1、2018 届湖南省张家界市高三第三次模拟考试数学（理）试题（解析版）第卷 选择题（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则 的元素个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】故答案为：B.2. 已知是虚数单位，复数 在复平面内所对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】由题意知 复数 i 对应的点（-2，1）在第二象限，故答案为：B.3. 已知 ， ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解
2、析】 , 故答案为：D.4. 数的概念起源于大约 300 万年前的原始社会，如图 1 所示，当时的人类用在绳子上打结的方法来记数，并以绳结的大小来表示野兽的大小，即“结绳计数”.图 2 所示的是某个部落一段时间内所擒获猎物的数量，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，右边绳子上的结每满 7 个即在左边的绳子上打一个结，请根据图 2 计算该部落在该段时间内所擒获的猎物总数为（ ）图 1 图 2A. 3603 B. 1326 C. 510 D. 336【答案】C【解析】由题意知，猎物的数量满七进一，则图二所示即为七进制数，将其转化为十进制数为故答案为：C.5. 已知实数 ， 满足 ，则 的最小值是（
3、 ）A. -6 B. -4 C. D. 0【答案】B【解析】作出不等式组所满足的平面区域如图阴影部分所示，其中 A（ ），B（6，0），C（0，4） ，作出直线 y=x,平移直线 l，当其经过点 C 时，z 有最小值，为-4.故答案为：B.6. 双曲线 ： 的离心率为 2，其渐近线与圆 相切，则该双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意得到 则双曲线的渐近线方程为 渐近线与圆 相切，则双曲线方程为： .故答案为：A.7. 执行如图所示的程序框图，则输出的 （ ）A. B. C. 4 D. 5【答案】D【解析】由题意，执行程序，由 正确，则 ， ；由 正确，则 ， ；
4、由 正确，则 ， ；由 正确，则 ， ；由此可以发现的值为 ，其值规律为以 3 为周期，由 ，所以 ，当错误，则输出的值为 5，故选 D.8. 若 ， ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】令 故答案为：D.9. 已知等比数列 的前 项积为 ，若 ， ，则当 取得最大值时， 的值为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 6【答案】C【解析】设等比数列 的公比为 ，则 ，此等比数列各项均为负数，当 为奇数时， 为负数，当 为偶数时， 为正数，所以 取得最大值时， 为偶数，排除 B，而， ， ， 最大，选择 C.10. 某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为 4 的正
5、三角形，俯视图是由边长为 4 的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意得到该几何体是一个组合体，前半部分是一个高为 底面是边长为 4 的等边三角形的三棱锥，后半部分是一个底面半径为 2 的半个圆锥，体积为 故答案为：A.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2
6、、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.11. 已知函数 的最小正周期为 ，将函数 的图象向右平移 个单位后关于原点对称，则当 取得最小值时，函数 的一个单调递增区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意得到 ， 上先增后减，在 上单增，在 上单减，在 上先增后减，故答案为：B.12. 已知函数 ，若函数 与 有相同的值域，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 函数在（0，1）上单减，在 能够单增，又当 时，函数值趋向于正无穷，因为函数 与 有相同的值域，又因为函数的定义域为大于 0，故 ，故 a
7、的取值范围是 .故答案为：A点睛：这个题目考查的是函数单调性的研究和函数值域.研究函数单调性的方法有：定义法，求导法，复合函数单调性的判断方法，即同增异减，其中前两种方法也可以用于证明单调性，在解决函数问题时需要格外注意函数的定义域.第卷 非选择题（共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上）13. 设非零向量， 满足 ，且 ，则向量与 的夹角为_【答案】【解析】因为 ，故 向量与 的夹角为 .故答案为： .14. 已知在 内任取一个实数 ，在 内任取一个实数 ，则点 位于 上方的概率为_【答案】【解析】由题意知道，x,y 满足的平面区域长
8、为 2 宽为 1 的矩形，面积为 2，其中位于 下方的点构成的区域面积为 ，所对应的概率为： 故答案为： .15. 已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为，抛物线 有一点 ，过点 作 ，垂足为 ，若等边 的面积为 ，则 _【答案】【解析】设准线 l 和 x 轴交于 N 点，PM 平行于 x 轴， 由抛物线的定义得到|NF|=p,故|MF|=2p,故 故答案为：2.点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质解题的关键是利用了抛物线的定义。一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化。16.
