1、 1 第一章 参考答案： 1 （1） 0 221 4 3 3 7 ，有理数，所以周期为 14 （2） 0 22 12 1 6 ，无理数，非周期 2 （1） 1 2 3 3 2 1 (2) 当 0 n 时 1 1 y( ) 0.5 2 2 3 nmm n m n 当 1 n 时 4 y( ) 0.5 2 2 3 n nmm n m n 3 线性，时变 4 （1）因果，不稳定 （2）非因果，稳定 5 单位抽样响应： 1 1 () ( 1 ) () 2 n hn un n 2 1 2 (n m) 1 y( ) ( ) * ( ) 1 1 2 (n 1) e ( ) 1 2 2 n jn m jj n
2、 j n j m nx nh n e ee uu n e第二章 1 求下列序列的 Z 变换并画出零、极点图。 （1） x( ) n na （2） 0 x( ) sin( ) 0 nn nn 2 分别用乘除法、留数定理和部分分式法求下列 X(Z)的反变换。 1 X(z) 1 za z az a答案： 11 1 x( ) ( ) (a ) (n 1) n nn u aa a 3 4 3 有一信号 y(n)，它与另两个信号 x1(n)和 x2(n)的关系是： 12 () ( n3 ) * x( 1 ) yn x n 其中， 12 11 x() () , x() () 23 nn nu nnu n 利
3、用 Z变换性质求 y(n)的 Z变换 Y(Z)。 实验2-1 离散系统的分析的基本理论 实验目的：加深对离散系统基本理论和方法的理解 1 一线性移不变离散时间系统的单位抽样响应为 ( ) (1 0.3 0.6 ) ( ) nn hn un (1) 求该系统的转移函数 () H z ，并画出其零-极点图； (2) 写出该系统的差分方程。 5 解： （1）系统的转移函数是是其单位抽样响应的Z变换，因此 12 111111 12 123 1113 3 . 81 . 0 8 () 1 1 0.3 1 0.6 (1 )(1 0.3 )(1 0.6 ) 3 3.8 1.08 1 1 1.9 1.08 0.
4、18 zz Hz zzzzzz zz Z zzz 系统的零极点图如下图所示： B=3,-3.8,1.08; A=1,-1.9,1.08,-0.18; Z,P,K=tf2zp(B,A); Zplane(B,A) Z = 0,0.8361,0.4306 P =1.0000, 0.6000,0.3000 (2) 由于 12 123 ( ) 3 3.8 1.08 () ( ) 1 1.9 1.08 0.18 Yz z z Hz Xz z z z 所以系统的差分方程： ( ) 1.9 ( 1) 1.08 ( 2) 0.18 ( 3) 3 ( ) 3.8 ( 1) 1.08 ( 2) yn yn yn y
5、n xn xn xn 2 已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统 ()(1 )(2 )(1 ) yn yn yn xn 6 （a） 求这个系统的系统函数 () () () Yz Hz X z ，画出 () H z 的零-极点图并指出其 收敛区域； （b） 求此系统的单位抽样响应； 解：(a) 1 12 () () () 1 Yz z Hz Xz z z |Z|1.618 B=0,1; A=1,-1,-1; Z,P,K=tf2zp(B,A); Zplane(B,A); Z =0 P = -0.6180,1.6180 (b) B=0,1; A=1,-1,-1; h,t=impz(B,A,5
6、0); Stem(t,h,.); 73 一个离散时间系统的一对共轭极点： 4 1 0.8 j p e ， 4 2 0.8 j pe ，在原点有二 阶重零点。 （1） 写出该系统的转移函数 () H z ，画出零-极点图； （2） 试用零-极点分析的方大致画出其幅频响应（02） ； （3） 若输入信号 () () xnu n ，并且系统有初始条件 (2 ) (1 )1 yy ,求该系统 的输出 () y n 解： （1）依题意： 2 12 11 12 44 11 () 0.8 () () 1 1 . 1 30 . 6 4 (1 0.8 )(1 0.8 ) jj z Hz z zpzp z z e
