1、益阳市 2018 届高三 4 月调研考试文科数学第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由已知，得 ， ，根据集合补集的定义可得 ，由集合交集的运算法则可得 .故选 C.2. 设是虚数单位，表示复数的共轭复数.若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意，根据复数的乘除运算法则，可得 ，由共轭复数的定义，得 ，所以.故选 C.3. 已知命题 “ ， ”，则命题 为（ ）A. B. C. D. 【答
2、案】D【解析】由已知，命题 为全称命题，其否定需由特称命题来完成，并将其结论否定，即.故正确答案为 D.4. 已知向量 ， ，且 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由已知，根据向量坐标表示，及其加减运算公式、平行关系，得 ，又 ，所以 ，解之得 .故选 B.5. 如图所示的程序框图，若输出的 ，则输入的 值为（ ）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】由题意，根据程序框图可得分段函数 ，当 时，由 ，解得 ；当 时，由 ，解得 .故正确答案为 D.点睛：此题主要考查程序框图的识别执行能力，以及分段函数中求函数值的计算能力等有关方面的知识与技能，属于中低档题型，也是最近
3、几年来的必考题型.一般程序框图包括以下几部分：实现不同算法功能的相对应的程序框图（起止框、输入输出框、赋值框、判断框） ；带箭头的流程线；程序框内必要的说明文字.6. 现有 张牌面分别是 ， ， ， ， ， 的扑克牌，从中取出 张，记下牌面上的数字后放回，再取一张记下牌面上的数字，则两次所记数字之和能整除 的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意，试验的情况总数有 ，又 ，即两次所记数字之和能整除 的有：， ， ， 两次交换顺序共 8 种，还有 ，即所求事件个数共有 ，所以所求概率为.故选 D.7. 已知一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D
4、. 【答案】B【解析】由三视图，可知该几何体是由一边长为 的正方体和一正四棱锥组合在一起的简单组合体，所该几何体的体积为 .故正确答案为 B.8. 侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规则的蜘蛛网，如图，它是由无数个正方形环绕而成，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外围一层正方形四条边的三等分点上，设外围第一个正方形的边长是 ，有人说，如此下去，蜘蛛网的长度也是无限的增大，那么，试问，侏罗纪蜘蛛网的长度真的是无限长的吗？设侏罗纪蜘蛛网的长度为 ，则（ ）A. 无限大 B. C. D. 可以取【答案】B【解析】由题意，从外到内正方形的边长依次为 ， ，则数列 是以首项为 ，公比为 的等比数列，所以 ，当
5、时，则 .故选 B.9. 将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，若 的图象关于直线对称，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意知， ，令 ，即函数 的对称轴为，又 ，当 时，有 ，解得 .故选 A.点睛：此题主要考查三角函数图象的平移变换、对称性等性质有关方面的知识与技能，属于中档题型，也是常考题型.一般此类问题常涉及三角函数的知识点两个或两个以上，要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上，要对三角函数的性质灵活运用，有时还需要用数形结合的思想来求解.10. 在 中，角 ， ， 所对的边分别为， ， ，若 ， ，且 的面积为 ，则的周长为（ ）A. B. C. D
6、. 【答案】B【解析】由题意，根据三角形面积公式，得 ，即 ，解得 ，根据余弦定理得，即 ， ，所以 的周长为 .故选 B.11. 设双曲线 的左焦点 ，直线 与双曲线 在第二象限交于点 ，若（ 为坐标原点） ，则双曲线 的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意知，双曲线右焦点 ，又 ，所以 ，则 为直角三角形，即 ，则 ， ，由双曲线定义得 ，即，则 ，所以双曲线的渐近线方程为 .故选 C.点睛：此题主要考查双曲线的定义及方程、渐近线方程、焦点，以及直线与双曲线位置关系、勾股定理的应用等有关方面的知识与技能，属于中高档题型，也是常考考点.解决此类问题过程中，常采用
7、数形结合法来求解，数形结合法是数学解题中常用的思想方法之一，通过“以形助数，以数解形” ，根据数列与形之间的对应关系，相互转化来解决问题.12. 已知函数 其中为自然对数的底数.若函数 有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 （有待研究）第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数 的图象关于点 对称，则 _【答案】1【解析】由已知，得 ， ，整理得 ，所以当 时，等式成立，即 .14. 已知 ， 满足约束条件 则 的最小值为_【答案】2【解析】由题意，根据约束条件作出可行域图，如图所示，将目标
