现代虚数的概念完整的给出，虽然使用的是他自己定义的符号。 他认为这些数既不是正的（ piu） ,也不是负的（ meno）。 他以卡当在解三
12、次方中遇到的虚数为基础，把现代符号中所表示的数 bi 和 -bi 分别叫做 piu di meno 和 meno di meno。例如，他把 2+3i 写为 2p dim 3,2-3i 携程 2 m dim 3，邦贝利定义了这些新（复）数的各种乘法法则，诸如， piu di meno 乘以 piu di meno北京师范大学数学科学学院数学 思想 史课程期末论文 7 得负，而 piu di meno 乘以 meno di meno 得正 ， 。 4与此同时，邦贝利还在代数中举了大量的例子，来说明这种运算在解决三次方程求根问题中是可行并且是唯一的，而且他还指出，利用他新定义的数和运算解决以前无解
13、的二次方程（ ）也是可行的。虽然邦贝利给出了现代数学证明是正确的复数定义和复数运算法则，并且给了后面的数学家以非常大的启示，但是他以及持此接力棒的上一人 卡当依然不是对于这个数字百分之百予以肯定，其中的原因不难猜测：当时数学界从来不会承认根号下负数时有解的，大背景下的小人物要突破当时的思想 禁锢是需要非常大的勇气，而有这种勇气的人往往是划时代的大数学家。 1.2 复数在 17-19 世纪的发展 真理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验，最终占有自己的一席之地。而这就是复数从“虚无之数”到被数学界所接受 经历的漫漫长路。 在研究 方 程的解的时候， 荷兰数学家 阿尔伯特吉拉德（ Albert
14、Gerald 1595-1632） 认为，为了建立根与系数的一般法则（即代数基本定理） ，在统计解的个数时必须把虚 根包括在内（他称虚根是不可能的）。 4但法国大哲学家和数学家笛卡尔（ R.Descartes 1596-1690）却给虚根起名字为“虚数”（ imaginary number），言下之意是这个数是人们虚构出来的东西。 笛卡尔认为与虚数相应的几何作图是不可能 做出来 。 8 直至到了 17-19 世纪，虚数才在几位划时代的数学家的研究中“正名” ，然而这一过程也是曲折漫长的 。 1702 年 , 约翰 伯努利 (J.BernoullI 1667-1748)通过积分得到 ，他的工作引
15、起了数学家对负数和复数的对数性质的讨论。 法国数学家达朗贝尔（ Jean le Rond DAlembert 1717-1783） 是早期研究复数的数学家之一，他 在 1747 年指出，如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算，那么它的结果总是 a+bi 的形式（ a、 b 都是实数）。法国数学家棣莫弗（ 16671754）在 1730 年发现了著名的棣莫佛定理。 棣莫佛定理 的发现推动了三角函数的发展，得出了大量的三角恒等式，解释了复数与三角函数之间的关系8。 欧拉 （ Leonhard Euler 1707-1783） 在 1748 年首次发表了对复数的发展具有重要作用的欧拉公式 ，并用
16、这个结果处理了大量问题。欧拉像使用实数一样有效地使用复数 , 数学家们也因此对复数产生了一些信心。同时，欧拉 在微分公式（ 1777 年）一文中第一次用 i（拉丁文 imaginarus，英文 imaginary，北京师范大学数学科学学院数学 思想 史课程期末论文 8 虚幻的第一个字母） 来表示 ，首创了用符号 i 作为虚数的单位。 “虚数 ”实际上不是想象出来的，而它是确实存在的。 在 18 世纪，尽管有一些数学家已经广泛地使用复数进行运算，但是无论是欧拉还是其他数学家对这些数还是搞不太清楚， 由于复数的概念与当时人们传统的数的概念相差太大，它不易被人们接受。35使人们广泛接受复数概念的并不
17、是欧拉等数学家对于复数的逻辑解释，而是复数的几何解释。沃利斯 (J.Wallis, 1616-1703)在 1673 年给出复数几何解释的第一个尝试。他认为虽然要使任何一个实数的平方成为负数是不可能的 , 但当正确理解它时它不是没用的或荒唐的 , 然而他对虚 根的解释并没有获得完全成功。 3 复数的几何解释是将每一个复数一 一对应到复平面上的点，复平面则是由实数轴和虚数轴垂直织成的平面。 现在对于我们感到很熟悉和自然的复平面，却经历了近百年曲折的探索历程。 挪威的测量学家 韦赛尔 （ 17451818）在 1779 年试图给于这种虚数以直观的几何解释，并首先发表其作法，然而没有得到学术界的重视
18、。 他的成果直到 1897 年才被数学界接受。 3但是他确是复数的几何解释迈出的第一步。 事实上 , 韦塞尔在 1787 年的三角测量报告中已详细说明了怎样给出在一个平面上的方向的解析表示。 61806 年，阿尔冈私人出版了一本没有署名的小书试论几何作图中虚量的表示法，之后 7 年，该书和韦塞尔的工作一样不为人所知。该书中阿尔冈创造性地讨论了使用线段比例中项 和“绝对值”来导出复数的几何意义 。这一点与 现代数学中平面向量的平行四边形法异曲同工。然而，更令人惊奇的是高斯和韦塞尔可能同时发现了复数的几何表示。高斯第一次发表有关复数几何表示的论文是在 1831 年 , 在此高斯注释说他有这种思想已
19、好多年了 , 其迹象隐含地存在于他 1799 年关于代数基本定理的证明中。 3 虽然阿尔冈和 韦赛尔 的研究结果是具有划时代意义 的，但是他们的成果却没有被当时的数学界所接受，这预示着复数的几何表示注定是一波三折。这个幽灵般的 数字没有消亡，尘埃落定的时刻使人们真正接受几何解释的时刻。数学研究的成果是为其他学科所用的，因此我认为，复数真诚尘埃落定的时刻是 它在物理学、电工学、力学、地图学和航天技术等许多领域中得到广泛应用 的时刻。复数的整个发展过程是十分曲折的，它就像是人类传统思想上的一次巨大的变革，简而言之，虚数确实是人们敢于打破陈规思维，创造出来的一个数字。虽然并没有现实中的事物作为认知基
