1、沈阳航空航天大学研究生试卷（A）2011-2012 学年 第一学期课程名称：数值分析 出题人: 王吉波 审核人: 一、填空题（本题 40 分 每空 4 分）1设 为节点 的 n 次基函数，则 ),10()njxljx,10 )(ijxl。ji,02已知函数 ，则三阶差商 = 0 。)(2xf 4,32f3当 n=3 时，牛顿-柯特斯系数 ，则 。8,81)()()3(0C)3(814用迭代法解线性方程组 Ax=b 时，迭代格式 收敛,20,)()1( kfBxkk的充分必要条件是 或 B 的谱半径小于 1 。1)(5设矩阵 ，则 A 的条件数 = 3 。2A2)(ACond6.正方形的边长约为
2、 100cm，则正方形的边长误差限不超过 0.005 cm 才能使其面积误差不超过 1 。2cm7.要使求积公式 具有 2 次代数精确度，则)()0(4)(10 xfAfdxf2/3 ， 3/4 。1x1A8. 用杜利特尔（Doolittle）分解法分解 ，LUA，则 ，135 94- 27609- 5 1827A其 中 1 32 0-1 L9 0 5481 - 279U二、 （10 分）已知由数据（0,0） ， （0.5，y） ， （1,3）和（2，2）构造出的三次插值多项式的 的系数是 6，试确定数据 y。)(3xP3答案：利用 Lagrange 插值多项式， )()()()()()( 3
3、21033 xlfxlfxlfxlfL 及基函数的表达式可知 的系数为3+)()(302010xf )()(312101f+ +321202xf 23130xxf（5 分）代入有关数据得 .)(.)5.().(5.6 y解得 y=4.25.（5 分）三、 （15 分）试导出计算 的 Newton 迭代格式，使公式中（对 ）既无开方，又)0(1a nx无除法运算，并讨论其收敛性。答案：将计算 等价化为求 的正根。 )(12x而此时有 ， （5 分） 32(,1)fxaf故计算 的 Newton 迭代格式为0(1（5 分）nnnn xaxxax )23(231 迭代函数 ，故迭代法局部10|*)(
4、|3)(,1*,)() 2xa收敛。 （5 分）四、 （15 分）已知 。43,21,40xx（1）推导出以这 3 个点作为求积节点在0，1上的插值型求积公式；（2）指明求积公式所具有的代数精确度；（3）用所求公式计算 。102d答案：（1）过这 3 个点的插值多项式故)()()()()()()( 2120212101020102 xfxfxxfxxP ，其中210kkAdf 3)41(2)(1010201 dxxxxA，故所求的插值型求积公式为 3,21（5 分）)3()4()(0 fffdxf （2）上述求积公式是由二次插值函数积分而来，故至少具有 2 次代数精确度。再将代入上述求积公式，
5、有3,f)4(21)(241330x435d故上述求积公式具有 3 次代数精确度。 （5 分）（3） （5 分）31)4(21)(2102 x五、 （10 分）给定方程组 01580321xx判定 Jacobi 和 Gauss-Seidel 方法的收敛性。答案：Jacobi 迭代矩阵为 ； （2 分）0 5128 8 JB由于 ，故 Jacobi 迭代收敛。 （3 分）13)(JBGauss-Seidel 迭代矩阵为 ； （2 分） 80560241GB故 ，故 Gauss-Seidel 迭代收敛。 （3 分）14)(GB六、（10 分）定义内积 ，试在 中寻求对于1)(),(dxgff ,1421xspanH的最佳平方逼近多项式 。|xf() p答案：取 ，经计算得法方程组为 。 （5 分）4210,x 3129 725 35 0a解得 ，故 的最佳平方逼近多项式为 )(xp12805,64,12850 aa |xf()。x（5 分）
