1、1.设有一双子链最近邻原子间的力常数为 和 10，两种原子质量相等，且最近邻距离为 a/2，求在 q=0,q=a 处的 (q).并定性画出色散曲线。 m m 10 m m _ |2|2| aa 解：已知 21)c o s2(1 212221212 qammA (1) 21)c o s2(1 2122212120 amm (2) 由题意 2 101 10 代入（ 1）式 得 21)c o s20100(111 222 qammA =21)c o s20101(11 qamm = 21)c o s20101(11 qam 当 q=0 时 0)1111(02 mqA 当 q=a 时 mmaqA2)9
2、11(2 把 2=101=10代入（ 2）式 得 21)c o s20101(1120 qam 当 q=0 时 mq 22020 时aq maq 2020 2.设三维晶格的光学格波在 q=0 的长波极限附近有 i (q)=0 Aq2（ A0），求证光学波频率分布函数 (格波密度函数 )为： g()=)1(31si24V2321)( 0A i i 0 g()=0 i 0 证：由格波密度函数的定义已知，对一支格波在 d i 区间格波数为 g ( i )d i =qd dV iii 3)2(在长波极限下等频率面为球面 则 g( i )d i = dqqV 23 4)2( 当 i 0 时 因为 q2
3、A qi )(0 A qq i )(0 dq= 2121 )(2)(0 qAqdii 所以 g( i )=2121 )(214)2(003ii AAV = 23 21204 )( AV i 由模式密度的物理意义，取其绝对值 而当 i 0 时 因为 i 0 Aq2 所以 Aq2= 0 i 又因为 A0 q20 (因为 q 本身为实数 ) 所以 上式右边必满足 0 i 即不存在 i 0 的格波 , 则 g( i )=0 又因为 三维晶体中共要有 3（ S 1）支光学格波 所以 光学波频率分布函数为： g232120331 4)()( AV iSi i 0 g( )=0 0 3. 求一维单原子链的格
4、波密度函数；若用德拜模型，计算系统的零点能。 解： (1)设一维单原子链长 L Na， a 为原子间距， N 为原子数，在 a q a 区域内 q 只能取 N 个值， dq 间距内的格波数为 f(q)dq= dqLdqNadqaN 222 色散关系为 2sin4 qam (1) )co s1(22 qam = 22m (1-cosqa) (2) 其中 m=21)4(m由于 对应于 q, 取相同的值，（色散关系的对称性，则 d区间的格波数为 g()d 2dqdNaddqNa 2 (3) 由色散关系（ 2）可得： 2d= 22am sinqa dq qaaqaadqd mm 222 c o s14
5、s i n4 = 222 ma代入 (3)可得： g()=222 mN (4) (2)在德拜模型下，色散关系为线性 pq pdqd 代入 (3)式 得； g()=ppLNa (5) 则零点能为： E 零 dLdgpDD221)( 00 =pDL4 2 (6) 又因为 NLdLdgpDpDD 00)( 得： NLDp (7) 代入（ 6）式 得： E 零 = aNQKNNDBd 444 4. 试用平均声子数 n（ 1)1KTe 证明：温度为 T 时，对单式格子，波长足够长的格波平均能量为 KT；当 T D 时，大约有多少模式被激发？并证明此时晶体比热正比于 ( 3)DT 。 解：单式格子仅有声学
6、格波，而对声学波波长 足够长，则 很低对满足TkB1 的格波 把 TBKwe 泰勒展开，只取到一次项 TBKwe 1 （ 1TkwB） 1TkwB， 平均声子数 n（ 1)1KTe ， 所以 wTkn B 而属于该格波的声子能量为 ， 所以，格波平均能量为 TKwTKwnEBB 2121 当 TD 时，可使用德拜模型，格波密度函数为教材（ 3 72） g(w)= 23223 V只有 TkB 的格波才能激发，已激发的格波数可表示为： dgA TBK )(0 332 )(2 TkV B由上已知，此时格波平均能量为 KBT 则晶格热容可表示为 TkTkVTC BBV )(2 32 333242 TV
7、kB把（ 3 75）式 31)6( 2 VND及 DBD K 代入整理为： Cv 12NKB 3DT 所以晶格比热正比于（ 3)DT 得证 5. 对于金刚石、 Zns、单晶硅、金属 Cu、一维三原子晶格，分别写出 (1) 初基元胞内原子数； (2). 初基元胞内自由度数 (3).格波支数 ; (4). 声学波支数 (5).光学波支数 解： 金刚石 Zns Si Cu 一维三原子晶格 初基元胞内原子数 2 2 2 1 3 初基元胞内自由度数 6 6 6 3 3 格波支数 6 6 6 3 3 声学波支数 3 3 3 3 1 光学波支数 3 3 3 0 2 6. 证明在极低温度下，一维单式晶格的热容
8、正比于 T . 证：在极低温度下，可用德拜模型， q 点密度为 2L g d区间格波数为 g()d 2 dLdLdqL dqdw 2所以格波密度函数 g()L 只有 TkB 的格波才能被激发，已激发的格波数为； A TkLdg BTK B )(0由第 4 题已证，一维单式格子只有是声学格波激发，对 足构低，且满足 kT 1 的格 波能量为 KBT。则晶格热容为 TLKTKTLKTC BBBV 22 即热容正比于 T。 7. NaCl 和 KCl 具有相同的晶体结构。其德拜温度分别为 320K 和 230K。 KCl 在 5K 时的 定容热容量为 3.8 10-2J.mol-1.K-1，试计算
9、NaCl 在 5K 和 KCl 在 2K 时的定容热容量。 解： 设 NaCl 和 KCl 晶体所包含的初基元胞数相等，均为 N， TD ，可用德拜模型（德 拜温度分别为 NaCl 320K， KCl 230K）利用 CV=qNk(2403 )1() x xD edxexQT TDQ TQD 1. 积分上限近似可取为、则有 154)1(2240 x xe dxex 34 )(512 DBv QTNKC 对 KCl： T 5K 时 Cv 3.8X10-2 当 T 2K 时 2233 1024.0125 1088.325 vv CC(J.mol-1.K-1) 对 NaCl： T=5K 时 3323
10、113)320( )230(108.3)( )( DDvv Q QCC 1.41X10-2(J.mol-1.K-1) 8. 在一维无限长单原子链中，若设原子的质量均为 M，若在简谐近似下考虑原子间的长程作用力，第 n个原子与第 n+m 和第 n m 个原子间的恢复力系数为 m, 试求格波的色散关系。 解：设原子的质量为 M，第 n 个原子对平衡位置的位移为 un , 第 n+m 和第 n m 个原子对平衡位置的位移为 un m 和 un m (m=1,2,3 ), 则第 n+m 和第 n m 个原子对第 n 个原子的作用力为 fn,m = m（ un m un） m（ un m un） m（ un m un m 2un） 第 n 个原子受的总力为 Fn = 1 ,m mnf= 1mm（ un m un m 2un） 因此，第 n 个原子的运动方程为 M22dtud n = 1mm（ un m un m 2un） 将格波的试解 un A )( tqnaie 代入运动方程，得 M2 1 )2(miq m aiq m am ee = 1 1)co s (2m m qm a= 4 )2/(sin12 qmam m 所以 2 = M4 )2/(sin12 qmam m
