1、1习 题2-1 如果某一问题中， 0z zx xy ，只存在平面应力分量x ，y ，xy ，且它们不沿z方向变化，仅为x，y的函数，试考虑此问题是否就是平面应力 问题？(是)2-2 如果某一问题中， 0z zx zy ，只存在平面应变分量x ，y ，xy ，且它们不沿z方向变化，仅为x，y的函数，试考虑此问题是否就是平面应变问题？(是)2-3 试分析说明，在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中，图2-11，其应力状态接近于平面应力的情况。(自由表面薄层中： 0 0 0z yz xz x y xy 近于平面应力问题)2-4 试分析说明，在板面上处处受法向约束且不受切向面力作用的等厚度薄板中，
2、图 2-12，当板边上只受x，y向的面力或约束，且不沿厚度变化时，其应变状态近于平面应变的情况。( 0 0 0z yz yz xz yz 只有 0x y xy 接近平面应变问题)2-5 在图2-3的微分体中，若将对形心的力矩平衡条件0CM ，改为对角点的力矩平衡条件，试问将导出什么形式的方程？(xy yx )3-1 试考察应力函数3ay 在图3-8所求的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计）。3-2 取满足相容方程的应力函数为：（1）2ax y ，（2）2bxy ，（3）2cxy ，试求出应力分量（不计体力），画出图3-9所示弹性体边界上的面力分布，并在次要边界上表示出面力的主矢量和主矩。
3、3-3 试考察应力函数2 23(3 4 )2Fxy h yh 能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出图3-9所示矩形体边界上的面力分布（在次要边界上画出面力的主矢量和主矩），指出该应力函数所能解决的问题。23-4 试证2 3 2 33 34 3 1 24 10qx y y qy y yh h h h 能满足相容方程，并考察它在图3-9所示矩形板和坐标系中能解决什么问题（设矩形板的长度为l，深度为h，体力不计）。3-5 设有矩形截面的长竖柱，密度为，在一边侧面上受均布剪力q，图3-10，试求应力分量。4-1 试比较极坐标和直角坐标中的平衡微分方程、几何方程和物理方程，指出哪些项是相似的
4、，哪些项是极坐标中特有的？并说明产生这些项的原因。4-2 试导出极坐标和直角坐标中位移分量的坐标变换式。4-3 在轴对称位移问题中，试导出按位移求解的基本方程。并证明 , 0Bu A u 可以满足此基本方程。4-4 试导出轴对称位移问题中，按应力求解时的相容方程。4-5 试由一阶导数的坐标变换式，导出二阶导数的坐标变换式4-3中的式(a)，(b)，(c)。5-1 长l悬臂梁，B端作用集中力P分别用1)最小势能原理 2) (拉格郎日)位移变分方程求B端挠度(设2 31 2v b x b x )6-6 试求图6-25所示结构的结点位移和应力，取 1 , 0t m 。7-1 试证明：在与三个主应力成
5、相同角度的面上，正应力等于三个应力的平均值。7-2 设某一物体发生如下的位移：0 1 2 30 1 2 30 1 2 3u a a x a y a zv b b x b y b zw c c x c y c z 试证明：各个形变分量在物体内为常量（即所谓均匀形变）；在变形以后，物体内的平面保持为平面，直线保持为直线，平行面保持平行，平行线保持平行，正平行六面体变成斜平行六面体，圆球面变成椭球面。8-5 半空间体在边界平面的一个圆面积上受有均布压力q。设圆面积的半径为a，试求圆心下方距边界为h处的位移。lABP33-1 考察应力函数3ay 在图示矩形板和坐标系能解决什么问题。解4 4 44 2
6、2 40 0 0x x y y 满足双调和方程（相容方程）可作应力函数应力分量(2-24)：2 2 22 26 0 0x y xyayy x x y 力边界条件(2-25)：x yx xy xy yl m fm l f 上下边界0 1: 00xyl m ff 左边界 1 0 6 0x x yl m f ay f 右边界 1 0 6 0x x yl m f ay f 0a 解决偏心拉伸问题0a 解决偏心压缩问题3.2 解：2 22 20 2 2x y xyay axy x 力边界：x yx xy xy yl m fm l f 上边界 0 1 2 2x y yl m f ax f ay 下边界 0
