1、1,奥赛教练员培训班光学,南京大学物理系 丁剑平,论题二、光在非均匀介质中的传播,论题三、费马原理及其运用,论题四、光的干涉,论题五、光的衍射,论题一、光的基本特性,2,论题一、光的基本特性,光是一种电磁波,电磁波谱,3,介质中的速度：,真空中的速度：,折射率的定义：,例如-空气：1.00029; 水：1.33; 玻璃 1.5,光的速度,4,正常色散曲线,折射率 n 与波长有关: 色散现象,5,论题二、光在非均匀介质中的传播,光线在非均匀介质中的传播可以看成是连续折射的过程，逐点运用折射定律可以追踪光线的轨迹。,光在光纤中的传输,6,例1： 一块平行平板，其厚度为 d，光线 从O点垂直入射，若
2、平板折射率按 变化，q 为常数，并在 A 点以 a 角出射，求 光线轨迹、A 点的位置和平板厚度。,A,a,O,X,Y,d,解：,折射定律决定光线在每一点的方向，从而确定光线的轨迹；,介质折射率连续变化，可将平板沿 X 方向切成一系列薄片，对每层薄片应用折射定律。,折射定律的级联形式：,7,A,a,O,X,Y,d,bx,P :(x, y),P点光线的方向由bx 决定:,P点光线的切线斜率 kp :,曲线 y = f(x)与斜率 kp：,8,例2、 一个透明光学材料，折射率在 y 方向向两侧对称地降低： ，在 xoy 平面内有一光线以入射角qo=30o 射向O点，求此光线能到达离 X 轴最远的距
3、离。,O,X,Y,解:,q0,从上题可知，光线进入折射率非均匀介质后弯曲，而且是倾向于向折射率大的方向偏折。,从图可知：光线 X 轴最远点为切线在水平方向时的切点处。,由初始条件 求出a0:,9,例3、光从空气折射进透明介质，入射点折射率为n0，入射角近似 p/2，介质折射率与介质高度 y 有关，当折射光线的轨迹是抛物线 y=ax2 时，求折射率与高度 y 的关系。,解：,x,y,折射定律：,光线切向斜率：,10,3) 在入射角i 0 和 = iM条件下，确定光由 O点入射传播到与Ox轴的第一个交点的时间。,例4、圆柱型光纤的纤芯半径为a，折射率介于n1和n2之间（1n2n1）依 渐变，n2为
4、距轴线a处的折射率，b 为常数，包裹层折射率也为n2 。光纤置于折射率为n0的空气中，取Ox轴沿光纤轴线方向，O为光纤端点的中心。假设 一束单色光从O点以入射角i 进入光纤，入射面为xOy :,1）求出光线在光纤里的轨迹方程 y=f(x)；,2）求出光可以在光纤纤芯中传播的最大入射角iM；,O,x,qi,a0,y,n2,n2,n0,a,4) i iM时光信号沿光纤的传输速度（定义为第一个交点x坐标与时间的比值）,（亚洲奥赛04年题）,11,O,x,qi,a,a0,y,n2,n2,n0,解：,入射点：x=0, y=0,q,P(x, y),切线斜率,a,12,O,x,qi,a0,y,n2,n2,n
5、0,P(x, y),一阶微分方程,两边对x再求导一次,a,13,O,x,qi,a0,y,n2,n2,n0,P(x, y),1）光线在光纤里的轨迹方程,a,2) 光可以在光纤纤芯中传播的最大入射角iM；,14,3) 在入射角i 0 和 = iM条件下，确定光由 O点入射传播到与Ox轴的第一个交点的时间,O,x,y,n2,n2,n0,a,Oz 轴的第一个交点处：,x1,第一个交点坐标,n1,15,O,x,y,a,x1,ds,dx,dy,通过一线段元 ds 时间为,线段元,16,O,x,y,a,x1,ds,dx,dy,17,4) i iM时光信号沿光纤的传输速度（= x1/）,O,x,y,a,x1,
6、qi,n2,n1,18,光程：折射率 n 与路程 S 的积,从点到点所需时间：,论题三、费马原理及其运用,19,光的直线传播定律 - 光在均匀媒质中沿直线传播,光程取极小值:,A,B,20,透镜成像时，物点到像点的光程取恒定值。,P,P,21,n2,S,n1,S ： n1与n2的分界面；,A,B,例5、证明光从A点传播到B点遵从折射定律,证明：,22,P,n2,S,n1,A,B,O,O,a,P：(x,y),X,Y,A点传播到B点经历的光程 D：,h1,h2,23,P,n2,S,n1,A,B,O,O,a,P：(x,y),X,Y,h1,h2,入射光线与折射光线共面,24,P,n2,S,n1,A,B
7、,O,O,a,P:(x,0),X,Y,h1,h2,代入,i1,i2,25,费马原理在透镜成像中的运用,平行光垂直面上各点A、B、C到达焦点F的光程相等,A、B、C分别到达P、Q、R的光程也彼此相等,26,例6、设曲面 S 是有曲线 CC 绕 X 轴旋转而成的。曲面两侧的折射率分别为 n 和 n，如果所有平行于X 轴的平行光线经曲面折射后都相交于X 轴上一点 F，则曲面成为无像差曲面，已知OF = f，求曲线所满足的方程。如果 n = - n，结果如何？,C,O,X,Y,解：,F,f,A,B,用等光程原理求解本题更简单,n,n,C,27,选取一条入射光线AB和一条沿 X 轴的入射光线,等光程：,