8、函数转化为 ，作出其平行直线，并将其在可行域内平行上下移动，当移到顶点 时，在 轴上的截距最小，即.15. 已知斜率为 ，且在 轴上的截距 为正的直线与圆 交于 ， 两点， 为坐标原点，若的面积为 ，则 _【答案】 或【解析】由题意，可知真线的方程为 ，圆 的圆心为 ，半径为 ，由点到直线的距离公式，知圆心 到真线的距离为 ，则 ，所以 ，又 ，解得 或.16. 分别在曲线 与直线 上各取一点 与 ，则 的最小值为_【答案】【解析】由 ，得 ，令 ，即 ， ，则曲线 上与直线 平行的切线的切点坐标为 ，由点到直线的距离公式得 ，即 .点睛：此题主要考查求曲线上动点到直线距离最值的计算，以及导数
9、几何意义在解决几何问题中的应用等有关方面的知识与运算能力，属于中档题型，也是常考考点.在此类问题中，常将距离的最值转化为切线问题，利用导数的几何意义，求出切点，再将问题转化为点到直线的距离问题，从而问题得解.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知等差数列 的公差为 ，且方程 的两个根分别为 ， .（1）求数列 的通项公式；（2）若 ，求数列 的前 项和 .【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）由题意，根据根与系数关系可求出数列 的首项 与公差 ，再根据等差数列的通项公式，从而问题可得解决；（2）由（1）可得数列 的
10、通项，观察其特点，可采用分组求和法进行计算 ，即将数列 分为等比数列与等差数列两种特殊数列，再根据各自前 项和公式进行运算，从而问题可得解.试题解析：（1）由题知，解得故数列 的通项公式为 .（2）由（1）知， ，则.18. 在三棱锥 中， 底面 ， ， ， 是 的中点， 是线段 上的一点，且 ，连接 ， ， .（1）求证： 平面 ；（2）求点 到平面 的距离.【答案】(1)见解析;(2) .【解析】试题分析：（1）由题意，根据勾股定理可计算出 ，又 ，易知 为 的中点，由三角形中位线性质可知， 与 平行，再根据线面平行的判定定理，从而问题可得解；（2）由题意，可采用等体积法进行求解运算.即由
11、 ，又其底面 与 均为直角三角形，从而问题可得解.试题解析：（1）因为 ，所以 .又 ， ，所以在 中，由勾股定理，得 .因为 ，所以 是 的斜边 上的中线.所以 是 的中点.又因为 是 的中点，所以直线 是 的中位线，所以 .又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .（2）由（1）得， .又因为 ， .所以 .又因为 ，所以 .易知 ，且 ，所以 .设点 到平面 的距离为 ，则由 ，得 ，即 ，解得 .即点 到平面 的距离为 .19. 某校高一年级共有 名学生，其中男生 名，女生 名，该校组织了一次口语模拟考试（满分为分）.为研究这次口语考试成绩为高分是否与性别有关，现按性别采用分层抽样抽取
12、名学生的成绩，按从低到高分成 ， ， ， ， ， ， 七组，并绘制成如图所示的频率分布直方图.已知 的频率等于 的频率， 的频率与 的频率之比为 ，成绩高于 分的为“高分”.（1）估计该校高一年级学生在口语考试中，成绩为“高分”的人数；（2）请你根据已知条件将下列 列联表补充完整，并判断是否有 的把握认为“该校高一年级学生在本次口语考试中成绩及格（ 分以上（含 分）为及格）与性别有关”？口语成绩及格 口语成绩不及格 合计男生女生合计附临界值表：0.100 0.050 0.025 0.010 0.0012.706 3.841 5.024 6.635 10.828.【答案】(1)见解析;(2)见解
13、析.【解析】试题分析：（1）根据题意，可设 的频率为 ，由频率性质，即各组频率之和为 1，建立关于 的方程，求出未知数 的值，从而算出 的频率，由此问题可得解；（2）由（1） ，根据已知条件，结合男女生的人数比，即可完成列联表，再根据所提供的观测值的计算公式，算出观测值，再比对临界值表，从而可问题可得解.试题解析：（1）设 的频率为 ，则 的频率为 ， 的频率为 .则 ，解得 .故 的频率为 ， 的频率为 .故估计该校高一年级学生在口语考试中，成绩为“高分”的频率为 .故估计该校高一年级学生在口语考试中，成绩为“高分”的人数为 .（2）根据已知条件得列联表如下：口语成绩及格 口语成绩不及格 合
14、计男生 40女生 60合计 70 30因为 ，所以有 的把握认为“该校高一年级学生在本次口语考试中成绩及格与性别有关”.20. 已知抛物线 的方程为 ，过点 （为常数）作抛物线 的两条切线，切点分别为 ，.（1）过焦点且在 轴上截距为 的直线与抛物线 交于 ， 两点， ， 两点在 轴上的射影分别为 ， ，且，求抛物线 的方程；（2）设直线 ， 的斜率分别为 ， .求证： 为定值 .【答案】(1) ;(2)见解析.【解析】试题分析：（1）由抛物线方程可知其焦点坐标，则可得直线的方程，联立直线与抛物线方程，消去 ，根据根与系数关系可得点 的横坐标关系式，再由 ，从而问题可得解；（2）由题意，根据导数几何意义，通过两切点计算两条切线方程，从而得到两切线斜率与抛物线参数 的关系式，从而可证明，两斜率的乘值为定值.试题解析：（1）因为抛物线 的焦点坐标是 ，
