1、第三章 导数的应用,第一节 微分中值定理,第二节 函数的性质,第三节 洛必达法则,第二节 函数的性质,一.函数的单调性,二.函数的极值,本节主要内容:,三.函数的最值,四.曲线的凹凸性,五.曲线的渐近线,六.函数的分析作图法,一、函数的单调性,定理3.2.1（函数单调性的判定法）设y=f(x)在a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，则 （1)如果在(a,b)内f (x)0 ，那么函数y=f(x)在a,b上单调增加； （2)如果在(a,b)内f (x)0 ，那么函数y=f(x)在a,b上单调减少,（1）求函数单调区间,（2）证明不等式，通常是两项不等式,利用导数性质来判断函数的性质，它包含两个
2、典型的问题：,单调性的应用,例1 讨论函数y=x3的单调性.,y= x3的定义域为(-,+)；,y =3x2，当x (- ,0)和 (0 ,+)时， y0,由函数图像可知函数在(-,+)上是单调递增的,当x=0时， y=0,当f(x)在某区间内仅在个别点处的导数为0或不存在，而在其余各点处导数均为正（或负）时，f(x)在该区间仍是单增（或单减）的。,解,例2 讨论函数f(x)=ex-x-1的单调性.,函数的定义域为(-,+)；,当x0时， y0 ,函数在( 0,+ )上单调增加,当x0时， y0,函数在(-, 0)上单调减少,当x=0时， y=0；,y =ex-1，,x=0为单调区间的分界点,
3、解,当f(x)在定义区间除去有限个点外导数均存在,那么只要用导数为零的点(驻点)和导数不存在的点来划分f(x)的定义域，就能保证在各个部分区间上单调。（单调区间的分界点为驻点和不可导点）,当x0时， y0 ,函数在( 0,+ )上单调增加,当x0时， y0,函数在(-, 0)上单调减少,当x=0时， y不存在.,函数的定义域为(-,+)；,x=0为单调区间的分界点,解,例3 讨论函数 的单调性.,（1）确定f(x)的定义域； （2）求出函数 在考察范围内的全部驻点和不可导点（除指定范围外，考察范围一般是指函数定义域）； （3）用这些驻点和不可导点将考察范围划分成若干个子区间； （4）确定f (
4、x)在各部分区间的符号，据判定定理判定出f (x)的单调性,求函数单调区间的步骤：,例4 求函数f(x)=x3-3x2-9x+1的单调区间.,（2） f (x)= 3x2-6x-9=3(x+1)(x-3) ，无不可导点,令f (x)=0 ，得 x1=-1,x2=3 ,（3）它们将定义域划分为三个子区间： (-,-1) , (-1,3),(3, +)；,（1）函数的定义域为(-,+)；,(-,-1),-1,(-1,3),3,(3,+ ),+,0,-,0,+,驻点,驻点,所以(-,-1和3, +)是单调增区间， -1,3是单调减区间,解,令f (x)=0 ，得,x2=4/5 ,（3）将定义域分为三
5、个区间 (-,0),(0,4/5),(4/5, +)；,（1）函数的定义域为(-,+)；,(-,0),0,(0,4/5),4/5,(4/5,+ ),+,不存在,-,0,+,不可导点,驻点,所以(-,0和4/5, +)是单调增区间, 0,4/5是单调减区间,例5 求函数 的单调区间.,（2） ,不可导点为x1=0.,解,例6 证明：当x0时，ex1+x ,f (x)= ex-1,所以x 0,+ ),有f(x)f(0)=0，即ex-1-x0,令f(x)=ex-1-x ，则f(x)在0,+ )上连续、可导,且,当x0时， y0 ,函数在0,+ )上单调增加,所以当x0时， ex1+x,利用单调性证明