7、z ez B=1; A=1,-1.13,0.64; Z,P,K=tf2zp(B,A); Zplane(B,A); 8(2) 由H(z)的表达式，不难求出， 当w=0时， 0 ( ) 1/ 0.51 2; j He 当w=时， ( ) 1/ 2.77 0.36; j He 当w=/4时， 4 ( ) 1/ 0.256 4 j He ，峰值。 B=1; A=1,-1.13,0.64; H,w=freqz(B,A,256,whole,1); figure(1); subplot(2,1,1); plot(w,abs(H) subplot(2,1,2); plot(w,angle(H) 9(3)此处给
8、出的系统初始条件不为零，因此系统的输出由两部分组成，一是零输 入解，二是零状态解。 求零输入解： 1 1 1 12 0 () () 0.49 0.64 () , 1 1.13 0.64 () N km km k oi N k k akz ymz z Yz zz akz /4 /4 ( ) (0.245 0.3206)0.8 ( ) (0.245 0.3206)0.8 ( ) nj n nj n oi y n j eu n j eu n 求零状态解： 由 () () xnu n 可知， 1 1 () 1 Xz z 12 1 () 11 . 1 3 0 . 6 4 Hz zz 1 11 44 1/
9、 4 1/ 4 1 11 () ()() 1 (1 0. 8 )(1 0. 8 ) 1.9608 0.4804 0.6286 0.4804 0.6286 1 1 0.8 1 0.8 jj jj Yz HzXz z ez ez jj ze ze z 10 /4 /4 0 ( ) 1.9608 ( ) ( 0.4804 0.6286)0.8 ( ) ( 0.4804 0.6286)0.8 ( ) nj n nj n s ynu n j eu n j eu n 系统输出： 0 /4 /4 () () () 1.9608 ( ) (0.2354 0.308)0.8 ( ) (0.2354 0.308)
10、0.8 ( ) os i nj n nj n yn y n y n un j e un j e un y0=1 1; xic=filtic(b,a,y0); N=100;n=0:N-1;xn=ones(1,N); yn=filter(b,a,xn,xic); plot(n,yn); 实验2-2 离散系统的差分方程、冲激响应和卷积分析 实验内容：编制程序求解下列两个系统的单位冲激响应和阶跃响应，并绘出其图 形。 1 2 125 . 0 1 75 . 0 n x n x n y n y n y 4 3 2 1 25 . 0 n x n x n x n x n y实验要求：给出理论计算结果和程序计算
11、结果并讨论。 11 解：(1) 1 2 125 . 0 1 75 . 0 n x n x n y n y n y转移函数为： 1 12 1 ( ) , 0.5 1 0.75 0.125 z Hz z zz 利用r,p,k=residuez(num,den),则 11 65 () 1 0.5 1 0.25 Hz zz ， 单位抽样响应（冲激响应）为： ( ) 6( 0.5) ( ) 5( 0.25) ( ) nn hn un un 即 (0) 1, (1) 1.75, (2) 1.1875, (3) 0.6719, (4) 0.3555, hh h h h 阶跃响应为： 0 ( ) , , 0
12、mm yn xn hn xmhn m hn mn mm 即 (0) 1, (1) 0.75, (2) 0.4375, (3) 0.2344, (4) 0.1211, yy y y y 利用函数 h=impz(b,a,N)和 y=filter(b,a,x)分别绘出冲激和阶跃响应： b=1,-1; a=1,0.75,0.125; x=ones(1,100); h=impz(b,a,100); y1=filter(b,a,x); figure(1) subplot(2,1,1); plot(h); subplot(2,1,2); plot(y1); 12(2) 4 3 2 1 25 . 0 n x
