1、第二章 晶体中原子的结合,2.1 由N个原子（离子）所组成的晶体的体积V可写为。式中， v为每个原子（离子）平均所占据的体积；R为粒子间的最 短距离；是和结构有关的常数。试求下列各种结构的值： (1).简单立方点阵； (2).面心立方点阵； (3).体心立方点阵； (4).金刚石结构； (5).氯化钠型结构。,式中，V为晶体体积，N为晶体包含的原子数，v为每个原子平 均占据的体积。若以,表示晶体包含的晶胞数，,中每个晶胞的体积，n表示晶胞中所含的粒子数，则(1)式完全 等效于,解：题给,表示晶体,(1),于是得,(2),R为离子间的最短距离。题给的各种晶格均为立方格子，如令,其晶格常数为a，则
2、有,。可由式(2)直接求出各种格子的,值。所得结果列表如下：,2.2证明有两种离子组成的、间距为 的一维晶格的马德隆常数 。,证明：,选取负离子O为参考离子，相邻两离子间的距离用R表示。,第j个离子与参考离子的距离可表示为,。,对于参考,离子O，它与其它离子的互作用势能为,马德隆常数,且,即当,时，,因为,解之有,（1）,因而,其次，对应于 处能量取极小值，应有,于是,把（1）式代入，即得,所以,这个结果表明，排斥力是短程力，与吸引力相比较，它随原子间的距离的变化更陡峭。,2.4 有一离子晶体，其总互作用势能表示为,试问当离子电荷加大1倍时，平衡离子间距、互作用势能和体积弹性模量将受何影响？,
3、解：,按题给,由平衡条件,得到离子平衡间距作为离子带电状态的函数,从而晶体的内能也作为离子带电状态的函数,（1）,（2）,由（1）、（2）两式可知，当离子带电量加倍时，则有,体积弹性模量可按下式求出,2.5 有一晶体在平衡时的体积为 ，原子间总的互作用能为。若原子间互作用能由式 表述，试证明晶 体的体积弹性模量为 。,证明：,设晶体共含有N个原子，则总能量为,由于晶体表面层的原子的数目与晶体内原子数目相比少得多，,因此可忽略它们之间的差异，,于是上式简化为,设最近临原子间的距离为R，则有,再令,得到,平衡时,，,则由已知条件,，,得,由平衡条件,得,由（1）、（2）两式可解得,利用体积弹性模量
4、公式,得,由于,，,因此,，,于是,2.6 已知有N个离子组成的NaCl晶体，其结合能为,今若排斥项 由 来代替，且当晶体处于平衡时，这两者对互作用势能的贡献相同，试求出n与 的关系。,由,得,又,（2）,得,（3）,将（1）、（3）两式代入（2）式,可得,即,2.7 立方ZnS的晶格常数a=5.41A，试计算其结合能 。,则,解：,（1）,由,得,可知,（2）,对于面心立方，N个原子构成晶体体积,可得,由（1）中结果知,所以,可知,可得,（3）,体积弹性模量,（4）,抗张强度公式为,又面心立方结构,可知,又,所以抗张强度,2.9 设有一离子晶体,只计及最近邻离子间的排斥作用时,其两个 离子间
5、的势能具有如下的形式:,其中,为参数;R是最近邻距离.试求平衡时晶体总的互作用势能的表达式.晶体共包含2N个离子.,解:,以负离子为参考离子,同号取“-”,异号取“+”;,令最近邻离子间距离为R,则 ,设最近邻离子数目为Z,2.10 由两种一价离子交替排列组成的一维晶体，若离子总数为2N，试证明,(1) 平衡时的互作用势能为,(2) 如果晶体被压缩，使,，则外力对每个离子,所作的功,可表示为,解：(1)计入排斥作用，晶体中任意两离子i、j之间的互作用,式中，同号离子取“+”号。异号离子取“”号。若取负离 子i作为参考离子，并忽略表面效应，则总的互作用能为,能,括号内对正离子取“+”号，对负离子
6、取“”号。以R表示最近 邻离子间距，并令,，则上式可写为,式中，,为马德隆常数；,。对于一维离子晶体，,马德隆常数为,所以,式中的代定参量B可如下确定：因为平衡时，,故有,由(1)、(2)两式求得势能的变化,（2）,(3),于是(3)式可化简为,能量的变化应等于外力所作的功。因为晶体一共由2N 个离子，由上式可知，外力对每个离子所作的功就是,2.11 金刚石是共价键晶体，试求其键间夹角的大小。,解：金刚石中每个碳原子与其最近邻的碳原子构成一个正四面 体，原子间靠共价键结合，四面体键之间的夹角等于立方体体 对角线间的夹角。,式中，,是直角坐标系,则矢量,中的方向单位矢量。,2.12 实验测得Na
7、Cl的晶体密度=2.16g/cm3,试求NaCl晶体中离子 间的平衡间距R0.(已知Na的原子量为23,Cl的原子量为58.5),解:设晶体共有2N0个离子,晶体的体积,NaCl晶体,N0=6.0221023,与N0对应的质量应为,M=23+35.5=58.5(g),阿伏加德罗常数,解:,(1)面心立方,最近邻原子有12个,(1)只计及最近邻原子； (2)计及最近邻和次近邻原子。,和 为参数； 是参考原子i与其它任一原子j的距离rij同最近邻原子间距R的比值( )。试计算面心立方的A6和A12。,(2)计及最近邻和次近邻,次近邻有6个。,解：根据体积弹性模量K的定义，,得,，因而,即,于是,依
8、题给,所以,2.15 试用埃夫琴法求由正负一价离子相间构成的二维正方格 子的马德隆常数。,解：取如图所示单元，采用电 荷中性组法进行计算。注意到 所取单元边上的粒子仅1/2属于 单元，角上的离子仅1/4属于单元，容易验证，所取的单元恰 好是一个电荷中性组。,用R表示最近邻离子间的距离，,取中心的负离子为坐标原点，则其它离子的坐标为,，这里,。对图中各离子，列表如下：,为正负整数，该离子到原点,的距离,因此，所取单元中各离子与中心负离子的互作用势能,2.16 NaCl的体积弹性模量K为2.401011dyncm-2,计算在0.2Mbar (106bar=1012dyncm-2)下最近邻距离的变化分数(相对变化),假定K为恒量.,解:对于NaCl晶体,V=NR3(N为正负离子总个数),R为最近邻离子距离.,晶体中最近邻原子间的距离缩短了约24%.,2.17 采用雷纳德-琼斯势，求体心立方和面心立方Ne的结合能之比(说明Ne取面心立方结构比体心立方结构更稳定)。,已知(A12)f=12.13； (A6)f=14.45； (A12)b=9.11； (A6)b=12.25。,解:,Ne取面心立方结构比取体心立方结构更稳定。,
