1、指数.指数函数,高一数学,主讲人:高德莲,1、有理数指数幂的运算性质： （1）arasars（2)(ar)sars（3）(ab)rarbr (a0，b0，r，sQ) 2、对分数指数幂的理解： （1） 不可以理解为 个a相乘，它是根式的一种新的写法，规定 (其中a0，m，nN*,n1)， （2）（3）对 当n是奇数时，aR；当n是偶数时，a0 （4）0的正分数次幂是0；0的非正分数次幂没有意义。,例1：求下列各式的值： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）,分析：既含有分数指数幂，又有根式，应该把根式统一化成分数指数幂的形式，再根据分数指数幂的运算性质，进行运算，运算时
2、，要注意运算顺序和灵活使用乘法公式。,解：（1）,（4）,（3）,（2）,（7）,（6）,（5）,（8）,小结：一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，结果可化为根式形式，或保留分数指数幂的形式，但不能既有根式又有分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数。,解： 又121123125 故 小结：对于底不同，指数也不同的幂比较大小时，可以化成指数相同去比较.,例2 比较的 大小,分析：因根指数都不相同，应化成统一的根指数，再进行比较。,例3 化简：（1）（2）（3）（4）（a3a3）(a3a3)(a4a41)(aa1)（5）,分析：观察式子的特点，灵活
3、运用以下乘法公式。 (ab)(ab)a2b2 (ab)2a22abb2 ,解：（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,小结：这些例题中，要注意立方和、立方差公式在分数指数幂当中的应用，因为二项和、二项差公式，平方差公式一般在使用中易于一目了然，而对立方和、立方差公式却不易观察到，要在做题中不断地提高灵活运用这些公式的能力。,例4 已知 求下列各式的值 （1）aa1（ 2） a2a2（ 3）,分析：从已知条件中解出a的值，然后再代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件 的联系，进而整体代入求值。,解：（1）将 两边平方，得aa129，aa17 （2）将aa17两边平方，得a2a
4、2249 a2a247 （3）由于 所以有,小结：用整体的思想，将 看作一个整体，这是一种重要的运算技巧。,3、指数概念的扩充： 对aP(a0)，当P是一个无理数时，规定aP表示一个确定的实数，而且有理数指数幂的运算性质对于无理指数幂也适用，这样，指数概念就扩充到了整个实数范围。 4、指数函数的定义： 形如yax(a0且a1)的函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。,5、规定底数a大于零且不等于1的理由：如果a0，当 时，ax无意义。 如果a1，1x1，没有研究的必要。因此，规定a0且a1.,a1,0a1,6、指数函数yax(a0且a1)的图像和性质,（1）定义域：xR；x0时，
5、y1，即过定点(0,1).,（2）值域：y(0,)； 当 或 时，均有y1； 当 或 时，均有0y1；概括为 “同号大于，异号小于”. （3）单调性：a1，指数函数yax是增函数；0a1，指数函数yax是减函数.,（4）奇偶性 ：非奇非偶函数. （5）当a1，a的值越大，图像越靠近y轴，递增速度越快； 当0a1时，a的值越小，图像越靠近y轴，递减的速度越快。,7、指数函数的应用： （1）比较两个数值的大小； （2）解指数不等式； （3）解决某些实际问题。,例5.比较大小 （1）1618，1816 （2）1.50.2，1.30.7， （3）,解：（1） （2） 又1.30.71（3）,小结：对于
6、三个以上的数的大小比较，一般是先对其进行分类，根据问题实际常常分成三类：一类是负数，一类是大于零且小于1的数，一类是大于1的数，再对这三类数分别进行比较。,例6 指数函数yf (x)的图像经过点(,e)， 求f (10) ，f (1)，f (),分析：解基本题的关键是先求yf (x)，可设f (x)ax，用待定系数法求解。,解：设y f (x) ax，它的图像经过点(,e)，e a于是 f (10)e01,小结：待定系数法是求函数解析式常用的方法。,例7：求下列函数的定义域和值域。 （1） （2） （3） y4x2x11 （4） （5） （6）,分析：本题考察指数函数的概念，定义域，值域。,解
