1、3.3 非周期信号的频谱 3.3非周期信号的频谱 3.3.1 傅立叶变换 3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换 门函数 冲激函数 直流信号 指数信号 阶跃函数 符号函数 冲激偶函数 3.3.1 傅立叶变换 周期信号有： 221)(1 TTtjnn dtetfTFntjnn eFtf1)( 221)(TTtjnn dtetfTF 当 时： T 谱线无限密集， 幅度 Fn 趋于无穷小， 周期信号趋于非周期信号。 d1 1nTFjF nTlim)( 令： dtetf tj)(3.3.1 傅立叶变换 又因为： 12limlim)( nTnTFTFjF d Fn2111lim tjnnnTeF相当于单
2、位频率占有的幅度，具有密度的意义， 所以将其称为频谱密度函数，简称频谱函数， 为连续谱 。 dejF tj )(21ntjnn eFtf1)( djFF n 2 )( d1 1n 3.3.1 傅立叶变换 傅立叶变换对 正变换 逆变换 dejFtf tj )(21)( dtetfjF tj )()(一般来说 ， 傅里叶变换存在的充分条件为 f(t)应满足绝对可积 ， 即要求 dttf )(记为： )()( jFtf 或： 3.3.1 傅立叶变换 傅立叶变换的存在 )( jF 存在的充分条件： dttfdttf )(|)(| dtetfdtetfjF tjtj |)(|)(|)(| 1| tje
3、由 知 而 dttfF |)(|)(| 3.3.1 傅立叶变换 频谱 频谱函数 F(j)一般是复函数，可记为 )()()( jejFjF 幅度频谱 )( jF )(je相位频谱，它们都是 的连续函数 f(t)为实函数时，根据频谱函数的定义式不难导出： dtetfjF tj )()( t d ttfjdtttf s i n)(c o s)()()( jba 3.3.1 傅立叶变换 其中： 两种表达形式： td ttfa c o s)()()()()()( )( jbaejFjF j td ttfb s i n)()(是 的偶函数 是 的奇函数 )()(|)(| 22 bajF )()()(aba
4、 r c tg是 的偶函数 是 的奇函数 )()()()( jFjF)()()()(bbjaja3.3.1 傅立叶变换 关于连续谱的说明 具有离散频谱的信号，其能量集中在一些谐波分量中。 具有连续频谱的信号，其能量分布在所有的频率中，每一频率分量包含的能量则为无穷小量。 3.3.1 傅立叶变换 几个重要结论： 当 f (t) 是实函数时： (1) 若 f(t)为 t的偶函数 ， 即 f(t) = f(-t)， (2) 若 f(t)为 t的奇函数 ， 即 f(-t) = -f(t)， 则 f(t)的频谱函数 F(j) 为 的实函数 ， 且为 的偶函数 。 则 f(t)的频谱函数 F(j) 为 的
5、虚函数 ， 且为 的奇函数 。 3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换 门函数 矩形脉冲一般称为门函数 。 其宽度为 ， 高度为 1， 通常用符号 g(t)来表示 。 )2(0)2(1)(tttg3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换 门函数 g(t)的傅里叶变换为： P106例 3.4-1 dtetgjF tj )()()2()( SajF 2)2s i n(dte tj 2/ 2/ jee jj 22 )2s in (2 )2( Sa则： ),3,2,1(2 kk ：0： k2 )( jF0)( jF3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换 门函数 频带宽度： 20)/(2 sr a d )
6、(1 Hzf 3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换 周期和非周期矩形脉冲信号频谱的对比 1.它们都具有抽样函数 的形式。 )(xSa2. )2( 1 nSaTAF n 和 )2()( SaAjF A. 值较 )( jF 值多乘了 T1这是由于两者的定义规定的。 B. nF中的不连续变量 1n在 中变成 了连续变量 nF )( jF3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换 周期和非周期矩形脉冲信号频谱的对比 C.由非周期脉冲按一定的周期 T重复后构成的周期信号 )( jF 和 nF之间可以互求。 3.非周期信号的频谱也具有收敛性。 脉宽的定义方法与周期信号相同。 3.3.2 常用非周期信号的傅立
