1、第卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集 ，集合 ， ，则 为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为全集 ， ，所以 ，所以 ，故选 A.2. 已知为虚数单位， ，若 为纯虚数，则复数 的模等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析： ， .考点：复数的概念3. 若 ，则下列结论不正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D考点：不等式4. 向量，均为非零向量， ， ，则，的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ， ， ，
2、 ， ，设与 的夹角为，则由两个向量的夹角公式得 ， ，故选 B. 5. 各项为正的等比数列 中，与 的等比中项为 ，则 的值为（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】B【解析】试题分析：由题意可知 考点：等比数列性质6. 已知实数 满足 ，如果目标函数 的最小值为 ，则实数等于（ ）A. 6 B. 5 C. 4 D. 3【答案】B考点：线性规划. 【方法点晴】本题考查线性规划问题，灵活性较强，属于较难题型.考生应注总结解决线性规划问题的一般步骤：（1）在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域；（2）将目标函数变形为 ；（3）作平行线：将直线 平移，使直线与可行域有交点，且观察在
3、可行域中使最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标；（4）求出最优解：将（3）中求出的坐标代入目标函数，从而求出的最大（小）值.7. 一个几何体三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】此几何体是底面积是 的三棱锥，与底面是边长为 2 的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为 ， ，故选 B.8. 如图所示的程序框图，若输出的 ，则判断框内应填入的条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】C考点：算法流程图的识读和理解9. 定义在上的偶函数 满足： ，在区间 与 上分别递增和递减，则不等式 的解
4、集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】偶函数 （ ）满足 ， ，且 在区间 与 上分别递增和递减，求 即等价于求函数在第一、三象限图形的取值范围即 函数图象位于第三象限， 函数图象位于第一象限 综上说述： 的解集为 ，故选 D.点睛：本题考查了利用函数的奇偶性和单调性做出函数图象，并利用数形结合求解；利用偶函数关于轴对称的性质并结合题中给出函数的单调区间画出函数 的图象，再由 得到函数在第一、三象限图形的取值范围. 10. 设点在双曲线 的右支上，双曲线的左、右焦点分别为 ，若，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A点睛：本题考查双曲线的定义和标准方程
5、，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题；由双曲线的定义可得 ，再根据点在双曲线的右支上，可得 ，得到关于，的齐次不等式，从而求得此双曲线的离心率的取值范围.11. 三棱锥 中， ， ， 平面 ， ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：设 外接圆圆心为 ,半径为,由余弦定理的推论有 ,所以,由 有 ,设外接球的球心为,半径为,则 ,所以,故外接球表面积为 ,选 D.考点：1.正弦定理,余弦定理；2.外接球的性质.12. 一矩形的一边在轴上，另两个顶点在函数 （ ）的图象上，如图，则此矩形绕轴旋转而成的几何体体积的最大值是（ ）A. B 砑 C.
6、D.【答案】A考点：导数在实际生活中的运用【易错点晴】本题重在考查导数在实际生活中的运用.解答本题时,先依据题设条件构建目标函数,进而确定函数的定义域,最后运用导数使得问题巧妙获解.值得强调的是,解答本题的关键是建构目标函数,目标函数中的变量是两个,然后利用纵坐标相等化为一个变量,进而借助换元法将变量进一步化为可导函数的变量,最后借助导数求出函数的最大值是本题获解.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 欧阳修卖油翁中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜
7、钱是直径为 2cm 的圆，中间有边长为的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为_【答案】【解析】试题分析：正方形孔的面积为 ，圆的面积为考点：几何概型14. 已知 ，则 的值是_【答案】15. 数列 的通项 ，其前项和为 ，则 _【答案】【解析】 ，故答案为 .16. 已知点 ，抛物线 的焦点为，射线 与抛物线相交于点，与其准线相交于点，若 ，则的值等于_【答案】4【解析】依题意点的坐标为 ，设在准线上的射影为，由抛物线的定义知 ， ，则 ， ,得 ，故答案为.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
8、 17. 已知函数 .（1）当 时，求 的值域；（2）若 的内角 的对边分别为 ，且满足 ， ，求的值.【答案】（1） ;（2） .18. 在某大学自主招生考试中，所有选报类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为 五个等级，某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为的考生有 10 人.（1）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为的人数；（2）若等级 分别对应 5 分，4 分，3 分，2 分，1 分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（3）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为，在至少一科成绩为的考生中，随
9、机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为的概率.【答案】（1）;（2） ;（3） .（2）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为：.（3）因为两科考试中，共有 6 人得分等级为，又恰有两人的两科成绩等级均为，所以还有 2 人只有一个科目得分为.设这四人为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙是两科成绩都是的同学，则在至少一科成绩等级为的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，一共有 6 个基本事件.设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为”为事件，所以事件中包含的基本事件有 1 个，则 . 19. 如图，四棱锥 ，侧面 是边长为 2 的正三角形，且与底面垂直，底面 是的菱形，为 的中点.（1）求证： ；（2）求点到平面 的距离.【答案】（1）见解析；（2） . 证法二：连结 ，依题意可知 均为正三角形，又 为 的中点，所以 ，又 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以（2）点到平面 的距离即点到平面 的距离，由（1）可知 ，又平面 平面 ，平面 平面 ？平面 ，所以 平面 ，即 为三棱锥 的体高在 中， ，