7、 1 2 2x y yl m f ax f ay 左边界 1 0 0 2x x y xyl m f f ax 右边界 1 0 0 2x y xyl m f x f ax 2 22 22 0 2x y xybx byy x 力边界：x yx xy xy yl m fm l f 上边界 0 1 2 0x yx y yl m f by f 下边界 0 1 2 0x yx yl m f by f 左边界 1 0 2 2x x y xyl m f bx f by 右边界 1 0 2 2x y xyl m f x bx f by 42 2 222 26 0 3x y xycxy cyy x x y 力边界
8、：x yx xy xy yl m fm l f 上边界20 1 3 0x yx y yl m f cy f 下边界20 1 3 0x yx yl m f cy f 左边界21 0 6 3x x y xyl m f cxy f cy 右边界21 0 6 3x y xyl m f x cxy f cy 3-3、3-4解：1、将两种函数分别代入式中，得知能满足双调和方程，因此，可作为应力函数。2、由应力函数，可求得应力分量，考虑各边界条件后，可求得面力（或合力），从而得知各自能解决的问题，见表3-12所列。表3-12 两种应力函数所对应的应力、面力、合力应力函数332 32Fxy FxyUh h (
9、1)2 3 2 33 34 3 214 10qx y y qy y yUh h h h (2)应力分量32312, 06 32x yxyFxyhFy Fh h 2 33 333236 4 354 31212 32xyxyqx y qy qyh h hq y yh hqx yh h 边界条件上边/2 /2( ) 0, ( ) 0y y h xy y h /2 /2( ) , ( ) 0y y h xy y hq 下边/2 /2( ) 0, ( ) 0y y h xy y h /2 /2( ) 0, ( ) 0y y h xy y h 边界条件左端/2 /2/2 /2/2/2( ) 0, ( )(
10、 )h hx x l xy x lh hhx x lhdy dy Fydy Fl /2 /2/2 /2/22/2( ) 0, ( )( ) /2h hx x l xy x lh hhx x lhdy dy qlydy ql 右端/2 /2/2 /2/2/2( ) 0, ( )( )h hx x l xy x lh hhx x lhdy dy Fydy Fl /2 /2/2 /2/22/2( ) 0, ( )( ) /2h hx x l xy x lh hhx x lhdy dy qlydy ql 面力（合力）解决问题悬臂梁一端受集中力和力矩作用；或简支梁两端受力矩作用悬臂梁上边受均布载荷，一端
11、受集中力和力矩作用；或简支梁两端受力矩作用，上边受均布载荷作用53-5 解1、半逆解法确定主要边界0,( ) 0x x b 故可设 0x 即2 212 20 ( ) ( ) ( )x xf x f x yf x f xy y y 44 4 4 414 4 4 2 2 4( )( )0 0d f xd f xyx dx dx x y y 40 即4414 4( )( )0d f xd f xydx dx 对y的任意值均成立则有：44( )0d f xdx3 2( )f x Ax Bx Cx (略去了与应力无关的常数项)414( )0d f xdx3 21( )f x Ex Fx (略去了与应力无
12、关的常数项及次项)故3 2 3 2( )y Ax Bx Cx Ex Fx 2、应力2 22 20 (6 2 ) 6 2x x y yf x f y y Ax B Ex F gyy x 22(3 2 )xyAx Bx Cx y 3、边界条件定常数：0( ) 0 0xy xC 223 20 0( ) (3 2 )( ) 0 0 0xy x bbxyyqAq Ab Bb qbqdx Ab Bb Ab BBb 上端面 即0 00 0( ) 0 3 2 00( ) 0 2 0byybyydy Eb FE Fxdx Eb F 则2 3 30 (1 ) ( 2)x y xyq x qx xy gyb b b
