1、宁波市 2017 学年第一学期期末考试高三数学试卷第卷（选择题部分，共 40 分）一、选择题：本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则 （ ）2|Mx|lg0NxMNA B C D0,1(0,1,1)0,12.已知 ，则条件“ ”是条件“ ”的（ ）条件.abcacbA充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件3.若函数 为偶函数，则实数 的值为（ ）2()(1)fxaxaA1 B C1 或 D024.已知焦点在 轴上的椭圆 的离心率为 ，则实数 等于（ ）y24xym1mA3
2、B C.5 D65635.圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视r图如图所示.若该几何体的表面积为 ，则 （ ）120A1 B2 C.4 D86.已知 ， 为 的导函数，则 的图像是（ ）1()cos4fxx()ffx()fxA B C. D7.一个箱子中装有形状完全相同的 5 个白球和 个黑球.现从中有放回的摸取 4 次，每次都是随机()nN摸取一球，设摸得白球个数为 ，若 ，则 （ ）X)1DEXA1 B2 C.3 D48.莱因德纸草书 （Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把 100个面包分给
3、 5 个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 是较小的两份之和，问最小 1 份为17（ ）A B C. D310356169.若函数 在 上的最大值为 ，最小值为 ，则 （ ）()|fxx|4,xRMmMA B2 C. D749110.已知向量 ， ，满足 ， ， ， 为 内一点（包括边界） ，O|A|2OB3AOAB，若 ，则以下结论一定成立的是（ ）Mxy 1MA B C. D232xy1xy213xy第卷（非选择部分，共 110 分）二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分.11.已知 ，则 4510ab2ab12.设 为虚数单位，则
4、复数 的虚部为 ，模为 i 3i13.对给定的正整数 ，定义 ，其中 ，(6)n201() nfxaxa 01，则 ；当 时， 12(,iiaNi6a7n()f14.在锐角 中，已知 ，则角 的取值范围是 ，又若 分别为角 的对边，则ABC2B,ab,AB的取值范围是 b15.已知双曲线 的渐近线方程是 ，右焦点 ，则双曲线 的方程为 ，又若点2yx(3,0)FC， 是双曲线 的左支上一点，则 周长的最小值为 (0,6)NMCMN16.现有红、黄、蓝、绿四个骰子，每个骰子的六个面上的数字分别为 1,2,3,4,5,6.若同时掷这四个骰子，则四个骰子朝上的数字之积等于 24 的情形共有 种（请用
5、数字作答） 17.如图，在平面四边形 中， ， ， ，点 为ABCD1B2ADC90ABDCP中点， 分别在线段 上，则 的最小值为 AD,MN,2PMN三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.已知函数 .2()2sinco1sinfxxx（）求 的最小正周期；（）求 在区间 上的最大值与最小值.()fx,3419.如图，在四棱锥 中，侧面 底面 ，底面 为矩形， 为 中点，PABCDPABCDEPA， ， .2ABa2a（）求证： 平面 ；/PCBDE（）求直线 与平面 所成角的正弦值.A20.已知函数 .()1xfxe（）若方程 只有一
6、解，求实数 的取值范围；aa（）设函数 ，若对任意正实数 ， 恒成立，求实数 的取值范围.()ln)gxmx12,x12()fgxm21.已知抛物线 的方程为 ， 为其焦点，过不在抛物线上的一点 作此抛物线的切线 ，C24xyFP,PAB为切点.且 .,ABPAB（）求证：直线 过定点；AB（）直线 与曲线 的一个交点为 ，求 的最小值.PFCRAB22.已知数列 满足 ， .na2+1,nna为 奇 数为 偶 数 1a（）若 ，求证：对任意正整数 均有 ；()n2n（）若 ，求证： 对任意 恒成立.3a123443aa nN试卷答案一、选择题1-5:ABCDB 6-10:ABACB 二、填空
7、题11.2 12.-2， 13.64， 14. ， 13201843(,)64(2,3)15. ， 16.52 17.1218yx652三、解答题18.解：（） ，()sincos2in()4fxxx所以 的最小正周期为 .()f（）因为 ，所以 .34x53214x当 ，即 时， 取得最大值 ；24x8()f当 ，即 时，513x.231()sin()cos()32fx 即 的最小值为 .19.解：（）设 与 的交点为 ，连结 .ACBDOE因为 为矩形，所以 为 的中点.B在 中，由已知 为 中点，所以 .PEP/PC又 平面 ， 平面 ，EO所以 平面 ./CD（）在 中， ， ，P2a
8、2PDa所以 ，2即 .因为平面 平面 ，PCDAB平面 平面 ， ，DC所以 平面 ，故 .AP又因为 ， 平面 ，所以 平面 ，P,AAPAD故 就是直线 与平面 所成的角.C在直角 中 ， ，PAC5a2PCa所以 .10sin即直线 与平面 所成角的正弦值为 .APD520.解：（）由已知 .()(1)xxfee当 时， ，函数 在 上单调递减；0x()0fx,0当 时， ，函数 在区间 上单调递增.()fx(,)故 .min()01fxf又当 时， .()0xe且 （对足够小的 ）.()12xxfe2x又当 时， .x()0f即所求 的取值范围是 .a1,)（）由（）知 .()fx所
9、以对任意正实数 ， 恒成立，12,12()fgx等价于 .2()0)(gx .m（1）当 时， ，与 式矛盾，故不合题意.0(1)0g()（2）当 时，当 时， ，当 时， ，x()x()0gx所以 在 上单调递增，在区间 上单调递减.()gx0,1(1,)，所以 .maxm综合（1） （2）知实数 的取值范围为 .1,)21.解：（）设直线 的方程为 ，设 ，ABykxb1(,)Axy2(,)By以 为切点的切线方程分别为 ， .,AB1122由 消去 得 .24ykxby240xkb则 ， .1212这两条切线的斜率分别为 ， .1xk2由这两切线垂直得 ，得 .214b1所以直线 恒过定
10、点 .AB(0,)（）设 ，则 ， ，0(,)Pxy12)xk1201024xyy当 时，则 ，可得 ，kABPF当 时，则 ， ， ，00x02xk0x同样可得 .ABPF所以 .12|()Ry由 .216xy所以 .12()ABy2113yy令 ， .2()3fxx(0).2211 所以 在 上为减函数，在 上为增函数.()fx0,)所以 .min17()24ARBf（或 当 时取等号.）21()3fxx3331()()() 2742xx1x22.证明：（）当 时，根据 和 在 均为增函数.ag()f,)从而当 时，必有 或 .2n1()2nnff1(2nnag当 时，由 在 上为减函数，
11、得 .1a2()xf,2当 时， ，从而 恒成立.223na综上所述， 对所有满足 的正整数 均成立.na1（）一方面，由第（）题知 .24(2,)kkaN又 .129354a所以 .21na另一方面， ，212121kkka21213()kka且 ，2121212kkkkaa 令 ，则 ，21kkb21()1kkb即 ，且 ， .1kk12 .2121213()kkkkaa 308113()4()2kkkkbb由 ，111 1()kkkkb且 知 为递减数列，且 .所以 .210k 0kb1k从而 .21 133()42kkk kkab又由 .1 12kkkbb所以 .1122n所以 .12naa 13()43nbn