7、：（1）含x40 x4 定义域：x|xR且x4 值域y|y0且y1 （2）定义域为R |x|0 ，值域为y|y1 （3）定义域为R y4x2x11(2x)22.2x1(2x1)22x0 y1 y4x2x11的值域为y|y1,（4）由ax10得ax1，当a1时，定义域为 当0a1时，定义域为 ；值域为 （5）定义域为R 12xx2(x1)222 而y0.5u在R上是减函数 值域为 （6）令 得 解得x1或x1 故定义域为x|x1或x1 由于 且 且 故函数 的值域为y|y1且y10,小结：（1）熟悉基本函数的定义域、值域。 （2）会用指数函数的图像去分析。 （3）能熟练应用指数函数的单调性。 （
8、4）会用分离常数法，判断,例8 利用函数f (x) 2x的图像，作出下列各函数的图像。 （1）yf (x1)2x1（2）yf (x)12x1 （3）yf (x)2x（4）yf (x) 2x （5）yf(|x|)2|x|（6）yf(|x1|)2|x1| （7）y|f (x)1|2x1|（8）yf 1(x),分析：本题考察指数函数y2x的图像及由基本函数图像作平移、对称变换所得函数的图像，含绝对值符号的，函数一般情况下要考虑去掉绝对值号，转成分段函数去考虑。,(2),(3),(1),(4),(5),y,(6),(7),(8),小结：（1）平移变换：,（2）对称变换：,例9：求下列函数的单调区间：
9、（1） （2） （3） （4） （5）,分析：可以先化简解析式，根据函数图像，写出单调区间。 对底含字母的要讨论。,解：（1）思路1：可以定义出发，作商判断在其定义域上的单调性. 思路2：先讨论二次函数的单调性，再看指数函数的单调性。 通过逐层讨论它的单调性，综合得到结果。 设ux22x(x1)21在（，1）是减函数，在（1，）是增函数, 又 在其定义域上是减函数, 在（，1）上为增函数，在（1，）上是减函数 .,（2）设u|x1| 在（，1）上为减函数，在（1，）上是增函数 又 ， 在其定义域内是增函数 的单调递增区间为（，1），单调递减区间为 （1，） （3） ，图像为 函数 的单调减区间
10、（，0）.,（4）设u|12x|x2|则 的增区间为 ， 减区间为,（5）当a1时，yax是增函数，当x1时，ux22x1为增函数， f (x)为增函数，当x1时，ux22x1为减函数 f (x)为减函数，当a1时，f(x)在 为减函数， 在 为增函数 同理，当0a1时，f (x)在 为增函数， 在 为减函数。,小结：复合函数f (x)f g(x)的单调性，设yf (u)，ug(x)，f (u)，g(x)同增同减 , f (x)为增函数，f (u)，g(x)增减相异f (x)为减函数。,例10 解下列关于x的不等式。 （1） （2） （3）,分析：化成同底，利用指数函数的单调性转成一元二次不等
11、式去解。,解：（1） 即 y2x是增函数，32x43x2从而3x22x10解得 原不等式的解集为 （2）由 知 x2x20 解得2x1原不等式的解集为x|2x1 （3）当a1时，可化为2x23x1x22x5，解集为x|x3或x2 当0a1时，可化为2x23x1x22x5，解集为x|2x3,小结：对底含字母的，要分a1和0a1两种情况讨论.,例11：已知函数ya2x2ax1(a1)在区间1，1上的 最大值是14，求a的值。,分析：分清内层函数和外层函数的单调性，能准确判断复合后函数的单调性。,解：当a1时，指数函数uax在1，1上是增函数且uax0，二次函数yu22u1在上 是增函数，所以函数y a2x2ax1在1，1上是增函数，所以x1时，y取得最大值，由已知得a22a114，解得a3，a15（舍去）,小结：可将a1放宽到a0且a1，当0a1时，类似可得,例11 放射性物质以一定的速度衰变，如果某个质量为Q0的放射性物质在时间h中衰变到Q0/ 2，那么它在2h时间中将衰变到刚才的一半，即Q0/ 4 。值h称为这物质的半衰期，它对不同的放射性物质是不同的，镭226的半衰期h1620年。如果我们开始有10克镭226，经过810年以后，还剩有多少克镭？,小结：将文字语言转化为数学关系式，这是解答实际应用题的关键所在。,
