1、计算方法 Numerical Analysis,课程介绍,绪论误差分析(2)线性方程组的解法(6)常微分方程的初值问题(6)矩阵的特征值和特征向量(2)插值和拟合数值微分和数值积分非线性方程解法,Course Outline,数值分析，颜庆津，北京航空航天大学出版社，2012 徐翠薇、孙绳武，计算方法引论（第3版），高等教育出版社，2007 Richard L. Burden & J. Douglas Faires, Numerical Analysis (9th Edition), 高等教育出版社，2012,主要参考书,成绩评定方法,平时成绩：20% 期末考试: 80%,先修课程,高等数学
2、线性代数 程序设计语言C,C+,Fortran,Matlab,Mathematica,1 绪论Introduction,1.1 关于计算方法 1.2 计算方法的过去和未来 1.3 误差分析 1.4 在近似计算中需要注意的问题,目次,现实中，具体的科学、工程问题的解决：,实际问题,物理模型,数学模型,数值方法,计算机求解,计算方法是一种研究并解决数学问题的数值近似解方法,随着计算机的飞速发展，数值分析方法已深入到计算物理、计算力学、计算化学、计算生物学、计算经济学等各个领域。本课仅限介绍最常用的数学模型的最基本的数值分析方法。,1.1 关于计算方法,在计算机上是否根据数学公式编程就能得到正确结果
3、?,研究例子:求解线性方程组,如把方程组的系数舍入 成两位有效数字,它的解为 x1 =-6.222x2 =38.25x3 =-33.65.,准确解为x1=x2=x3=1,Numerical analysis is the study of algorithms for the problems of continuous mathematics -Lloyd N. Trefethen“计算方法”就是研究在计算机上解决数学问题的理论和数值方法,计算方法研究的对象: 研究数值方法的设计、分析和有关理论基础与软件实现。,计算方法又称：计算数学、数值方法、数值分析等 计算方法的分枝有最优化方法、计算几
4、何、计算概率统计等,计算方法的内容连续系统的离散化离散性方程的数值求解,计算数学的发展与科学工程计算是紧密相联的，计算数学的发展历史也就是与其他学科结合，利用计算机不断形成新的理论及数值方法并不断形成新的学科的历史，例如：“计算物理” “计算流体力学”,1.2 计算方法的过去和未来,H. Aiken (1900-1973) 哈佛大学博士，因做博士论文涉及到空间电荷传导问题的计算，1937年提出方案，1939年得到IBM资助，1944年建成投入使用。这是继电式计算机Mark I,三位计算机设计大师的贡献,J. W. Mauchly (1907-1980) 宾夕法尼亚物理博士，因从事天气预报需要想
5、设计计算机，1942年提出计算机方案，1945年底竣工，这就是世界上第一台电子计算机ENIAC机,三位计算机设计大师的贡献,J. Von Neumann (1903-1957) 普林斯顿高级研究所，1945年在普林斯顿研制成MANIAC机，有力地支持美国氢弹研制，称为计算机之父,三位计算机设计大师的贡献,在研制原子弹和氢弹过程中，许多物 理规律必须通过计算机上的计算摸清 楚。计算物理、理论物理与实验物理 相辅相成相互促进共同发展，形成现 代物理学的三大分支 由于核武器研制需要，1950年全球只有15台，到了1962年9月仅美国就有16187台计算机,计算数学发展的历史回顾,1983年一个由美国
6、著名数学家拉克斯(P. Lax)为首的不同学科的专家委员会向美国政府提出的报告之中，强调“科学计算是关系到国家安全、经济发展和科技进步的关键性环节，是事关国家命脉的大事。” 1984年美国政府大幅度地增加对科学计算经费的支持, 新建成五个国家级超级计算中心（分别在普林斯顿大学、圣地亚哥、伊里诺大学、康奈尔大学、匹兹堡），配备当时最高性能的计算机，建立NSF-net新网络80年代中期我国将“大规模科学与工程计算”列入国家资助重大项目 1987年起美国NSF把“科学与工程计算”、“生物工程”“全局性科学”作为三大优先资助的领域,由于大存储的高速计算机的使用已导致了科学和技术方面的两大突出进展： 大
