1、第二讲 参数方程,直线的参数方程,两点式:,点斜式:,一般式:,直线的普通方程都有哪些?,解：在直线上任取一点M(x，y)，则,所以，直线的参数方程为：,已知一条直线经过点M(x0, y0)，倾斜角，求这条直线的参数方程,事实上,所以，直线参数方程中参数t的绝对值等于直线上动点M到定点M0的距离.,| t | = | M0M |,由,直线参数方程中的参数 t 有什么几何意义？,当00，,直线的单位方向向量,总是向上的，因此有结论：,t=0：则点M与点M0重合,直线参数方程也可以表示为：,（t为参数）,t 有否上述几何性质？,这里直线 l 的倾斜角的正切,时例外）,当且仅当,且b0时. 其中的
2、t 才具有上述几何意义。,例1.已知直线 l: x+y-1=0与抛物线 y=x2 交于A, B两点,求线段AB的长度和点M(-1, 2)到A, B两点的距离之积,方法一：用普通方程去解,方法二：用参数方程去解；,点M是否在直线上,直线的参数方程为：,代入抛物线得：,由参数的几何意义得：,寻找规律：,直线 （t为参数）与曲线y=f(x)交于M1, M2两点，对应的参数分别为t1, t2,（1）曲线的弦M1M2的长是多少？,（2）线段M1M2的中点M对应的参数t的值是多少？,B,练习：,|AB|为多少？,B,4,5,6,例2、经过点M(2, 1)作直线l，交椭圆 于A,B两点.如果点M恰好为线段A
3、B的中点,求直线l的方程.,解：设过点M(2, 1)的直线 l 的参数方程为:,（t为参数），,代入椭圆方程，整理得,因为点M在椭圆内，这个方程必有两个实根，设A,B两点对应的参数分别为t1, t2，,点M为线段AB的中点，所以,于是直线l的斜率,因此，直线的方程是:,解：以O为原点,OP为x轴建立坐标系,则 P(300, 0),圆的方程为,当台风中心在圆O上或内部时台风将影响该岛,解得,大约2小时以后，将受台风影响，并持续 6.5 小时.,设台风中心所在射线l的参数方程为,由此可有,例3 当前台风中心P在某海滨城市O向东300km处生成，并以40km/h的速度向西偏北45度方向移动. 已知距
4、台风中心250km以内的地方都属于台风侵袭的范围，那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭?,O,如果台风侵袭的半径也发生变化(比如：当前半径为250km，并以10km/h的速度不断增大)，那么问题又该如何解决？,圆O的方程可改为 x2+y2=(250+10t)2,由此可有,例4 如图，AB, CD是中心为点O的椭圆的两条相交弦，交点为P，两弦AB, CD与椭圆长轴的夹角分别为1，2，且1=2，求证：|PA|PB|=|PC|PD|,|PA|PB| =|PC|PD|,| t | = | M0M |,小 结,1. 直线参数方程,利用直线参数方程中参数 t 的几何意义，简化求直线上两点间的距离.,3
5、. 注意向量工具的使用.,直线的参数方程形式是不是唯一的。,当且仅当,且b0时. 其中的 t 才具有上述几何意义。,例1 已知过点P(2,0)，斜率为4/3的直线和抛物线y2=2x相交于A,B两点，设线段AB的中点为M，求点M的坐标,例题选：,一、求直线上点的坐标,解：设过点P(2, 0)的直线AB的倾斜角为,由已知可得：,所以，直线的参数方程为,(t为参数),代入y2=2x，整理得,中点M的相应参数是,所以点M的坐标是,例2 求点A（1，2）关于直线l：2x 3y +1 =0的对称点A 的坐标。,解：由条件，设直线AA 的参数方程为:,A到直线l的距离d = ，, t = AA =,代入直线
6、的参数方程得A(33/13，4/13),二、求解中点问题,例1 已知双曲线 ，过点P（2，1）的直线交双曲线于P1,P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程。,解：设M(x0，y0)为轨迹上任一点，,则直线P1P2的方程是,代入双曲线方程得：,(2cos2sin2)t2+2(2x0cosy0sin)t+(2x02y022)= 0,由题意t1+t2=0，即2x0cosy0sin=0，得,2x2 y2 4x +y = 0为所求的轨迹的方程,三、求定点到动点的距离,例1 直线 l 过点P(1，2)，其参数方程为 直线l与直线 2x +y 2 =0 交于点Q，求PQ。,解：将l 参数方程化为“标准形式”
7、,代入 2x +y 2 =0,得 t =, PQ = | t| =,。,例2 经过点P(1，2)，倾斜角为/4 的直线 l 与圆 x2 +y2 = 9 相交于A，B两点，求PA +PB 和 PA PB的值,PA PB =| t1 t2 | = 4,解：直线l的方程可写成,代入圆的方程整理得：t2 + t4=0,设点A，B对应的参数分别是t1 ，t2，,由t1与t2的符号相反,所以 PA +PB = |t1| +|t2| = | t1t2| =,解：由条件可知直线的参数方程是：,代入椭圆方程:,(t为参数),设方程的两实根分别为,则直线截椭圆的弦长是:,四、求直线与曲线相交弦的长,例2 已知抛物
8、线y2 = 2px，过焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，求证：AB=,得 t2 sin2 2pt cos p2 = 0，,由韦达定理：,例4 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F且倾斜角为60的直线交椭圆于A，B两点，若FA =2FB，求则椭圆的离心率,FA =2FB 转化成直线参数方程中的 t1= 2t2或|t1| =2|t2|,解：设椭圆方程为,直线AB的方程为,代入椭圆得,由于t1= 2t2, 则,22+得：,将b2 =a2 c2代入,8 c2 = 3 a2 + a2 c2,例5 经过抛物线y22px(p0)外的一点A(2, 4)且倾斜角为45o的直线 l 与抛物线分别交于M1，M2. 如果|AM1|，|M1M2|，|AM2|成等比数列，求p的值.,(t1-t2)2=t1t2,