6、不等式,证明,又因为： f(0)=0，,所以：当x0时， y0 ,函数在0,+ )上单调增加,所以x 0,+ ),有f(x)f(0)，即不等式成立.,例7 证明：,令,则,证明,o,x,y,y= (x),M,m,a,b,设函数 y = (x)在(a b)内图形如下图:,在1处的函数值f(1) 比它附近各点的函数值都要小;,而在2处的函数值f(2)比它附近各点的函数值都要大;,但它们又不是整个定义区间上的最小、最大值,为此,我们引入极值与极值点的概念.,二、函数的极值,定义3.2.1 设函数f(x)在x0的某领域N(x0,)内有定义， ，都有 （1）f(x)f(x0)成立，则称f(x0)为函数f
7、(x)的极小值 函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点,注： 1、极值是指函数值，而极值点是自变量的值； 2、函数的极值概念具有局部性；在小范围内比较，该点的函数值较大或较小，而不是在整个定义域上最大或最小，所以函数的极大值不一定比极小值大； 3、函数极值点必出现在区间内部，而不在区间的端点。,f(x)的极小值点:,f(x)的极大值点:,定理3.2.2（极值的必要条件）设函数f(x)在点x0处可导，且在点 x0处取得极值，那么函数 f(x)在点x0处的导数为零，即 f (x0) =0,极值的必要条件,1、可导函数的极值点必是它的驻点.,从而有几何意义: 可导函数的图
8、形在极值点处的切线是 与 x 轴平行的 (罗尔定理) .,2、对可导函数来说, 驻点不一定是极值点.,即曲线上有水平切线的地方, 函数不一定有极值. 如,o,x,y,则x =0 为 f (x) = x3 的驻点.,如图：x =0 不是f (x) = x3 的极值点.,说明：,3、对于函数y = |x| , 我们已知 x = 0 是函数的连续不 可导点. 但x = 0是函数的极小值点. 如图.,o,x,y=|x|,实际上, 连续不可导点也可能是极值点. 因而函数还可能在连续不可导点处取得极值.,定理3.2.3（极值的第一充分条件）设函数f(x)在点x0某个空心邻域内可导（ f (x0)可以不存在
9、），x为该邻域内任意一点， （1）当x0 ，当xx0时f (x)x0时f (x)0 ，则f(x0)为函数f(x)的极小值； （3）当xx0时f (x)的符号相同，则f(x0)不是函数f(x)的极值,极值的充分条件,(是极值点情形),(不是极值点情形),定理3.2.4（极值的第二充分条件）设函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f (x0)=0， f (x0) 0 ，则 （1）当f (x0) 0时，函 f(x)在点x0 处取得极小值,注： 1、第一充分条件适用于驻点和不可导点，而第二充分条件只能对驻点判定； 2、当f (x0) =0时，无法判定 f(x)在点x0处是否有极值,（1）确定函数f(x)
10、的考察范围，（除指定范围外，考察范围一般是指函数定义域）；,（2）求出函数f(x)的导数 f (x)；求出函数 f(x)的所有驻点及不可导点，即求出f (x)=0的根和 f (x)不存在的点；,（3）列表，利用第一充分条件或第二充分条件，判定上述驻点或不可导点是否为函数的极值点，并求出相应的极值,求极值的方法：,例8 求函数 的极值,（3）列表,（1）函数的定义域为(-,+)；,(-,-2),0,(-2,-4/5),-4/5,(1,+ ),+,极大值0,-,0,+,所以f(x)在x=0处取得极大值为0，在x=-4/5 处取得极小值为-8.4,（2） ,无不可导点,令f (x)=0 ，得,0,极