8、C,X,Y,F,f,A,B:(x, y),n,n,C,O,28,例7、有一折射率n=1.5的平凹透镜，半径R=2cm，边缘厚度d0=0.5cm，如果垂直入射于平面的平行光束经折射后，折射光线的延长线交于F，其中OF= f =20cm，求 （1）凹面的形状； （2）平凹透镜中心处的厚度值。,R,f,F,O,解：,d0,根据费马原理，所有平行光线经过透镜后到达F点的等效光程应该相等,任选一条光线和光轴上的光线作比较，两条光线到达F点光程应相等,29,R,f,F,O,d0,（1）凹面的形状,n,建立坐标系，任选一条平行入射光线1，其在凹面上的交点P，F为圆心PF为半径的圆弧交光轴于B,求凹面上一点
9、P的坐标（x, y）,计算光线1和光轴上的光线2的光程，起点分别取C、O，终点F,光线1的光程：,30,R,f,F,O,d0,n,X,Y,A,P (x, y),C,1,2,1的光程：,2的光程：,其中：,B,令 OA=d，由等光程关系：,旋转双曲面,31,n=1.5，R=2cm，d0=0.5cm，OF= f =20cm,（2）求透镜中心处的厚度值d :,R,f,F,O,d0,n,X,Y,A,P (x, y),C,1,2,B,将x=d0，y=R代入：,32,休息,33,论题四、光的干涉,34,杨氏干涉,Young 干涉装置示意图,35,L,S1,S2,d,X,观察屏上的 光强分布,观察屏,S,单
10、缝或孔,Y,图示：Young 干涉,X,屏上总光强: 亮纹处： 暗纹处：,双缝或双孔,36,杨氏干涉光强的分布,37,图示：光强的分布,或,时,38,干涉条纹的分布,其中,实际情况,39,L,S1,S2,d,X,S,X,40,例8、在图示的费涅尔双棱镜实验中，已知狭缝光源S的波长为l、棱镜折射率为n、棱角a很小，设光源S到棱镜的距离为L1，（1）求距棱镜L1处的屏上条纹的间距。（2）若用折射率为n的肥皂膜遮住棱镜的一半，发现条纹上下移动了距离a，求肥皂膜的厚度。,解：,L1,L2,屏,a,n,X,41,求等效光源S1和S2的间距 d ：,L1,L2,屏,a,n,O,d,q,X,（1）条纹间距
11、Dx ：,42,干涉亮条纹：,干涉暗条纹：,q,i,n,n,n,a,t,薄膜干涉,半波损失,P,43,例9、一块玻璃平板放置在边长为2cm的玻璃立方体上，两者之间有一层平行的空气隙。波长在0.4mm到0.7um之间的电磁波初值垂直入射到平板上，经空气隙两边表面反射而发生干涉。在此波段只有两种波长获得极大增强，其一是l1=0.4mm。求空气隙的厚度。 (第3届国际奥林匹克题）,解：,d,44,例11、沿着肥皂膜法线成45o角的方向观察时，膜显绿色(l1=500nm)。设肥皂膜折射率为1.33，求：(1)肥皂膜的最薄厚度。(2)如改为垂直观察，膜是何种颜色？（第10届国际奥林匹克题）,解：,(1)
12、 干涉极大条件,膜最薄,可见光范围 k只能取0,45,迈克耳孙 干涉仪,构造和光路,图示： 不同方位看到的迈克耳孙 干涉仪装置,46,迈克耳孙干涉条纹,M1,M2,M2,B,C,t,P,同心圆环,和,47,M1,M2,M2,B,C,t,P,48,Michelson 干涉仪的等倾条纹,时的条纹：,M2靠近M1时:,49,迈克耳孙 干涉仪的等倾条纹,等倾条纹的分布规律：,M2靠近M1时:,1),t 改变/2,条纹改变1 级,50,图示：迈克耳孙干涉仪一臂中火焰加热空气引起的条纹分布变化,51,论题五、光的衍射,当一个波在传播中遇到障碍物时，会绕过去继续传播， 如声音透过门缝，河里的水波穿过涵洞，这
13、种不遵从直线传播规律的绕射现象就是波的衍射。,当障碍物尺寸小到与波长可比拟时，衍射现象明显。,水波的衍射,52,当障碍物的尺寸小到与波长可比拟时，衍射现象明显。,光波长很短，光的衍射在障碍物很小时才易于观察到。,图示：小孔的衍射现象,几何光学,53,图示：圆孔的衍射花样,图示：圆屏的衍射花样,Fresnel衍射演示,54,衍射对透镜成像分辨力的影响,衍射像导致的成像分辨率的下降,P,P,D,透镜的有限孔径引起的衍射，使得像点成为衍射斑（爱里斑）,爱里斑的角半径：,55,瑞利 判据：当两个像靠近到使得一个爱里斑的主极大和第二个爱里斑的极小重合时，刚刚能分辨。进一步靠近，两个像不能分辩。,衍射像导致的成像分辨率的下降,56,例12、一个由暗盒组成的针孔照相机，其小孔直径小孔直径为d，暗盒中像成在小孔厚距离为D 的感光胶片上，物体位于小孔前L处，所用照明波长为 l 。 （1）估计成像清清晰时小孔半径的大小；（提示：函数 ，对于 x 0， 时， y 最小）（2）若使用（1）中算出的小孔，试问物体上两点间的最小距离多少时，两点的像是可分辨的？,57,分析,A,d,D,L,58,（1）像最清晰时的小孔直径：,a,A,d,D,L,瑞利判据,时,59,谢谢！,