13、n x n x n x n y转移函数为： 1234 ( ) 0.25( ) Hz z z z z 冲激响应为： ( ) 0.25( ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) hn n n n n 即 (0) 0, (1) 0.25, (2) 0.25, (3) 0.25, (4) 0.25, ( ) 0,( 4) hhhhh h nn 其余 阶跃响应为： 0 ( ) , , 0 mm yn xn hn xmhn m hn mn mm 即 (0) 0, (1) 0.25, (2) 0.5, (3) 0.75, ( ) 1,( 3) yyyy y nn 其余 利用函数h=impz(b,a,N)和y
14、=filter(b,a,x)分别绘出冲激和阶跃响应 b=0,0.25,0.25,0.25,0.25; a=1; x=ones(1,100); h=impz(b,a,100);y=filter(b,a,x) figure(1) subplot(2,1,1); stem(h,.); subplot(2,1,2); plot(y,.); 13实验2-3 离散系统的频率响应分析和零、极点分布 实验目的：加深对离散系统的频率响应分析和零、极点分布的概念理解。 在MATLAB中，可以用函数z，p，K=tf2zp（num，den）求得有理分式形式的 系统转移函数的零、极点，用函数 zplane（z，p）绘出
15、零、极点分布图；也可以 用函数zplane（num，den）直接绘出有理分式形式的系统转移函数的零、极点分 布图。 另外，在MATLAB中，可以用函数 r，p，k=residuez（num，den）完成 部分分式展开计算；可以用函数sos=zp2sos（z，p，K）完成将高阶系统分解为 2阶系统的串联。 实验内容：求系统 12345 12345 0.0528 0.797 0.1295 0.1295 0.797 0.0528 () 1 1.8107 2.4947 1.8801 0.9537 0.2336 zzzzz Hz zzzzz 的零、极点和幅度频率响应。 实验要求：编程实现系统参数输入，绘
16、出幅度频率响应曲线和零、极点分布图。 解：利用函数z，p，k=tf2zp（b，a）求出零极点： b=0.0528,0.797,0.1295,0.1295,0.797,0.0528; 14 a=1,-1.8107,2.4947,-1.8801,0.9537,-0.2336; z,p,k=tf2zp(b,a); zplane(b,a) h,w=freqz(b,a,256,whole,1); figure(2) subplot(1,2,1);plot(w,abs(h); subplot(1,2,2);plot(w,unwrap(angle(h) z= -14.9370 p= 0.2788 + 0.8
17、973i k= 0.0528 0.4546 + 0.8907i 0.2788 - 0.8973i 0.4546 - 0.8907i 0.3811 + 0.6274i -1.0000 0.3811 - 0.6274i -0.0669 0.4910 15第三章 习题部分： 1 设信号x(n0=1,2,3,4,通过系统h(n)=4,3,2,1, n=0,1,2,3; (1)求系统的输出y(n)=x(n)*h(n); (2)试用循环卷积计算y(n); (3)简述通过DFT来计算y(n)的思路。 解 （1）y(n)=4,11,20,30,20,11,4 (2)通过圆卷积（DFT 算法）求系统的输出过程如
18、下： 取 8 7 1 4 4 1 2 1 N N L 令 7 4 , 0 3 0 ), ( ) ( n n n x n x , 7 4 , 0 3 0 ), ( ) ( n n n h n h ) , ( ) ( , ) , ( ) ( L h FFT k H L x FFT k X ) ( ) ( ) ( k H k X k Y 16 ) ( ) ( Y IFFT n y 2 设有两个序列为： () , 0 5 () 0, xn n xn 其他 , () , 0 1 4 () 0, yn n yn 其他 ，各 作15点的DFT， 然后将两个DFT相乘， 再求乘积的IDFT， 设所得结果为f(