7、量用于设计工作的实验被数学模型的研究逐步取代，如航天飞机设计、反应堆设计、人工心瓣膜设计等 能获取和存储大量的数据，并能提取隐秘的信息，如计算机层析X射线摄影，核磁共振等 1991年以美国总统倡议的形式提出了“高性能计算与通信计划”。这是为了保持和提高美国在计算和网络的所有先进领域中的领导地位而制定的。计划为期五年（19921996），投资的重点是发展先进的软件技术与并行算法，关键技术是可扩展的大规模并行计算,要求到1996年高性能计算能力提高14倍，达到每秒万亿次浮点运算速度（1012 Teraops/S）。计算机网络通迅能力提高1百倍，达到每秒109位（Gigabits/S） 该计划中列举
8、的“挑战”项目有：磁记录技术、药物设计、催化、燃烧、海洋模拟、臭氧洞、空气污染、高速民用运输机、数字解剖、蛋白质结构设计、金星成像等 1993年初美国总统发布“发展信息高速公路”（NII）的总统令 1994年4月美国总统发布“建立国家（地球）空间数据基础实施”（NSDI）的总统令,数值方法和数值软件过去50年的主要进展,Before 1940 Newtons method; Gaussian elimination; Gauss quadrature; least squares fitting; Adams and Runge-Kutta formulas;Richardson extrap
9、olation 1940-1970 floating point arithmetic; Fortran ; finite differences; finite elements; FFT; simplex algorithm; Monte Carlo; orthogonal linear algebra; spline function 1970-2000 quasi-Newton iterations; adaptivity; stiff ODE solvers; software libraries; Matlab; multigrid; sparse and iterative li
10、near algebra; spectral methods; interior point methods,计算数学未来50年的展望,将更多的通过声音，而不是键盘向计算机传递信息，而计算机将更多地以图象而不是数字反映结果 数值计算将更具有适应性、迭代性、灵活性。计算能力大得惊人 数值计算中更具智能性,数学软件,MATLAB是建立在向量、数组和矩阵基础上的一种分析和仿真工具软件包，包含各种能够进行常规运算的“工具箱”，如常用的矩阵代数运算、数组运算、方程求根、优化计算及函数求导积分符号运算等；同时还提供了编程计算的编程特性，通过编程可以解决一些复杂的工程问题；也可绘制二维、三维图形，输出结果可
11、视化。目前，已成为工程领域中较常用的软件工具包之一。,数学软件,Mathematica是目前比较流行的符号运算软件之一，它不仅可以完成微积分、线性代数及数学各个分支公式推演中的符号演算，而且可以数值求解非线性方程、优化等问题。它不仅是数学建模的得力助手，也是大学数学教育和科学研究不可或缺的工具。,数学软件,Maple是加拿大滑铁卢大学(University of Waterloo)和Waterloo Maple Software公司注册的一套为微积分、线性代数和微分方程等高等数学使用的软件包。它是当今世界上最优秀的几个数学软件之一，它以良好的使用环境、强有力的符号计算、高精度的数值计算、灵活的
12、图形显示和高效的编程功能，为越来越多的教师、学生和科研人员所喜爱，并成为他们进行数学处理的工具。Maple软件适用于解决微积分、解析几何、线性代数、微分方程、计算方法、概率统计等数学分支中的常见计算问题。,原始误差模型误差（忽略次要因素，物理模型，数学模型） 计算误差舍入误差（计算机数据表示方法造成） 方法误差截断误差（算法本身造成）,1.3 误差分析,计算机字长有限导致实数不能精确存储，于是产生舍入误差。 例如：在10位十进制数限制下：130.3333333333本应130.33333333331.0000022-1.000004=0本应1.0000022-1.000004=1.000004