11、小值-8.4,(-4/5，1),+,1,0,无极值,解,例9 求函数 的极值,令f (x)=0 ，得,（1）函数的定义域为(-,+)；,所以f(x)在x=-1处取得极大值为17，在x=3 处取得极小值为-47,（2） ,无不可导点,（3）,因为,解,定义3.2.2 设函数f(x)在区间I上有定义，x1,x2I ， （1）若xI ，都有f(x)f(x1) 成立，则称f(x1)为函数 f(x)的最大值， x1为函数f(x)的最大值点； （2）若xI ，都有f(x)f(x2)成立，则称f(x2)为函数f(x)的最小值，x2为函数f(x)的最小值点函数的最大值与最小值统称为函数的最值，使函数取得最值的
12、点称为最值点,三、函数的最值,1. 最值是一个整体概念，在某一范围内，最值若存在，只能是唯一的；,2. 最值点可以是 I 内部的点，也可以是端点；,3. 如果最值点不是I 的端点，那么它必定是极值点；极值点不一定是最值点,4. 当函数存在唯一的极值点时，函数的极大（小）值就是函数的最大（小）值.,说明：,（2）求出函数 f (x)在内的所有可能极值点：驻点及不可导点，即求出 f (x)=0的根和 f (x)不存在的点；,（3）计算函数f (x)在驻点、不可导点处及端点a，b处的函数值；,（4）比较这些函数值，其中最大者的即为函数的最大值，最小者的即为函数的最小值,（1）确定函数f(x)的考察范
13、围（除指定范围外，考察范围一般是指函数定义域）；,求最值的方法（一）：,例10 求函数 在区间0,4 上的最值.,（3）计算得f(-1)=32,f(2)=5,又f(0)=25,f(4)=57,（1）考察区间为0,4 ；,所以f(x)在区间 0,4上的最大值是f(4)=57 ,最小值是 f(2)=5 ,（2） ,无不可导点,令f (x)=0 ，得,解,（1）当f (x0) 是极大值时， f (x0) 就是区间I上的最大值；,（2）当f (x0) 是极小值时， f (x0) 就是区间I上的最小值.,设函数f(x)在区间I内可导，且只有唯一驻点x0，又x0是f(x)的极值点，则,（,）,（,）,求最
14、值的方法（二）：,xR,有,令 f (x)=0有唯一驻点,假设,例11 证明：xR,有,又,所以函数f(x)在x=1/2 处取得极小值，即最小值,因而xR,有f(x)0即,证明,在实际问题中,往往根据问题的性质就可以断定可导函数f(x) 必存在最大值(或最小值),而且一定在定义区间内部取到.这时,如果f(x)在定义区间内部只有唯一驻点x0,那么,可以断定f(x0)就是最大值(或最小值). (不必讨论f(x0)是否为极值).,求最值的方法（三）：,例12 要做一个容积为V的有盖圆柱形水桶，问半径r与桶高h如何确定，可使所用材料最省？,假设水桶表面积为S，则,容积,要使所用材料最省，就要使水桶表面
15、积最小,解,令S(r)=0,得唯一的驻点,此时h=2r0 ，所以当半径r为 ，桶高h为 时，可使所用材料最省,(1)根据题意建立函数关系式y=f(x)；,(2)根据实际问题确定函数的定义域；,(3) 求出驻点；若定义域为开区间且驻点只有一个，则该驻点所对应函数值就是所求.如果驻点有多个，且函数既存在最大值也存在最小值，则需比较这几个驻点处的函数值，其中最大值即为所求最大值，其中最小值即为所求最小值.,实际问题求最值,曲线的凹凸性是描述函数性状的一个更深入的概念.,例如：,四、曲线的凹凸性,（1）,（2）,曲线(1)上任意两点(x1,f(x1),(x2,f(x2)之间的弦上的点位于曲线相应点的下