13、 b 4-1解：物理方程完全相似，因为极坐标和直角坐标都是正交坐标等。平衡方程多了非微分项，这是由于)微分体二径向边不平行，使 对方向的平衡产生了影响。)二环向边不等长使 在方向，0 在Q方向产生附加影响。几何方程多了非微分项这是由于微分体二径向边平不平行，u引起周向应变uu引起剪应变u u 4-2 仿照直角坐标系的旋转变换cos sinsin cosu uu u 介上式：cos sinsin cosu u uu u 64-3 轴对称位移问题，导出按位移求解的基本方程，并证明 0Bu A u 满足此方程解：按位移轴对称条件（应力也轴对称）：0( ) 0 ( ) 0u u u 代入平衡方程 0d
14、d (a) 几何方程 0u du ud (b)物理方程2 2( ) ( ) 01 1E E (c)(c)代入(a)得1(1 )( ) 0d dd d (d)(b)代入(d)得位移轴对称问题按位移求解基本方程：22 210du ud ud d 或1( ) 0d dud d 4-4 试导出轴对称位移问题中，按应力求解时的相容方程。由几何方程所得应变间的关系即相容方程：0du ud 中第2式微分21 1 1 1d duud d 即相容方程 0dq qd 5-1 长l悬臂梁，B端作用集中力P分别用1)最小势能原理 2) (拉格郎日)位移变分方程求B端挠度(设2 31 2b x b x )解：1)2 3
15、1 2b x b x 满足位移边界条件 000 0xxdvvdx 应变能2221 220 01 1(2 6 )2 2l ld vU EI dx EI b b x dxdx 2 2 2 31 1 2 22 ( 3 3 )EI b l b b l b l 外力势能2 31 1 2( ) ( )xV P v P b l b l 总势能2 2 2 3 2 31 1 2 2 1 22 ( 3 3 ) ( )U V EI b l b b l b l P b l b l 由 0 得：2 21 210 2 (2 3 ) 0EI b l b l Plb 解得12PlbEI2 3 31 220 2 (3 6 )
16、0EI b l b l Plb 26PbEI则挠曲线方程为2 32 3( )2 6 3B x lPl P Plv x x v vEI EI EI 2)2 31 2v b x b x 满足位移边界条件00( ) 0 0xxdvvdx ，应变能2 2 2 31 1 2 22 ( 3 3 )U EI b l b b l b l 71 11 12 22 2x lx lU vb P bb bU vb P bb b 位移变分方程 U W 2 211 22 3 31 222 (2 3 )22 (3 6 )6PlbEI b l b l PlEIPEI b l b l PlbEI 6-6 试求图示结构的结点位移
17、和应力，取 1 0t m 解：1、离散化如图，建立坐标系 0x y，划分单元，节点编号1，2，3，4单元节点编号 节点坐标e i j k 节点号 x y 1 4 2 1 0 1 2 3 1 2 1 03 1 14 0 02、单元刚度矩阵单元1 1 1( ) (0 1)2 2 2i j j iA b c b c (或1 11 12 2A x x )应变矩阵 0 0 00 0 1 0 1 010 0 0 0 1 0 1 0 021 0 1 1 0 1i j mi j mi i j j m mb b bB c c cAc b c b c b 弹性矩阵 21 02 0 01 0 0 2 01 21 0
18、 0 10 02E ED 应力矩阵 0 0 2 0 2 00 2 0 2 0 021 2 1 1 0 1ES D B 单元刚度矩阵 1 0 1 1 0 10 2 0 2 0 01 0 3 1 2 11 2 1 3 0 140 0 2 0 2 01 0 1 1 0 1TTK B D B tAEB S tA 1 4 2 2 1 1 41 2 4 1 2 4 10 1 11 1 0i j mi j mb b y y b y y b y yc c x x c x x c x x K11 K14 K12K41 K44 K42K21 K24 K228单元单刚与相同 B 符号相反， S 符号也相反 1 0
