1、 信号与系统 （第四版）习题解析高等教育出版社2007 年 8 月1目 录第 1 章习题解析 .2第 2 章习题解析 .6第 3 章习题解析 .16第 4 章习题解析 .23第 5 章习题解析 .31第 6 章习题解析 .41第 7 章习题解析 .49第 8 章习题解析 .552第 1章习题解析1-1 题 1-1 图示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？(c) (d)题 1-1 图解 (a)、(c)、(d)为连续信号； (b)为离散信号；(d)为周期信号；其余为非周期信号；(a)、(b)、 (c)为有始（因果）信号。1-2 给定题 1-2
2、图示信号 f( t )，试画出下列信号的波形。提示：f( 2t )表示将 f( t )波形压缩，f( )表示将 f( t )波形展宽。2t(a) 2 f( t 2 ) (b) f( 2t )(c) f( )(d) f( t +1 )题 1-2 图解 以上各函数的波形如图 p1-2 所示。3图 p1-21-3 如图 1-3 图示，R、L、C 元件可以看成以电流为输入，电压为响应的简单线性系统 SR、S L、S C，试写出各系统响应电压与激励电流函数关系的表达式。题 1-3 图解 各系统响应与输入的关系可分别表示为 )()(tiRtutLdCCit)(1)(1-4 如题 1-4 图示系统由加法器、
3、积分器和放大量为a 的放大器三个子系统组成，系统属于何种联接形式？试写出该系统的微分方程。SRSLSC4题 1-4 图解 系统为反馈联接形式。设加法器的输出为 x( t )，由于)(yatfx且 )(,d)(txtty故有 )()(tayft即 )()(tfty1-5 已知某系统的输入 f( t )与输出 y( t )的关系为 y( t ) = | f( t )|，试判定该系统是否为线性时不变系统？解 设 T 为系统的运算子，则可以表示为 )()(tftfTty不失一般性，设 f( t ) = f1( t ) + f2( t )，则 )(11tytftf)(222故有 )()(21tyfttf
4、T显然 )()(2121 tftftf即不满足可加性，故为非线性时不变系统。1-6 判断下列方程所表示的系统的性质。(1) tffty0d)()d(2) 3ttyt5(3) )(3)(2tftyt(4) 解 (1)线性； (2)线性时不变； (3)线性时变；(4)非线性时不变。1-7 试证明方程 )()(tfayt所描述的系统为线性系统。式中 a 为常量。证明 不失一般性，设输入有两个分量，且 )()(2211 tytftytf，则有 )()(11tfat22y相加得 )()()( 212211 tftattaty 即 )()()(d 212121 tftyttt 可见 )()(2121 tt
5、tft即满足可加性，齐次性是显然的。故系统为线性的。1-8 若有线性时不变系统的方程为 )()(tfayt若在非零 f( t )作用下其响应 ，试求方程tye1)( )(2)(tft的响应。解 因为 f( t ) ，由线性关系，则ttye1)e1(2)(2ttyf由线性系统的微分特性，有 ttf)(故响应 ttttytf e2)e1(2)()26第 2章习题解析2-1 如图 2-1 所示系统，试以 uC( t )为输出列出其微分方程。题 2-1 图解 由图示，有 tuCRidL又 tti0CSL)(1故 CCS)(uRu从而得 )(1)()(1)( SCCC tLttt2-2 设有二阶系统方程
6、 0)(4)(tytty在某起始状态下的 0+起始值为 2)(,1)0(试求零输入响应。解 由特征方程2 + 4 + 4 =0得 1 = 2 = 2则零输入响应形式为 teAty21zi )()7由于yzi( 0+ ) = A1 = 12A1 + A2 = 2所以A2 = 4故有 0,)1()zi tettyt2-3 设有如下函数 f( t )，试分别画出它们的波形。(a) f( t ) = 2( t 1 ) 2( t 2 )(b) f( t ) = sint( t ) ( t 6 )解 (a)和(b)的波形如图 p2-3 所示。图 p2-32-4 试用阶跃函数的组合表示题 2-4 图所示信号
7、。题 2-4 图8解 (a) f( t ) = ( t ) 2( t 1 ) + ( t 2 )(b) f( t ) = ( t ) + ( t T ) + ( t 2T )2-5 试计算下列结果。(1) t( t 1 )(2) d(3) 0)(3cos(tt(4) et解 (1) t( t 1 ) = ( t 1 )(2) dd(3) 21)(3cos)(3cos(00 ttt (4) ee03 ttt2-6 设有题 2-6 图示信号 f( t )，对(a)写出 f ( t )的表达式，对(b)写出 f ( t )的表达式，并分别画出它们的波形。题 2-6 图解 (a) 20,1tf ( t