19、n)， 问f(n)的哪些点对应于x(n)*y(n)应该得到的点。 答：5-14 3. 有一频谱分析仪用的FFT处理器，其抽样点数必须是2的整数幂。假定没有 采用任何特殊的数据处理措施，已给条件为： （1）频率分辨力10Hz (2)抽样时间间隔为0.1ms，试确定以下参量： （1）最小记录长度Tp； （2）所允许处理的信号的最高频率； （3）在一个记录中的最少点数N。 解： 频率分辨率 11 10 s sp f f Hz NN Tt ，所以 0.1 p ts 设采样频率为 s f ，则根据采样定理，有 max 11 1 5 22 s s f fK H z T一个记录中的最少点数 10000 10
20、00 10 s f N f考虑使用 FFT 算法，取 N=1024 4 已知x(n)是长为N的有限长序列， () () XkD F Tx n , 现将长度扩大r倍，得 长度为rN的有限长序列 () , 0 1 () 0, 1 xn n N yn Nnr N ， 求： () DFT y n 与 () X k 的关系。 已知 x(n)是长为 N 的有限长序列,X(K)=DFTx(n),现将 x(n)的每两点之间补进 r - 1个零点,得到一长为r N的有限长序列y ( n )， 17 n N i ir n r n x n y 其他 , 0 1 , , 0 , ), / ( ) ( 求：DFTy(n
21、)与 X(k)的关系。 解： 1 0 11 00 () () () () () () N kn N n k rN N n kn r rN N nn Xk xnW k Yk ynW xnW X r) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 0 1 0 1 0 k X W i x W n y k Y W n x k X N i ki N rN n kn rN N n kn N 5 试画出 N=16 点基 2-按时间抽取的 FFT 运算流图，说明共有多少级，每级有 多少个蝶形单元，并写出每一级的旋转因子。 50 , 5 . 512 () , 如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘需 每次复加
22、 用它来计算 点 的 问直接计算需要多少时间，用 运算需要多少时间。 us us DFT x n FFT 答：共有4级，每级都有8个蝶形单元 18 2 2 2 *50 13.11( ) 1)*5 1.308( ) 512 14.418( ) log *50 256*9*50 0.1152( ) 2 log *5 512*9*5 0.02304( ) 直接计算 需要复乘次数直接计算 需要复加次数 （直接计算 点 共需要时间用 运算需要复乘次数用 运算需要复加次数 N N DFT N s DFT N N s DFT s N FFT s FFT N s 512 0.13824( ) 用 来计算 点共
23、需时间 FFT s实验内容与指导 实验 1 抽样定理的实验体会 实验目的：加深对抽样定理的理解 实验内容：任选一个下述五个连续时间信号 () x t 转换成离散时间信号() s x nT ，在 计算机上绘出() s x nT 的图形。 1/ s s f T 为抽样频率。自行依次选取不同的抽样频 率，如 0000 0.5 , ,2 ,5 s f ffff 等，以体会对不同的信号，或者同一信号采用多大的 抽样频率较为合适。 （1） 工频信号： 10 () s i n ( 2 ) xtA f t ， 220 A ， 0 50 f Hz （2） 衰减正弦信号： 20 () s i n ( 2 ) t
24、xtA e f t ， 2 A ， 0.5 ， 0 2 f Hz （3） 谐波信号： 3 20 1 () s i n ( 2 ) i i xtAf i t ， 1 1 A ， 2 0.5 A ， 3 0.2 A ， 0 5 f Hz （4） Hamming（哈明）窗： 40 ( ) 0.54 0.46cos(2 ) xtf t ， 0 f 由同学自选给定。 (5) sinc函数： 5 sin( ) () t xt t ， 2 f ， 10 f Hz 实验 2 离散信号的 DTFT 和 DFT 实验目的：加深对离散信号的 DTFT 和 DFT 的及其相互关系的理解。 实验内容： 分别计算16点序