19、1 1 0 10 2 0 2 0 01 0 3 1 2 11 2 1 3 0 140 0 2 0 2 01 0 1 1 0 1EK 3、整体分析整体刚度矩阵 11 12 13 1421 22 23 2431 32 3341 42 443 0 0 1 2 0 1 10 3 1 0 1 1 0 20 1 3 0 1 1 2 01 0 0 3 0 2 1 10 2 1 1 0 3 1 0 04 40 0 1 1 2 1 3 0 01 0 2 1 0 0 3 11 2 0 1 0 0 1 3K K K KK K K KE EK K KK K KK K K 整体刚度方程4、位移边界条件处理1 1122
20、233443 0 0 1 2 0 1 10 3 1 0 1 1 0 2 00 1 3 0 1 1 2 0 01 0 0 3 0 2 1 12 1 1 0 3 1 0 0 040 1 1 2 1 3 0 0 01 0 2 1 0 0 3 1 01 2 0 1 0 0 1 3 0u Fvuv FEuvuv 5、方程求解，去除1 2 3 3 4 40 0 0 0 0 0u u u 六个方程得：1 2 21 12 22 1 21(3 )3 121 3 1( 3 )2u F Fu FEv Fv F FE 6、单元应力，设1 2F F F 则，1 22 2F Fu vE E 2 2 2 20 0 0 0
21、0 0 0 0T TF F F FE E E E 0 0 2 0 2 0 02 20 2 0 2 0 0 0 0 0 0 021 0 1 1 0 1 0TxyxyE F FsE E 0 0 2 0 2 0 22 20 2 0 2 0 0 0 0 0 0 221 0 1 1 0 1 0TxyxyFE F Fs FE E K22 K23 K21K32 K33 K31K11K13K12 + + + + 9平均应力 120xyxyFF 7-1 试证明：在与三个主应力成相同角度的面上，正应力等于三个主应力的平均值。证：取坐标面与三个主平面重合，由题意13l m n 由式(7-3)，2 2 21 2 3
22、1 2 31( )3nl m n 7-2 解：1)1 2 3x y zu v wa b cx y z 1 2 2 3 3 1xy yz yxv u w v u wb a c b a cx y y z z x 2)平面方程 0Ax By Cz D ，按题意平面上任一点( , ,x y z )位移到( , , )x u y v z w 代入方程后仍是平面方程1 1 1 2 2 2 3 3 3 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) 0A a b c x B a b c y C a b c z D a b c 3)设直线方程：1 1 1 12 1 2 200A x B y C z DA x B y
23、 C z D 即二平面的交线变形后，按2)得二个新的平面的交线，仍为直线4)二个平行平面：1200Ax By Cz DAx By Cz D 法线的方向数 ABC 。点 ( , , )x y z 用( , , )x u y z w 代替整理后，二平面的法线的方向数仍相同，即平行。由此推论：正平行六面体变形后成为斜平行六面体(由于xy yz zx 的存在单元体变斜)5)把二平行线定义为二平行平面的法线，变形后按4)二新的平行平面的法线仍平行6)园球面方程2 2 2 2x y z a ，点 ( , , )x y z 用 ( , , )x u y z w 代入可得形如2 2 2 21 1 1Ax By Cz a 的方程，即椭球面。8-5 解：按(8-6)微元集中力q d d 产生zu 对d积分后得22 22 2(1 ) 22(1 )2zq d hduh zE h z 1 12 2 22 2 2 22 22 22 20 0(1 ) 2 2(1 ) (1 )2(1 ) ( ) ( )2a azq d h q qhu h hh z E EE h z 2 22 2(1 ) 2(1 ) (1 2 )(1 2 )q a hhEa h