8、 ) = ( t 2 )， t = 22( t 4 )， t = 4(b) f ( t ) = 2( t ) 2( t 1 ) 2( t 3 ) + 2( t 4 )9图 p2-62-7 如题 2-7 图一阶系统，对(a)求冲激响应 i 和 uL，对(b)求冲激响应 uC 和 iC，并画出它们的波形。题 2-7 图解 由图(a)有 RituiL)(dS即 )(1Stit当 uS( t ) = ( t )，则冲激响应 )(e)(tLtihR则电压冲激响应 )()(d)(L ttitut LR对于图(b)RC 电路，有方程 uitCCS10即 SC1iuR当 iS = ( t )时，则 )(e)(
9、Ctttht同时，电流 )(1)(dC tRtui Ct2-8 设有一阶系统方程 )()(3tfty试求其冲激响应 h( t )和阶跃响应 s( t )。解 因方程的特征根 = 3，故有 )(e)(31ttx当 h( t ) = ( t )时，则冲激响应 )(e2)()()( 31 tttth阶跃响应 )(1(3d)(30 thtst2-9 试求下列卷积。(a) ( t ) * 2(b) ( t + 3 ) * ( t 5 )(c) tet( t ) * ( t )解 (a) 由 ( t )的特点，故( t ) * 2 = 2(b) 按定义( t + 3 ) * ( t 5 ) = d)5()
10、3t考虑到 t 5 时， ( t 5 ) = 0，故( t + 3 ) * ( t 5 ) = 2,d3tt也可以利用迟延性质计算该卷积。因为11( t ) * ( t ) = t( t )f1( t t1 ) * f2( t t2 ) = f( t t1 t2 )故对本题，有( t + 3 ) * ( t 5 ) = ( t + 3 5 )( t + 3 5 ) = ( t 2 )( t 2 )两种方法结果一致。(c) tet( t ) * ( t ) = tet( t ) = ( et tet )( t )2-10 对图示信号，求 f1( t ) * f2( t )。题 2-10 图解 (
11、a)先借用阶跃信号表示 f1( t )和 f2( t )，即f1( t ) = 2( t ) 2( t 1 )f2( t ) = ( t ) ( t 2 )故f1( t ) * f2( t ) = 2( t ) 2( t 1 ) * ( t ) ( t 2 )因为( t ) * ( t ) = = t( t )t0d故有f1( t ) * f2( t ) = 2t( t ) 2( t 1 )( t 1 ) 2( t 2 )( t 2 ) + 2( t 3 )( t 3 )读者也可以用图形扫描法计算之。结果见图 p2-10(a)所示。12(b)根据 ( t )的特点，则f1( t ) * f2(
12、 t ) = f1( t ) * ( t ) + ( t 2 ) + ( t + 2 )= f1( t ) + f1( t 2 ) + f1( t + 2 )结果见图 p2-10(b)所示。图 p2-102-11 试求下列卷积。(a) )()(e1(2tt(b) d3tt解 (a)因为 ，故)()(t )(e1()()e1e1 222 ttt t (b)因为 ，故)(t tttt 33 e)()(d)( 2-12 设有二阶系统方程 )(42)(3ttytty试求零状态响应解 因系统的特征方程为2 + 3 + 2 =0解得特征根1 = 1， 2 = 2故特征函数 )(e(e)(221 ttxtt
13、t 13零状态响应 )(e()4()4( 22 tttxtyt= e8t2-13 如图系统，已知 )(),1()21 thth试求系统的冲激响应 h( t )。题 2-13 图解 由图关系，有 )1()1()()()(1 ttthtftx 所以冲激响应 )()()()()()2 ttttxtyh 即该系统输出一个方波。2-14 如图系统，已知 R1 = R2 =1，L = 1H，C = 1F。试求冲激响应 uC( t )。题 2-14 图解 由 KCL 和 KVL，可得电路方程为 )()(1)1()1( 12C2C2C tLRtuLRuLRu 14代入数据得 )(2CCtu特征根1,2 = 1
14、 j1故冲激响应 uC( t )为 )(*)e()1Cttutt )(sinesincott V)(tt2-15 一线性时不变系统，在某起始状态下，已知当输入 f( t ) = ( t )时，全响应 y1( t ) = 3e3t( t )；当输入 f( t ) = ( t )时，全响应 y2( t ) = e3t( t )，试求该系统的冲激响应 h( t )。解 因为零状态响应( t ) s( t )， ( t ) s( t )故有y1( t ) = yzi( t ) + s( t ) = 3e3t( t )y2( t ) = yzi( t ) s( t ) = e3t( t )从而有y1(
