1、13.1.1倾斜角与斜率同步练习 一、选择题1下列四个命题中，正确的命题共有( )坐标平面内的任意一条直线均有倾斜角与斜率；直线的倾斜角的取值范围是0，180；若一条直线的斜率为 tan，则此直线的倾斜角为 ；若一条直线的倾斜角为 ，则此直线的斜率为 tan.A0 个 B1 个 C2 个 D3 个答案 A解析 序号 正误 理由、 倾斜角为 90时，斜率不存在，故、不正确 倾斜角的范围是 0，180)，故不正确 虽然直线的斜率为 tan，但只有当 0，180)时， 才是直线的倾斜角，故不正确2.已知点 A(1,2)，在 x 轴上存在一点 P，使直线 PA 的倾斜角为 135，则点 P 的坐标为(
2、 )A(0,3) B(0，1) C(3,0) D(1,0)答案 C解析 由题意可设 P 的坐标为 (m,0)，则 tan1351，解得 m3.0 2m 13若直线 l 的向上方向与 y 轴的正方向成 30角，则直线 l 的倾斜角为( )A30 B60C30或 150 D60或 120答案 D解析 如图，直线 l 有两种情况，故 l 的倾斜角为 60或 120.24直线 l 的倾斜角是斜率为 的直线的倾斜角的 2 倍，则 l 的斜率为( )33A1 B 3C D233 3答案 B解析 tan ，090230，所以 k10k3k2.6已知点 A(1,3)，B(2，1) 若过点 P(2,1)的直线
3、l 与线段 AB 相交，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是( )Ak Bk 212Ck 或 k2 D2k12 12答案 D解析 过点 P(2,1)的直线可以看作绕 P(2,1)进行旋转运动，通3过画图可求得 k 的取值范围由已知直线 l 恒过定点 P(2,1)，如图若 l 与线段 AB 相交，则 kPAkk PB，kPA2，k PB ，2k .12 12点评 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素是：一个点 P 和一个倾斜角 ，二者缺一不可本题过点 P(2,1)的直线的位置是不确定的，用运动变化的观点看问题是数形结合的技巧二、填空题7求经过下列两点的直线斜率，并判断其倾斜角是 0，还是
4、锐角、钝角或直角(1)C(18,8)，D(4，4)，斜率为 _，倾斜角为_ ；(2)C(1,2) ，D(3,2) ，斜率为 _，倾斜角为_ ；(3)C(0， )， D( ，0)(ab0)斜率为_，倾斜角为 _1b 1a答案 (1) 锐角 (2)0 0 (3) 钝角67 ab8设 P 为 x 轴上的一点， A(3,8)，B(2,14) ，若 PA 的斜率是 PB 的斜率的两倍，则点P 的坐标为 _答案 (5,0)解析 设 P(x,0)为满足题意的点，则 kPA ，k PB ，于是8 3 x 142 x2 ，解得 x 5.8 3 x 142 x9若三点 A(3,3)，B(a,0)，C (0，b)(
5、ab0)共线，则 _.1a 1b答案 13解析 由于点 A，B，C 共线，则 kABk AC，所以 .所以 ab3a3b.0 3a 3 b 30 3即 .1a 1b 13三、解答题10如图，菱形 OBCD 的顶点 O 与坐标原点重合，一边在 x 轴的正半轴上已知BOD 60，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角及斜率4分析 利 用 菱 形 的 性 质 ：对 边 平行 有 相 等 ，对 角 线 平 分 一组 内 对 角 ，两 条 对 角 线 互相 垂 直 求 各 直 线倾 斜 角 利 用 斜 率 定义 求 斜 率解析 因为 ODBC， BOD60 ，所以直线 OD，BC 的斜率角都是 60，斜
6、率kODk BCtan60 .3因为 OB 与 x 轴重合，DCOB ，所以直线 OB，DC 的倾斜角都是 0，斜率kOB kDCtan00.由菱形的性质，知COD30，OBD60，所以直线 OC 的倾斜角为 30，斜率 kOCtan30 ；33直线 BD 的倾斜角为DBx 18060120 ，斜率 kBDtan120 .311直线 l 的斜率为 k1m 2(mR) ，求直线 l 的倾斜角的取值范围解析 k1m 21，所以当 k0,1时，倾斜角 0， ；当 k(，0) 时，倾斜角 ( ， )，故倾斜角的范围是 0， ( ，) 4 2 4 212已知两点 A(3,4) ，B(3,2)，过点 P(
7、1,0)的直线 l 与线段 AB 有公共点(1)求直线 l 的斜率 k 的取值范围；(2)求直线 l 的倾斜角 的取值范围分析 结合图形考虑，l 的倾斜角应介于直线 PB 与直线 PA 的倾斜角之间，要特别注意，当 l 的倾斜角小于 90时，有 kk PB；当 l 的倾斜角大于 90时，则有 kk PA.解析 如图，由题意可知，直线 PA 的斜率kPA 1，直线 PB 的斜率 kPB 1，4 0 3 1 2 03 1(1)要使 l 与线段 AB 有公共点，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是 k1，或 k1.(2)由题意可知直线 l 的倾斜角介于直线 PB 与 PA 的倾斜角之间，又直线 PB 的倾斜角是 45，直线 PA 的倾斜角是 135，5故 的取值范围是 45 135.点评 这里要注意斜率 k 的范围不是 1k 1，因为直线 l 经过的区域包含与 x 轴垂直的直线本题一般是设想直线 l 绕点 P 旋转，考查这时直线 l 的倾斜角和斜率的变化规律，通过对 l 的斜率的变化规律的分析，不难发现 kPA与 kPB是两个关键的数据