13、0000 04-1.000004=0.0000000000 04,舍入误差(Round-off Errors),舍入误差很小，本课程将研究它在运算过程中是否能有效控制。,用近似的值去代替数学上的准确值带来的误差。 例如： 泰勒级数, 零阶近似 :, 一阶近似 :, 二阶近似 :,截断误差(Truncation Error ),完全的泰勒级数:,余项 (n阶近似) :, : 介于 xi and xi+1,x = xi+1- xi,余项：,Taylor 级数表示为:,截去的部分, 零阶近似 :,截断误差 :, 一阶近似 Rn :,零阶近似 Rn :,斜率 :,误差 误差限 有效数字,Def若用x*
14、表示x准确值的一个近似值。则此近似值x*和准确值x的差称为误差，用e*来表示e*x*xDef若|e*|x*x|* *称为近似值x*的误差限。,例1.2已知x*=3.14159，求近似值x1=3.14，x2=3.142，x3=3.1416的误差限。 解,所以误差限1=0.002，2=0.0005，3=0.000008,有效数字Def若x的近似值x*的误差限是某一位上的半个单位，该位到x*的第一位非零数字共有n位，则称x*有n位有效数字,若用x*表示x的近似值，并将x*表示成x*0.a1a2an10m 若|x*x|0.510mn 则近似值x*有n位有效数字,(1.1),例1.3 设x*=0.027
15、0是某数x经“四舍五入”所得，则误差|e(x*)|不超过x*末位的半个单位，即：|x*x|0.510 -4又 x*=0.2710-1 ,故该不等式又可写为|x*x|0.510 -1-3 由有效数字定义可知, x*有3位有效数字,分别是2,7，0。,例1.4 设x32.93,x*32.89, 则|x*x|0.040.050.510-1 即|x*x|0.5102-3 由有效数字定义可知, x*有3位有效数字,分别是3,2,8。由于x*中的数字9不是有效数字，故x*不是有效数。,1.3 相对误差和绝对误差,设 x准确值 x* 近似值 称,为近似值x* 的相对误差 实用中，常用,表示近似值x* 的相对
16、误差，称,为相对误差限,相应的，e*称为绝对误差，称为绝对误差限,有效数位与误差的关系,有效数位n越多，则绝对误差|e*|越小 形如(1.1)式的近似数x*具有n位有效数字，则其相对误差限可取为,基本算术运算 设x*和y*分别是x和y的近似值，把它们的误差近似地看做是相应地微分，即dx x*x， dy y*y 则d（xy）dx dyd（xy）xdy ydxd（x/y）（xdyydx ）/y2,误差传播,(1.3)和(1.4)给出了由自变量的误差引起的函数值的误差的近似式（误差传播）。,一元函数 设yf(x)，若x的近似值是x*，用f(x*) 去近似f(x)的误差可用Taylor公式估计,(1.
17、3),(1.4),多元函数情形,由多元函数的Taylor展开公式类似可得,(1.5),(1.6),(1.8),(1.9),例1.5测得某桌面的长a的近似值a*=120cm,宽b的近似值b*=60cm。若已知|e(a*)|0.2cm, |e(b*)|0.1cm。 试求近似面积s*=a*b* 的绝对误差限与相对误差限。,解: 面积s=ab,在公式（1.5）中,将y=f(x1,x2)换为 s=ab, 则,相对误差限为,1.4 在近似计算中需要注意的问题,（1）尽量简化计算步骤，减少乘除运算的次数例如，计算多项式 通常运算的乘法次数为若采用递推算法, 则乘法次数仅为n. 又如,（2）防止大数“吃掉”小数当|a|b|时，尽量避免a+b 。例如，假设计算机只能存放10位尾数的十进制数，则108+0.04=108,（3）尽量避免相近数相减,当x接近于0时，应,两相近数相减，相对误差增大,例如，当x很大时，应,（4）避免绝对值很小的数做分母当|b|a|时，应尽量避免a/b,则，我们有,构造方法如下：,a.,b.,（5） 选用数值稳定性好的算法，以控制舍入误差高速 增长,原因：对格式1，如果前一步有误差， 则被放大5倍加到这一步,称为不稳定格式,稳定格式，对舍入误差有抑制作用,（6）有时候，模型本身就是病态（系数引入小变化，解产生大变化）,