15、t ) y2( t ) = 2s( t ) = 2e3t( t )即s( t ) = e3t( t )故冲激响应h( t ) = s ( t ) = ( t ) 3e3t( t )2-16 若系统的零状态响应y( t ) = f( t ) * h( t )试证明：(1) thfthf d)()(d)(2) 利用(1)的结果，证明阶跃响应 thsd)()(证 （1）因为15y( t ) = f( t ) h( t ) 由微分性质，有y ( t ) = f ( t ) h( t ) 再由积分性质，有 tftd)()(（2）因为s( t ) = ( t ) h( t ) 由（1）的结果，得 ttd)
16、()(tht)(16第 3章习题解析3-1 求题 3-1 图所示周期信号的三角形式的傅里叶级数表示式。题 3-1 图解 对于周期锯齿波信号，在周期( 0，T )内可表示为 tTAf)(系数 2d1)(100ttfaTTtnAnt 121n coscos2i012TATT tnttntfb0120n dsidsi)(co012AT所以三角级数为 11sin2)(ttf3-2 如图所示周期矩形波信号，试求其复指数形式的傅里叶级数。图中 。2T解：该信号周期 ，故 ，在一个周期内可得：2TT1 1001 )(22 jnjtjntjnn enjAdAedeF17 ,42031)cos1(cos njA
17、njAnjnA因为 为奇函数，故 ，从而有指数形式：)(tf 0F题 3-2 图3-3 设有周期方波信号 f( t )，其脉冲宽度 = 1ms，问该信号的频带宽度（带宽）为多少？若 压缩为 0.2ms，其带宽又为多少？解 对方波信号，其带宽为 Hz，1f当 1 = 1ms 时，则 Hz10.1f当 2 = 0.2ms 时，则 502.2f3-4 求题 3-4 图示信号的傅里叶变换。,31,2nejAtjn18题 3-4 图解 (a)因为 t,t,0为奇函数，故 ttFdsin2j)(0cos)(Sacosj或用微分定理求解亦可。(b) f( t )为奇函数，故 tFdsin)1(2j)(0)2
18、(si4jcoj 若用微分-积分定理求解，可先求出 f ( t )，即f ( t ) = ( t + ) + ( t ) 2( t )所以 cose)j()jj1 Ftf又因为 F1( 0 ) = 0，故 )1(j2)(j)(13-5 试求下列信号的频谱函数。(1) tf2e)(f( t ) = 19(2) )(sine)(0ttfat解 (1) 0j20j2j dedede)()( tttfFtt 24j1j2(2) 0 jjj)e(ee)()( 00ttf ttat 0 )jj)j(j d0tattt 00j)(1j)(12j2200jj 3-6 对于如题 3-6 图所示的三角波信号，试证
19、明其频谱函数为 )2(Sa)(AF题 3-6 图证 因为( ttA),10，| t | 则 0dcos)1(2)(ttFA)2(sin42f( t ) =20)2(SaA3-7 试求信号 f( t ) = 1 + 2cost + 3cos3t 的傅里叶变换。解 因为1 2()2cost 2( 1) + ( + 1) 3cos3t 3( 3) + ( + 3) 故有F( ) = 2() + ( 1) + ( + 1) + 3( 3) + ( + 3) 3-8 试利用傅里叶变换的性质，求题 3-8 图所示信号 f2( t )的频谱函数。题 3-8 图解 由于 f1( t )的 A = 2， = 2
20、，故其变换 )(Sa4)2(a)(21 AF根据尺度特性，有 )(8)()(211tf再由调制定理得 )(cos)2(212 FttftfSa8Sa8)( F21)2(Sa4)2(Sa422sinsi3-9 试利用卷积定理求下列信号的频谱函数。 (1) f( t ) = Acos(0t) ( t ) (2) f( t ) = Asin(0t)( t ) 解 （1）因为 )()()cos( 000 Atj1所以由时域卷积定理 j1)()()()( 00FjA（2）因为 )()(j)sin( 000 tj1由频域卷积定理 j1)()()(j21)( 00 AF20A3-10 设有信号f1( t )
