1、太原理工大学硕士研究生学位论文线性方程组新的预条件迭代法的研究摘要我们在现实生活中遇到的很多问题在进行数值求解时，最后都化为形如：的线性方程组。为了又快又好地求解线性方程组，其中迭代法是较有效的方法。迭代法收敛速度的快慢是用迭代矩阵的谱半径的大小来描述。我们知道一阶定常迭代法收敛的充要条件是：迭代矩阵的谱半径小于，从而我们应该寻找一种迭代矩阵的谱半径相对较小的迭代方法。实际上，为达到这一目的，我们经常用预处理的方法来加快迭代法的收敛性。本文先介绍了解线性方程组的经典迭代法。在此基础上，引入预处理矩阵，暇，提出了求解线性方程组的新的预条件 迭代法和预条件迭代法。在假设线性方程组的系数矩阵是非奇异
2、对角占优一矩阵、日一矩阵和非奇异且不可约的一矩阵的情况下，应用新的预条件迭代法，获得了相应迭代法的收敛性定理和比较定理。最后用数值例子验证：取合适的预条件因子就可以使求解线性方程组的新的预条件迭代法显得更优越。关键词：预条件， 迭代法，迭代法，收敛性太原理工大学硕士研究生学位论文 ， ， ， ： ， ， ， ， 尸， ， ， ， ： 太原理工大学硕士研究生学位论文 ：， ， ，太原理工大学硕士研究生学位论文主要符号，维向量集合刀 阶实矩阵集合 阶复矩阵集合向量的转置向量矩阵彳的第阶顺序主子式矩阵彳的比较矩阵矩阵彳的逆矩阵矩阵彳的谱半径取最大矩阵的范数阶单位矩阵严格下三角矩阵严格上三角矩阵矩阵彳
3、的迭代矩阵矩阵彳的 迭代矩阵矩阵的迭代矩阵肌胪尸仇小删一 几山川弘 矩阵彳的迭代矩阵太原理工大学硕士研究生学位论文第一章绪论经典迭代法解线性方程组的传统方法是用矩阵分解等直接求解，尽管传统方法能获得线性方程组的真解，但是当线性方程组的系数矩阵的条件数很大时，就会出现严重的病态问题。随着计算机技术的进步，人们开始在计算机上用迭代法来求线性方程组的近似解。因为迭代法较传统方法只需保存原始系数矩阵、针对于预处理的几个中间矩阵且能克服病态问题，从而是一种求解线性方程组的有效方法。考虑线性方程组其中（）是阶方阵，与是玎维列向量。若系数矩阵么的一个分裂为 （）（）其中是非奇异矩阵，则线性方程组（）可以表示
4、成即一 撕厂由此获得迭代法的基本迭代格式为一， ，其中叫称作迭代矩阵， 。在中，令 其中（）（）仍太原理工大学硕士研究生学位论文口 口 ： 口口口 口 口口 口 ： ： ： 。 ：以 那么对于么的任意分裂彳： ，、给不同的矩阵时，可以得不同的迭代格式（）当：， ： 时，迭代格式（）称为七 们迭代法，这时它的迭代矩阵岛；（）当： ，：时，迭代格式（）称为一迭代法，这时它的迭代矩阵 （ ）；（）：土 ： （ ），：上旦：一 【 （一曲缈吲时，迭代格式（）称为。燃迭代法，这时它的迭代矩阵口（，一础）一（一彩）缈 】 ，这里缈 是松弛因子：（）：！，一上三：缈（，一皿）国 国： （ ：缈一 【 （一）
5、（ ）时，迭代格式（）称为彩 彳锨迭代法，这时它的迭代矩阵线，（ ） 【 （一）（ ）。预条件迭代法的研究现状为了加快解线性方程组（）的迭代法的收敛速度，引入一个非奇异的预处理矩阵，即考虑剐： （）近些年来，线性方程组的预条件迭代法引起了很多人 【 的关注。比如，年， 【 引入预条件矩阵 ，其中，）太原理工大学硕士研究生学位论文 ：一 年，等人 【 引入预条件矩阵，其中一 一 ：一一 ”年，等人 【 蚓入预条件矩阵，其中一口 一口 一口 一月年，等人问引入预条件矩阵巳，其中一口 一口 ：一口。 年，李继成 引入预条件矩阵，善，其中一织以一口一屈口一口 。 ：。 一。，。一一口月一一年，李继成
6、【 引入预条件矩阵，眦，其中（，国， ，）， ， ，（， ，。）， ， 即年，周裕中等人 等人在文中提出的预条件矩为尸：。的迭代法用太原理工大学硕士研究生学位论文于方法获得了相应的收敛性定理。年，潘春平 【 引入预条件矩阵尸：，其中咖 以加郇 乩，叫 曩纰胁一删娜 乩， 砖铲嚣 本文的主要研究工作第一，在线性方程组的系数矩阵彳为非奇异对角占优一矩阵时，应用预条件矩阵为，的预条件 迭代法，对于任意的屈 （， 】 和层历，分别获得了彳疗为对角占优一矩阵和严格的对角占优矩阵以及迭代法的收敛性定理。同时，在么为不可约的对角占优一矩阵时，获得了迭代法的比较定理。第二，在线性方程组的系数矩阵彳是日一矩阵时
7、，应用预条件矩阵为 十的预条件 迭代法和预条件迭代法，获得了彳虚也为一矩阵以及相应迭代法的比较定理和收敛性定理。同时，在彳为不可约日一矩阵时给出了彩对收敛速度的影响。第三，在线性方程组的系数矩阵爿为非奇异且不可约一矩阵时，应用预条件矩阵为尸，的预条件迭代法，获得了此预条件能加快迭代法的收敛性。太原理工大学硕士研究生学位论文第二章预备知识主要定义及引理定义 设爿（口，）是以 刀阶矩阵，若口 （ ），则称彳是一矩阵。若爿为非奇异一矩阵且叫 ，则称它为一矩阵。定义眦设彳（口口） “，若么满足蚓 蚓（ 忉，则称爿为行对角占优（记为 ）。地，可描述列对角占优，两者并称对角占优。如果上面的不等式都是严格不等式，则称么为严格的对角占优矩阵（记为 ）。定义设 ，阶矩阵 ，假如有个置换矩阵 脒 ”，使得脚泪其中曰和分别为，阶矩阵，和， ，则称么为可约的矩阵，否则称彳为不可约的矩阵。定义 设（） 舢且符合下面的条件：（）彳为不可约的；（） ；（） ， 口 ， 刀） ，则称么为不可约对角占优的矩阵（记为 ）。定义 【 】 设彳为以 ”阶矩阵，若为非奇异矩阵，则称么一 为的一个分裂，这个分裂：（）是非负的，假如。 ；（）是一分裂，假如为一矩阵且 ；（）是正规分裂，假如。 且 ：（）是弱的正规分裂，假如。 且 。定义 称 为矩阵么的 分裂，如果：一 ， ：己，
