1、函数的单调性,习题课,复习,对于给定区间D上的函数f(x)，若对于D上的任意两个值x1,x2，当x1)f(x2),则称f(x)是D上的增（减）函数，区间D称为f(x)的增（减）区间。,1、函数单调性的定义是什么？,若 0，则说明 什 么？,2、证明函数单调性的步骤是什么？,第一步：取值 第二步：作差变形 第三步：定号 第四步：判断下结论,题型一：用定义证明函数的单调性,例1、判断函数f(x)=x3+1在(,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果x（0，），函数f(x)是增函数还是减函数？学.科.网zxxk.组卷网,讨论函数f(x) = 在(1,1)上的单调性.,例2,解：设,此时f（x
2、）为减函数.,当a0时， f(x1)f(x2)，此时f(x)为增函数.,题型二：图象法,例3：指出下列函数的单调区间：,例4：指出下列函数的单调区间：,题型三：利用已知函数单调性判断,例3：判断函数,在(1,+)上的单调性。,为正数且增函数，,例4：设f(x)在定义域A上是减函数，试判断y32f(x)在A上的单调性，并说明理由。学.科.网,结论2：yf(x)与ykf(x) 当k0时，单调性相同；当k0时，单调性相反。,结论3：若f(x)与g(x)在R上是增函数，则f(x)+g(x)也是增函数。,结论4：若f(x) 在R上是增函数， g(x)在R上是减函数，则f(x) g(x)也是增函数,结论6
3、：复合函数fg(x)由f(x)和g(x)的单调性共同决定。它们之间有如下关系：,结论5：若f(x)(其中f(x)0)在某个区间上为增函数，则,练习：求函数,的单调区间。,答案： (, 3单减区间 2,+)单增区间,注意：求单调区间时，一定要先看定义域。,题型四：函数单调性解题应用,例1：已知函数y=x22axa21在(,1)上是减函数，求a的取值范围。,解此类由二次函数单调性求参数范围的题，最好将二次函数的图象画出来，通过图象进行分析，可以将抽象的问题形象化。,练习：如果f(x)=x2(a-1)x+5在区间（0.5，1）上是增函数，那么f(2)的取值范围是什么？,7,）,例2：已知x0,1,则
4、函数的最大值为_最小值为_,上的增函数，,利用函数的单调性求函数的值域，这是求函数值域和最值的又一种方法。,例3：已知：f(x)是定义在1,1上的增函数，且f(x1)f(x21),求x的取值范围。,注： 在利用函数的单调性解不等式的时候，一定要注意定义域的限制。保证实施的是等价转化,例4：已知f(x)在其定义域R上为增函数， f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y).解不等式f(x)+f(x2) 3,函数单调性在解题中的妙用,解：利用数形结合可知解的个数为1个，故选（B）。,例1：方程 在 上解的个数有（ ） （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个,另解：若令 ，易知,在 上是递增
5、函数，因为,，故选（B）。,0,故有且只有一个 使,分析;把此不等式整理变形为关于a的一元一次不等式：,由于一次函数是单调的，,若令f(x)= a(x-2)-x2+6x；,只需f(-4)0且f(5)0即可，,所以x(1, 4)；,a(x-2)-x2+6x0在a 上恒成立，,例3.求证：2n2n1（n为自然数，且n3）。,解：构造函数f(x)=2x2x;,对任意的x3；f(x+1)f(x)=,2x+12(x+1)2x+2x=2x2,而x3，f(x+1)f(x)0，,可知f(x)（x3）是递增函数，f(3)=2323=21，,故有2n2n1.,例4：求函数 的值域；,解：易知函数是单调递增函数，又因为函数的定义域是x( -,5； 所以当x=5时，y最大=10， 故函数的值域为( -,10；,题型五：复合函数单调区间的求法,例1：设y=f(x)的单增区间是(2,6)，求函数y=f(2x)的单调区间。,上是单调递减的。,，,由复合函数单调性可知,如何判断函数,证明：,如何应用函数,解：,己知a,b,cR,且a0,6a+b0.设f(x)=ax2+bx+c,试比较f(3)、与f()的大小.,解：由,