16、面，即曲线在弦之上；曲线(2)则相反，曲线在弦之下.,几何解释,定义3.2.3 设f(x)在区间a,b上连续 如果对(a,b)内任意两点x1 x2 恒有 那么称f(x)在a,b上的图形是凹的（记为“”）；如果恒有那么称f(x)在a,b上的图形是凸的（记为“ ”）；,(1)观察切线与曲线的位置关系.,(1) 凹曲线位于其任一点切线的上方；凸曲线位于其任一点切线的下方,(2)观察切线斜率的变化与曲线凹凸性的关系.,(2) 凹切线斜率单调递增；凸切线斜率单调递减,观察与思考,定义3.2.4 曲线凹与凸的分界点称为曲线的拐点,如果(x0, f(x0)是拐点且f (x0)存在, 问f (x0)=？ 如何
17、找可能的拐点？ 如何确定曲线yf(x)的拐点？,o,x,y,y= (x),a,A,B,b,c,C,讨论,(1)在拐点(x0, f(x0)处f (x0)=0或f (x0)不存在. (2)只有f (x0)等于零或不存在, (x0, f(x0)才可能是拐点. (3) 如果在x0的左右两侧f (x)异号, 则(x0, f(x0)是拐点.,(2)拐点是曲线上的点, 从而拐点的坐标需用横坐标与纵坐标同时表示, 不能仅用横坐标表示. 这与驻点及极值点的表示方法不一样.,(1)拐点一定是f (x)=0或不存在的点，但是f (x)=0或不存在的点不一定都是拐点.,结论,注意,定理3.2.5 设f(x)在a b上
18、连续 在(a b)内具有二阶导数.若在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上的图形是凹的 若在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上的图形是凸的,曲线凹凸性判定定理,若曲线y=f(x)在点x0连续， f (x0)=0或不存在， f (x)在x0两侧异号，则点(x0, f(x0)是曲线的一个拐点,(1)确定函数的定义域； (2)在定义域内求 f (x)=0的点和f (x)不存在的点； (3)用上述点划分定义域，并列表判别函数的凹凸性,拐点的判定：,求曲线凹向区间和拐点的步骤：,f (x) 没有为0的点，但是x=4时， f (x)不存在，,例13 讨论曲线 的凹向区间与拐点,x,f
19、 (x),f (x),(-,4),4,(4 ,+),+,-,不存在,拐点(4,2),（1）函数的定义域为(-,+)；,解,定义3.2.5 若曲线L上的动点P沿着曲线无限地远离原点时,点P与一条定直线C的距离趋于零,则称直线 C为曲线L的渐近线当C垂直于x轴时,称C为曲线L的垂直渐近线; 当C垂直于y轴时,称C为曲线L的水平渐近线,五、曲线的渐近线,例如，对于曲线 来说，,（1）水平渐近线,所以直线,都是该曲线的水平渐近线 .,又如，曲线,例如，对于曲线y = ln x来说，,所以直线 x = 0 是曲线y = ln x,的垂直渐近线,（2）垂直渐近线,所以直线x=1是该曲线的水平渐近线 .,又
20、如，曲线,所以，y=2为水平渐近线;,例14 求曲线 的渐近线.,所以，x=1为垂直渐近线.,解,所以，x=0为垂直渐近线;,例15 求曲线 的渐近线.,所以，y=-2为水平渐近线.,解,作函数y=f(x)图象的一般步骤为： （1）确定函数y=f(x)的定义域，分析函数的奇偶性、周期性； （2）求函数的一阶导数，二阶导数，并求出一阶导数、二阶导数为零的点及导数不存在的点； （3）列表求函数的单调区间、极值，确定函数的凹凸区间和拐点； （4）求曲线的渐近线； （5）求曲线上一些特殊点，根据函数的性态，结合描点，作图,六、函数的分析作图法,(1)定义域(-,+) ，函数为偶函数 ；,例16 作函数 的图像,x2=-1, x3=1时，y =0,(3)列表,解,(4)曲线有水平渐近线y=0，无垂直渐近线,(1)定义域(-,+) ，函数为奇函数 ；只需作出 0,+ )上的图象,例17 作函数 的图像,(3)列表,x2=0, x3= 时，y =0,解,(4)曲线有水平渐近线y=0，无垂直渐近线,
