1、2.3等差数列的前n项和（第二课时）,四川省平武中学,等差数列的前n项和公式:,形式1:,形式2:,1.将等差数列前n项和公式看作是一个关于n的函数，这个函数有什么特点？,当d0时,Sn是常数项为零的二次函数,则 Sn=An2+Bn,令,例3 已知数列an中 求这个数列的通项公式，这个数列是等差数列吗？如果是吗，他的首项和公差分别是什么？,得到,例3 已知数列an中 求这个数列的通项公式，这个数列是等差数列吗？如果是吗，他的首项和公差分别是什么？,解：,所以首项为1.5，公差为2,(1),(1),(1),例4 已知数列an：,的前n项和为 ，求使得 最大的序号n的值。,等差数列的前n项的最值问
2、题,分析：,数列为等差数列，首项为 ， 公差d0 ，显然，数列的前几项为正数，到某一项就开始为负，所以数列的前n项和最大，也就是所有的正数项相加。,例4 已知数列an：,的前n项和为 ，求使得 最大的序号n的值。,等差数列的前n项的最值问题,思路1：,数列为等差数列，首项为 ，,于是，当n取与对称轴最接近的整数时即取7或8时，前n项和最大,例4 已知数列an：,的前n项和为 ，求使得 最大的序号n的值。,等差数列的前n项的最值问题,思路2：,数列为等差数列，首项为 ，,练习:已知数列an的通项为an=26-2n,要使此数列的前n项和最大,则n的值为( ) A.12 B.13 C.12或13 D
3、.14,C,等差数列的前n项的最值问题,练习.已知等差数列an中,a10,且S9=S12,求n取何值时,Sn取最小值.,求等差数列前n项的最大(小)的方法,方法1:由 利用二次函数的对称轴（配方法）求得最值及取得最值时的n的值.,方法2:利用an的符号当a10,d0时,数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由an 0且an+1 0求得.,2.等差数列an前n项和的性质,性质1:Sn,S2nSn,S3nS2n, 也在等差数列,公差为,在等差数列an中,其前n项的和为Sn,则有,性质2:若Sm=p,Sp=m(mp),则Sm+p=,性质3:若Sm=Sp (mp),则 Sp+m
4、=,性质4:(1)若项数为偶数2n,则S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中间两项), 此时有:S偶S奇= ,n2d,0,nd, (m+p),性质4:(1)若项数为奇数2n1,则S2n-1=(2n 1)an (an为中间项),此时有:S偶S奇= ,两等差数列前n项和与通项的关系,性质6:若数列an与bn都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则,性质5: 为等差数列.,an,例1.设等差数列an的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( ) A.63 B.45 C.36 D.27,例2.在等差数列an中,已知公差d=1/2,且a1+a3
5、+a5+a99=60,a2+a4+a6+a100=( ) A.85 B.145 C.110 D.90,B,A,3.等差数列an前n项和的性质的应用,例3.一个等差数列的前10项的和为100,前100项的和为10,则它的前110项的和为 .,110,等差数列an前n项和的性质的应用,例5.一个等差数列的前12项的和为354,其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32:27,则公差为 .,5,等差数列an前n项和的性质的应用,例6.设等差数列的前n项和为Sn,已知a3=12,S120,S130. (1)求公差d的取值范围; (2)指出数列Sn中数值最大的项,并说明理由.,解:(1)由已知得,等差数列an前n项和的性质,(2) ,Sn图象的对称轴为,由(1)知,由上得,即,由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值.,Sn有最大值.,课堂小结,1.根据等差数列前n项和，求通项公式.,2、结合二次函数图象和性质求 的最值.,