25、列 15 0 , 16 5 cos ) ( n n n x 的16点和32点DFT， 绘出幅度谱图形，并绘出该序列的DTFT图形。 19 实验要求：讨论 DTFT 和 DFT 之间的相互关系。说明实验产生的现象的原因。 实验 3 正弦信号抽样的实验 给定信号 00 () s i n ( 2 ) , 5 0 xtf t fH z ，现对 x(t)抽样，设抽样点数 N=16. 我们 知道正弦信号的频谱是在 0 f 处的 函数，将 x(t)抽样变成 x(n)后，若抽样率及 数据长度 N取得合适， 那么 x(n)的 DFT 也应是在 50Hz 处的 函数， 由 Parseval 定理，有 1 2 2
26、50 0 2 () N tf n E xn X E N 50 X 表示 x(n)的 DFT 在 50Hz 处的谱线，若上式不等，说明 X(k)在频域有泄 露。给定以下抽样频率（a） 100 s f Hz ， （a） 150 s f Hz ， （c） 200 s f Hz ， （1）分别得到 x(n)及计算其 X(k)，并用 Parseval 定理研究其泄露情况； （2）当取 200 s f Hz ，N=16 时，在抽样点后面再补 N个零，得到 () x n ，这时 () x n 是 32点序列，求 () x n 的 DFT () X k ，观察正弦信号补零的影响。 （3）观察抽样得到 x(n)
27、及 X(k)，总结对正弦信号抽样应掌握的原则； 实验 4 快速 Fourier变换(FFT)及其应用 一、实验目的 1 在理论学习的基础上，通过本实验，加深对 FFT 的理解，熟悉 FFT 子程序。 2 熟悉应用 FFT 对典型信号进行频谱分析的方法。 3 了解应用 FFT 进行信号频谱分析过程中可能出现的问题以便在实际中正确应用 FFT。 4 熟悉应用 FFT 实现两个序列的线性卷积的方法。 三、实验内容及步骤 实验中用到的信号序列： a) Gaussian 序列 20b) 衰减正弦序列 c) 三角波序列 d) 反三角波序列 上机实验内容： (1)、观察高斯序列的时域和幅频特性，固定信号 x
28、 a (n)中参数 p=8，改变 q 的值，使 q 分别 等于 2，4，8，观察它们的时域和幅频特性，了解当 q 取不同值时，对信号序列的时域幅频 特性的影响；固定 q=8，改变 p，使 p 分别等于 8，13，14，观察参数 p 变化对信号序列的 时域及幅频特性的影响，观察 p 等于多少时，会发生明显的泄漏现象，混叠是否也随之出 现？记录实验中观察到的现象，绘出相应的时域序列和幅频特性曲线。 (2)、观察衰减正弦序列 x b (n)的时域和幅频特性，a=0.1，f=0.0625，检查谱峰出现位置是否 正确，注意频谱的形状，绘出幅频特性曲线，改变 f，使 f分别等于 0.4375 和 0.56
29、25，观察 21 这两种情况下，频谱的形状和谱峰出现位置，有无混叠和泄漏现象？说明产生现象的原因。 (3)、观察三角波和反三角波序列的时域和幅频特性，用 N=8 点 FFT 分析信号序列 x c (n)和 x d (n)的幅频特性，观察两者的序列形状和频谱曲线有什么异同？绘出两序列及其幅频特性 曲线。 在 x c (n)和 x d (n)末尾补零，用 N=16点 FFT 分析这两个信号的幅频特性，观察幅频特性 发生了什么变化？两情况的 FFT 频谱还有相同之处吗？这些变化说明了什么？ (4)、一个连续信号含两个频率分量，经采样得 x(n)=sin2 *0.125n+cos2 *(0.125+
30、f)n n=0,1,N-1 已知 N=16， f分别为 1/16 和 1/64，观察其频谱；当 N=128 时， f不变，其结果有何不 同，为什么？ (5)、用 FFT 分别实现 x a (n)（p8，q2）和 x b (n)（a0.1，f0.0625）的 16 点圆周卷积 和线性卷积。 (6)、产生一 512 点的随机序列 x e (n)，并用 x c (n)和 x e (n)作线性卷积，观察卷积前后 x e (n)频 谱的变化。要求将 x e (n)分成 8 段，分别采用重叠相加法和重叠保留法。 四、实验思考 1.实验中的信号序列 x c (n)和 x d (n)，在单位圆上的 Z 变换频谱|X c ( j )|和|X d ( j )|会相同吗？如 果不同，你能说出哪一个低频分量更多一些吗？为什么？ 2. 对一个有限长序列进行 DFT 等价于将该序列周期延拓后进行 DFS 展开，因为 DFS 也只 是取其中一个周期来计算，所以 FFT 在一定条件下也可以用以分析周期信号序列。如果实 正弦信号 sin(2 fn),f=0.1用 16 点 FFT 来做 DFS 运算，得到的频谱是信号本身的真实谱吗？