20、础，但是数学家们还是利用了数学的严谨和逻辑，探索北京师范大学数学科学学院数学 思想 史课程期末论文 9 出了一篇复数新天地，最后用于了其他学科，这是数学前瞻性的最佳体现。 2.复数发展史与复数学习的相似性与启示 数学家们从三世纪开始对于复数有最初的接触，到十九世纪复数广泛应用到其他领域，人们逐渐接受复数的概念，这其中的历程十分曲折，是一个破旧立新、勇于探索的过程。回想 起小学、初中、高中再到大学对于复数的学习过程，我认为这是一个数学家探索复数过程的缩影。 复数发展史与复数学习是十分相似的。 小学学习正数，初中学习负数，并且开始接触一元二次方程，对于 的方程一律认为 是无解的，到了高中开始接触复
21、数的概念，到了大学，物理专业的学生使用复数解决电工问题，数学专业的学生则学习复变函数等涉及到复数的专业课程。 复数概念的曲折历史对于教学还是有 一定启示的。法国实证主义哲学家、社会学创始人空的（ A.Comte 1798-1857）提出个体知识的发生过程与历史上人类知识的发生相一致的观点； 19 世纪德摩根（ Augustus de Morgan 1806-1871）强调数学教学中的历史次序； 20 世纪初，法国著名数学家庞加莱（ H.Poincare 1854-1912）认为数学课程的内容应完全按照历史发展 顺序展现给学生； M克莱因（ MorrisKline 1908-1992） 历史上大
22、数学家在作出某些创造是遇到的困难或所犯的错误，课堂上的学生也必会重新经历 .7许多数学家、数学教育家都持这种观点。 复数概念从产生到被普遍接受的艰难历程至少告诉我们在课堂上讲解虚数概念的实际应用 , 乃是让学生接受和理解它的不可或缺的重要手段。 援引西方 HPM（ HPM 是英文 Relations between History and Pedaygy of Mathematics（数学史与数学教 学之间的关系）的简称）研究者曾对 97 位还没有学过复数的中学生（ 16-18 岁）进行了调查。调查结果表明：只有 2%的学生接受方程 的根为 。而 92%的学生不接受这个根（ 6%的学生不作回答
23、）；但对于三次方程 的根 ，有 54%的学生表示接受（ 35%的学生不接受， 11%的学生不回答）。然后按相反顺序（先三次方程、再二次方程）对相同年龄组的 52 名学生进行测试，结果， 41%的学生接受三次方程的根（ 25%的学生不接受， 34%的学生不回答）。接着 ，有 18%的学生接受二次方程的根（ 66%的学生不接受， 16%的学生不北京师范大学数学科学学院数学 思想 史课程期末论文 10 作回答）。研究者的结论是按历史顺序来教一门学科 , 可以帮助学生更好地理解这门学科。 7 因此我认为，对于教师对于数学史的了解是必须的，在课堂设计上对于环节的设置也是有必要参考数学史的，不仅针对于复数
24、，而是针对于所有的数学知识。 参考文献 1 朱求长，关于复数产生之说，数学的实践与认识， 1981 年第 4 期 2 （美） T.丹齐克，数 科学的语言，苏仲湘译，通俗数学名著译丛，上海教育出版社， 2000， 2001 3 孙庆华、 包芳勋 ， 复数的历史发展及在中国早期的传播 ， 西北大学学报 (自然科学版 )， 2006 年 6 月 , 第 36 卷第 3 期 ， 502 4 （美） V.J.卡茨，数学史通论（第二版），李文林等译，高等教育出版社，2004 5 百度百科 .复数 . http:/ 2013 年 11 月 12 日 . 6 BRANNER B , LBTZEN J. Cas
25、parW esse ,l On the Analytica l Representation of D irec tion M . Comm ission Agent: C. A. Reitzels Fo rlag Copenhag en, 1999. 7 汪晓勤、卢志明，荒岛寻宝： HPM 视角下的复数教学，数学教学， 2003年第 6 期， 45 8 （美） 保罗 .J.纳欣，虚数的故事 ，朱惠霖 译， 上海教育出版社 ， 2008 北京师范大学数学科学学院数学 思想 史课程期末论文 11 Discussion on the origin and its implications on c
26、omplex teaching Abstract In this thesis, the complex in the history of mathematics discovery and exploration as the clue, complete the complex production, solving the contradiction and modern mathematicians for complex exploration revealed, from the logical contradiction, logic reasoning to the geom
27、etric interpretation methods such as mathematical concept is widely accepted. Finally this paper discusses the complex history for similarity and Enlightenment of modern teaching design, the history of mathematics teachers is the key, according to the history of mathematics teaching is beneficial to students learning. Key word: Complex; A geometric interpretation; Similarity;Teaching