7、叶变换 分析： 2. 周期信号的离散频谱可以通过对非周期信号的连 续频谱等间隔取样求得。 3. 信号在 时域有限 ，则在 频域 将 无限 延续。 4. 信号的频谱分量主要集中在 零频到第一个过零点之间，即 有效带宽 。 5. 脉冲宽度 越窄，有限带宽越宽，高频分量越多。 即信号信息量大、传输速度快， 传送信号所占用的频带越宽。 1. 非周期矩形脉冲信号的频谱是连续频谱，其形状 与周期矩形脉冲信号离散频谱的包络线相似。 3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换 冲激函数 P109例 3.4-5 由傅立叶变换的定义式有： 1)()( dtetjF tj冲激信号的频谱是均匀谱 取样性质 1)( t1
8、0 )( jFt )(t0 也就是说 ， (t)中包含了所有的频率分量 ， 而各频率分量的频谱密度都相等 。 显然 ， 信号 (t)实际上是无法实现的 。 3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换 直流信号 1可表示为： P110例 3.4-6 1)( tf tdtejF tj 1)()(t由傅立叶逆变换的定义式有： （直接积分无法进行） )( de tj 12 1t令：dte jt 12 1)( dte tj 1)(2冲激信号是偶函数： )( dte tj 121)(2)( jF则： )(21 3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换 直流信号 1)( tf1 0 t )(2 20 3.3.2
9、常用非周期信号的傅立叶变换 单边指数信号一 P107例 3.4-2 dtetfjF tj )()(0)(atetf 00tt)0( 时域表达式： 其傅立叶变换： 0 dtee tjt j10)()( je tja r c t a n221 je )( te t 3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换 单边指数信号一 )(0 22221)(jF)a r c t a n ()( 其振幅频谱为： 相位频谱为： jjF 1)(3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换 单边指数信号二 dtetfjF tj )()(0)(atetf 00tt )0( 时域表达式： 其傅立叶变换： 0 dtee tjt j1
10、0)(je tja r c t a n221 je)( te t 3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换 单边指数信号二 221)(jF)a r c t a n ()( 其振幅频谱为： 相位频谱为： jjF 1)()(0 223.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换 双边指数信号一 P108例 3.4-3 atateetf )(00tt(a0) 时域表达式： 其傅立叶变换： te 222 dtetfjF tj )()( 0 dtee tjt 0 dtee tjt j1 j13.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换 双边指数信号一 222)(jF0)( 其振幅频谱为： 相位频谱为： 222)(jFf
11、 (t) 为偶函数， )( jF 为 的实函数， 且为 的偶函数。 3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换 利用双边指数信号求直流信号的傅立叶变换 )(lim1 0 jFFT (a0) tetf )(te 0lim10002202lim d 2202lim )()(12lim20 d )a r c t a n (2lim0 )2(22 2)(2 3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换 双边指数信号二 P108例 3.4-4 (a0) 时域表达式： 其傅立叶变换： )()( tete tt 222 j dtetfjF tj )()( 0 dtee tjt 0 dtee tjt j1 j1atat
12、eetf )(00tt3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换 双边指数信号二 222)( jjFf (t) 为奇函数， )( jF 为 的纯虚函数， 且为 的奇函数。 )(jb)0(2)0(2)(222)(jF振幅频谱为： 相位频谱为： 3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换 符号函数 P110例 3.4-7 11)( tSgn00tt时域表达式： 考察双边指数信号二 (a0) atateetf )(00tt时：当 0 )()( tSgntf 222)( jjF 2j)0( )0( 03.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换 符号函数 02)( jtSgn)0( )0( )(jb 2)( jF)0(2)0(2)(振幅频谱为： 相位频谱为：