9、 已知三棱锥 满足 底面 ， 是边长为 的等边三角形， 是线段 上一点，且.球 为三棱锥 的外接球，过点 作球 的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为 ，则球 的表面积为_ 【答案】【解析】将三棱锥 PABC 补成正三棱柱，且三棱锥和该正三棱柱的外接球都是球 O，记三角形 ABC 的中心为 ，设球的半径为 R，PA=2x，则球心 O 到平面 ABC 的距离为 x，即 O =x，连接 C，则 C=4，在三角形 ABC 中，取 AB 的中点为 E，连接 D，E，则 在直角三角形 O D 中， 由题意得到当截面与直线 OD 垂直时，截面面积最小，设此时截面圆的半径为 r,则最小截面圆的面积
10、为 ，当截面过球心时，截面面积最大为 ， ，如图三，球的表面积为 故答案为：100 .睛：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点） ，这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，
11、有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知在 中， .（）若 ， ，求 的面积；（）若 ， ， ，求 的长.【答案】 （I） ；（II） .【解析】试题分析：（1）由余弦定理得到 ，进而得到三角形 ABC 是直角三角形，根据公式求得面积；（2）设 ，则 ， ,由余弦公式得到 ， .解析：（）由题意知， ，解得 ， ， .（）设 ，则 ， .在 中， ，解得 或 （舍去） ， .在 中， .18. 生蚝即牡蛎，是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热
12、带沿海都适宜蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产蚝.蚝乃软体有壳，依附寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝成为了一年四季不可或缺的一类美食.某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了 40 只统计质量，得到的结果如下表所示.质量（ ）数量 6 10 12 8 4（）若购进这批生蚝 ，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量（所得结果保留整数） ；（）以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选 4 个，记质量在 间的生蚝的个数为 ，求的分布列及数学期望.【答案】 （I） （只） ；（II） .【解析】试题分析：（1）由表中数据得到平均值，进而得
13、到结果；（2）任意挑选一个，质量在 间的概率 ， 符合二项分布，根据公式求得分布列.解析：（）由表中数据可以估计每只生蚝的质量为，购进 ，生蚝的数量约有 （只）.（）由表中数据知，任意挑选一个，质量在 间的概率 ，的可能取值为 0，1，2，3，4，则 ， ， ， 的分布列为0 1 2 3 4 或 .19. 已知在直三棱柱 中， ， ， ， ， ，点 在线段 上.（）证明： ；（）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.【答案】 （I）证明见解析；（II） .【解析】试题分析：（1）根据边角关系得到 ，进而得到 ， ， ，又因为是直三棱柱，故 ，进而得到线线垂直；（2）建立坐标系，求平面 的法向量
14、 ，平面 的法向量 ，根据向量夹角的求法得到余弦值.解析：（）不妨设 ，则 ， ， ， .在 和 中， ， ， ， ， ， ，即 ； ， ， ， 为直三棱柱， 平面 ， ； 平面 ，点 在线段 上， .（）由（）知， 平面 ，建立如图所示的空间直角坐标系 ，不妨设 ，则 ， ， ， ， ， ， ， ， .设平面 的法向量 ，则 ，即 ，取 ，则 ， ，则平面 的一个法向量 ；设平面 的法向量 ，则 ，即 ，取 ，则 ， ，则平面 的一个法向量 ； ，故平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .点睛：传统方法求线面角和二面角，一般采用“一作，二证、三求”三个步骤，首先根据二面角的定义结合几何体图形
15、中的线面关系作出线面角或二面角的平面角，进而求出；而角的计算大多采用建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，利用线面角和二面角公式，借助法向量求空间角.20. 已知椭圆 ： 的离心率为 ，且椭圆 过点 .过点 做两条相互垂直的直线、 分别与椭圆 交于 、 、 、 四点. （）求椭圆 的标准方程；（）若 ， ，探究：直线 是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由 .【答案】 （I） ；（II ） .【解析】试题分析：（）由已知，可建立关于椭圆三个参数 的方程组进行求解，由离心率可得 ，又点 在椭圆上，可得 ，结合 ，从而问题可得解.（）由题意，可对直线 的斜率分“不存在与 0”和“都存在且 ”两种情况进行分类讨论，先对后一种情况探究，则可设两直线的方程分别为 ， ，逐个联立椭圆方程，分别