21、 = cos4t t,1t,0试求 f1( t ) f2( t )的频谱函数。解 设 f1( t ) F1()，由调制定理 )(4()(214cos1FFttf f2( t ) =22而 )(Sa2)()(1F故 )4()4(Sa)3-11 设有如下信号 f( t )，分别求其频谱函数。(1) e)()4j3(tft(2) 2解 (1) 因 j1et故 )4j(3j)43(e)4j3( t(2) 因 2,12)(tGt故 jje)(Sae)(Sa)( F3-12 设信号 40,2t其 他,试求 f2( t ) = f1( t )cos50t 的频谱函数，并大致画出其幅度频谱。解 因 j2j2e
22、)(Sa8e)(Sa)( F故 )50()(21)(1F)50j2(j2e)(Sa4eSa4 幅度频谱见图 p3-12。f1( t ) =23图 p3-1250 50| F2() |24第 4章习题解析4-1 如题 4-1 图示 RC 系统，输入为方波 u1( t )，试用卷积定理求响应 u2( t )。题 4-1 图解 因为 RC 电路的频率响应为 1j)(H而响应u2( t ) = u1( t ) * h( t )故由卷积定理，得U2( ) = U1( ) * H( j )而已知 ，故)e1(j)(j1U)e(jj)(j2 反变换得 )1(1)(e1()(2tttut4-2 一滤波器的频率
23、特性如题图 4-2 所示，当输入为所示的 f( t )信号时，求相应的输出 y( t )。题 4-2 图25解 因为输入 f( t )为周期冲激信号，故 2,1nTTF所以 f( t )的频谱 nn )()(2)(1当 n = 0，1 ， 2 时，对应 H( )才有输出，故Y( ) = F( ) H( )= 22() + ( 2) + ( + 2)反变换得y( t ) = 2( 1 + cos2t )4-3 设系统的频率特性为 2j)(H试用频域法求系统的冲激响应和阶跃响应。解 冲激响应，故 )(e2)()(1tHthtF而阶跃响应频域函数应为 2j1)()()( tS2j1)(所以阶跃响应
24、)(e1()2ttst4-4 如题图 4-4 所示是一个实际的信号加工系统，试写出系统的频率特性 H( j )。题 4-4 图26解 由图可知输出 t ttfy00d)()(取上式的傅氏变换，得 )e1(j)(0jtFY故频率特性 )(j)(0jtH4-5 设信号 f( t )为包含 0 m 分量的频带有限信号，试确定 f( 3t )的奈奎斯特采样频率。解 由尺度特性，有 )3(1)(Ftf即 f( 3t )的带宽比 f( t )增加了 3 倍，即 = 3m。从而最低的抽样频率 s = 6m 。故采样周期和采样频率分别为 S61fTm4-6 若对带宽为 20kHz 的音乐信号 进行采样，其奈奎
25、斯特间隔 为多少？若对信号)(tf sT压缩一倍，其带宽为多少？这时奈奎斯特采样频率 为多少？sf解：对 ，其 ，故：)(tfkHzfm20kHzfms402ufTs 514163压缩信号 为 后，则带宽增加一倍：)(t2t kzfm402 故： kHzfms 802 4-7 设 f( t )为调制信号，其频谱 F( )如题图 4-7 所示，cos 0t 为高频载波，则广播发射的调幅信号 x( t )可表示为x( t ) = A 1 + m f( t ) cos0t27式中，m 为调制系数。试求 x( t )的频谱，并大致画出其图形。题 4-7 图解 因为调幅信号x( t ) = Acos0t
26、 + mA f( t )cos0t故其变换 )()(2)()()( 0000 FmX式中，F( )为 f( t )的频谱。 x( t )的频谱图如图 p4-7 所示。图 p4-74-8 题 4-8 图所示(a)和(b)分别为单边带通信中幅度调制与解调系统。已知输入 f(t)的频谱和频率特性 H1( )、H 2( )如图所示，试画出 x(t)和 y(t)的频谱图。X()F()F()28题 4-8 图题 4-8 图解 由调制定理知 )()(21)(cos)( CCC1 FFttff而 x(t)的频谱 )()(11HX又因为 )()(2)(cos)( CCC2 XFttxf所以 )()(22HY它们
27、的频谱变化分别如图 p4-8 所示，设 C 2。图 p4-8F1()F2()X()Y()294-9 如题 4-9 图所示系统，设输入信号 f(t)的频谱 F( )和系统特性 H1( )、H 2( )均给定，试画出 y(t)的频谱。题 4-9 图解 设 ，故由调制定理，得ttff50cos)(1 )50()(21)(FF从而 )()()(122Htf 它仅在| | = ( 30 50 )内有值。再设 ttftf30cos)(23则有 )()(1)(223 FF即 F3( )是 F2( )的再频移。进而得响应的频谱为 )()(23HY其结果仅截取 20 20 的部分。以上过程的频谱变化如图 p4-9 所示。F() H1(j) H2(j)
