1、计算方法公式总结绪论绝对误差 ， 为准确值， 为近似值。exx绝对误差限 ， 为正数，称为绝对误差限|相对误差 通常用 表示相对误差*rxeerxe相对误差限 或|r|r有效数字一元函数 y=f（x）绝对误差 ()()eyfxe相对误差 ()()()r rfxfxeyy二元函数 y=f（x1,x2）绝对误差 12121(,)(,)()fxfxedd相对误差121121 2(,)(,)()()()r r rfxfxeyexexyy机器数系注：1. 2，且通常取 2、4、6 、82. n 为计算机字长3. 指数 p 称为阶码（指数） ，有固定上下限 L、U4. 尾数部 ，定位部120.nsa p5
2、. 机器数个数112()(1)nUL机器数误差限舍入绝对 截断绝对|()|2npxfl|()|npxfl舍入相对 截断相对1|nflx 1|nflx秦九韶算法方程求根， ， 为 f（x）=0 的 m 重根。()(mfxgx)0*二分法迭代法k=0、1、21()0()kkfxxx为迭代序列， 为 迭代函数， k()*lim()kkx局部收敛注：如果知道近似值，可以用近似值代替根应用定理 3 判断是否局部收敛牛顿迭代法 ()()()0kkkfxfxfxx1 (0,12,)kkkfx注：牛顿迭代对单根重根均局部收敛，只要初值足够靠近真值。牛顿迭代法对初值要求很高，要保证初值在较大范围内也收敛，加如下
3、四个条件注：证明牛顿迭代法大范围收敛性，要构造一个区间,M( ),其中,在这个区间内验证这四个条件。()()fM如果知道根的位置，构造， M（）时应该包括根，即 +常数线性方程组求解有两种方法：消去法和迭代法高斯消去法利用线性代数中初等行变换将增广矩阵转化为等价上三角矩阵。注意：第一行第一列为 0，将第一列不为 0 的某一行与第一行交换位置，继续初等行变换。对角占优矩阵 11212212nnnnaaAaa则称 A 为按行 严格对角占优矩阵1|(1,)i ijji则称 A 为按列 严格对角占优矩阵1|(1,2,)njijijan(,)ijjij,0,()0nxRxxA则称 A 是对称正定的。当
4、A 是上面三种情况时，用高斯消去法消元 时 ，不用换行。0ka追赶法是高斯消元法的一种特例列主元高斯消元法当 ，即第 k 次消元把 kn 行第 k 列绝对值() ()|max|kksiin最大的行（s 行）调到第 k 行，再进行高斯消元。迭代序列构造 (1)()kkAxbxBfxBxf第三个等式为迭代序列，B 为迭代矩阵 。迭代收敛判别1. 充分条件：迭代矩阵范数小于 1， B:结论：Ax=b 有唯一解 x*2. 充要条件：迭代矩阵谱半径小于 1, ()1BJacobi 迭代法其中 （low）为下三角， 为上三角， 为对角线元素ALDU:L:U:D迭代格式：(1)1()1(k kxxb:迭代矩
5、阵 1()JDLU:收敛性判据： 1|0| |0| |0IJDLDU:求出 最大值小于 1（J 的谱半径小于 1）即迭代格式收 敛.Gauss-Seidel 迭代法 迭代格式(1)1(1)()kkkxDLxUb:(1) 1() 1()k kDL: :迭代矩阵： 1()GDLU:常数矩阵： 1()gb:收敛性判据： 1|0|()|()|0|()|0IGDLLUDLU: :求出 最大值小于 1（G 的谱半径小于 1）即迭代格式收 敛.结论：当 A 是严格对角占优的，则 Jacobi 和 Gauss-Seidal 迭代法均是收敛的插值法用插值多项式 p（x）代替被插函数 f(x)插值多项式： ，01
6、()nPaxaxn+1 个点 ()iiyn:插值区间： ，插值点满足,ab01naxxb求插值多项式 P（x），即求多项式系数的过程为插值法带入可知求系数的插值点行列式为范德蒙行列式，不为 0，有唯一解。即 n+1 插值条件对应的不超过 n 次的插值 函数 P（x）只有一个。一次线性插值011010101() ()()xPxyylxylxx000()()()()nii nk iknikikiixxlxxLagrange 插值多项式 00 0()()()n nnin k kik kkixLxylx y 插值余项非插值节点上 Lagrange 插值多项式为被插函数 f(x)的近似值(1)0()()
7、() ()!nnn n iifRxfxLxx(,)ab带导数插值条件的余项估计注：推导过程用罗尔中值定理构造辅助函数 1()()()()nntRtKxWt第二条性质用于可以证明阶数不大于 n 的 f(x)的插值余项为 0.差商和 Newton 插值法记忆方法：先记分母，最后一个减去第一个，对应的分子第一项是最后一个临近 k 元素的差商，第二 项是第一个临近 k 个元素的差商。牛顿插值多项式通常记作 Nn（x）分段样条插值分段二次样条插值讨论 n 为奇偶情况 时的三个点余项估计式三次样条插值函数第一类边界条件（端点一阶导数已知）D0 等于第一个式子，dn 等于第二个式子自然边界条件（端点二阶导数
8、已知 二阶导数和 M0，Mn=0）曲线拟合最小二乘原理函数关于 n 个点线性无关注：线性无关的函数为 才是最小二乘多项式231,nxx注：记住公式即可。数值积分和数值微分为求积节点， 为求积 系数。kxkA插值求积公式梯形公式Simpson 公式Cotes 公式截断误差代数精度当 f(x)为 不超过 m 次多项式时上式成立， f（x）为 m+1 多项式时上式不成立。则称为求积公式有 m 次代数精度。梯形公式代数精度为 1，Simpson 公式代数精度为 3，Cotes 公式代数精度为 5截断误差梯形公式Simpson 公式Cotes 公式Gauss 求积公式求积公式代数精度为 2n+1-1,1
9、上的两点 Gauss 公式（3 次代数精度）1 11()()()3fxdff-1,1上的三点 Gauss 公式（5 次代数精度）1 3853()()(0)()9599fxdfff记住 ， 的关系， 查表即可kxtkA:ktA:复化梯形公式 2 阶，复化 Simpson 公式 4 阶，复化 Cote 公式 6 阶计算机通过不断把区间二分，所得前后两次积分差值满足精度条件即可给定精度 ， 时21|()()|nnpIfIf2 21|()()|()()|n nnpIfIfIfIf因而可以取 为 的近似值。2nf()f梯形Simpson数值微分数值微分截断误差中点公式： 00()()()2fxhfxhDh常微分方程数值解法Euler 方法欧拉公式（单步显式公式）求出的近似解局部截断误差Euler 公式的局部截断误差（一阶精度）后退 Euler 公式梯形公式( 二阶 精度)改进 Euler 公式（二阶精度）
