1、1,第五章 梁的内力-剪力和弯矩,2,51 工程实际中的受弯杆 52 梁的内力剪力和弯矩 53 剪力图和弯矩图 54 荷载集度、剪力和弯矩间的关系 55 按叠加原理作剪力图和弯矩图,3,51工程实际中的受弯杆,一、弯曲的概念,1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。,2. 梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。,4,3. 工程实例,梁的实体图,5,6,7,动画链接,8,9,10,对称弯曲也称为 平面弯曲。,对称弯曲梁的每一个横截面至少有一根对称轴，这 些对称轴构成对称面。所有外力都作用在其对称面内时，梁弯曲变形后的轴线将是位于这个对称面内的一条曲
2、线，这种弯曲形式称为对称弯曲。,11,非对称弯曲 若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵对称面但外力并不作用在对称面内，这种弯曲则统称为非对称弯曲。下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。,12,(1)、构件本身的简化通常取梁的轴线来代替梁。,(2)、载荷简化作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型： 集中力、集中力偶和分布载荷。,均匀分布荷载,线性(非均匀)分布荷载,M,集中力,集中 力偶,5.梁的简化,13,固定铰支座如：桥梁下的固定支座。,(3)、支座简化,14,可动铰支座如：桥梁下的辊轴支座。,15,固定端如：跳水板的支座，电线杆下端的支座等。,16,6. 梁的分类
3、 按支座情况分,简支梁,17,悬臂梁,18,外伸梁,19,梁按支承反力的求解方法分：,超静定梁,静定梁,20,52 梁的内力 剪力和弯矩,一、梁的横截面上的内力计算,图示梁，求截面n-n上的内力,1.首先确定支反力RA、RB、XA（ XA =0）,2.然后使用截面法，假想在n-n处切开，并取脱离体。,判断n-n截面上有哪些内力分量？,?,弯矩：M,剪力：Q,21,剪力Q:使研究对象有顺时针方向转动趋势的剪力为正；反之为负。,弯矩M：使梁变成下凸上凹形的弯矩为正；使梁变成上凸下凹的弯矩为负。,Q(+),Q(),Q(),Q(+),M(+),M(+),M(),M(),二、剪力和弯矩的正负号规定,22
4、,例1.已知：如图，P，a，l。求：距A端x处截面上内力。,l,A,A,B,B,求外力,23,求内力截面法,A,Q,M,M,Q,C,C,24,例2.求图(a)所示梁1-1、22、3-3截面处的内力。,解：截面法求内力。 1-1截面处截取的分离体 如图（b）示。,图（a）,q,3,3,Q1,A,M1,图（b）,25,2-2截面处截取的分离体如图（c）,图（a）,Q2,B,M2,图（c）,3-3截面处截取的分离体如图（d）,Q3,B,M3,图（d）,qL,q,3,3,qL,结论：紧邻集中力作用的左、右截 面上，剪力发生突变，变化 值为集中力的大小；弯矩值 不发生变化。,26,作业：5-1(a),(
5、c),27,1. 内力方程：内力与截面位置坐标x间的函数关系式。,2. 剪力图和弯矩图：,53 剪力图与弯矩图,建立坐标系.剪力图纵坐标以向上为正；弯矩图纵坐标以向上为正，,28,3、作内力图步骤,a、取其中的一段梁在任意位置以假想截面截开,c、应用静力平衡方程得到剪力Q（x）和弯矩M（x）的表达式,b、取以左（或以右）为研究对象，在截面加上所求的剪力Q（x）和弯矩M（x）（方向假定为正方向）,29,悬臂梁受均布载荷作用。,试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：任选一截面x ，写出剪力和弯矩方程,依方程画出剪力图和弯矩图,由剪力图、弯矩图可见。最大剪力和弯矩分别为,4,例,30,例
6、 求图示梁的剪力图和弯矩图。,AC左,CB右,31,从图中不难看出：,在集中力P作用处，Q图有突变，且突变值等于P，M图有尖角,32,图示简支梁C点受集中力偶作用。,试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,RAM / l RB -M / l,2写出剪力和弯矩方程,AC,CB,3. 依方程画出剪力图和弯矩图。,例：,在集中力偶矩作用处，紧邻其左、右两侧截面的剪力相同，而弯矩发生突变，其突变值等于该力偶矩之值。,Q图,M图,33,例 求图示梁的剪力图和弯矩图。,AB段,BC段,34,剪力图：,弯矩图：,35,一、载荷集度、剪力、弯矩间的关系,对dx 段进行平衡分析，有：,q
7、(x),q(x),M(x)+d M(x),Q(x)+d Q(x),Q(x),M(x),dx,A,y,q(x)以向上为正,5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系,36,弯曲内力,q(x),M(x)+d M(x),Q(x)+d Q(x),Q(x),M(x),dx,A,y,荷载集度与剪力、弯矩的关系是：,略去二阶微量,37,总结,左式说明：剪力图在一处的斜率等于该处的分布力的数值,表示M图上某处的斜率等于该处剪力Q之值 。,表示M图上某处的斜率的变化率等于该处载荷集度q之值。,38,根据载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系，可判断图形的性质：,q0，Q=常数， 剪力图为直线； M(x) 为 x 的一次函数
8、，弯矩图为斜直线。,2.q常数，Q(x) 为 x 的一次函数，剪力图为斜直线；M(x) 为 x 的二次函数，弯矩图为抛物线。分布载荷向上（q 0），抛物线呈凹形；分布载荷向下（q 0），抛物线呈凸形。,3. 剪力Q=0处，弯矩取极值。,4. 集中力作用处，剪力图突变；集中力偶作用处，弯矩图突变,一. 区间上,二. 点上,39,二、微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：, 根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。, 应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值。, 建立Q一x和M一x坐标系，并将控制面上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。, 应用微分关系确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力
9、图与弯矩图。,40, 也可通过积分方法确定剪力、 弯矩图上控制截面处的数值。,41,因为函数不连续，所以不能用dx，dQ，dM，而用,由 ，得,由 ，得,附加说明：,上两式说明：在集中力P作用处，其左、右两侧面的弯矩相同，但剪力发生突变，其突变值等于该集中力之值。,从左到右，向上（下）集中力作用处，剪力图向上（下）突变，突变幅度为集中力的大小。弯矩图在该处为尖点。,42,由 ，得,上两式说明：在集中力偶矩作用处，其左、右两侧面的剪力相同，而弯矩发生突变，其突变值等于该力偶矩之值。,从左到右，顺（逆）时针集中力偶作用处，弯矩图向上（下）突变，突变幅度为集中力偶的大小。剪力图在该点没有变化。（适用
10、于正弯矩画在座标轴上侧的情况）,由,43,例 简支梁受力的大小和方向如图示。,试画出其剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,求得A、B 二处的约束力 RA0.89 kN , RB1.11 kN,根据力矩平衡方程,2确定控制面,在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。,44,3建立坐标系 建立 Qx 和 Mx 坐标系,5根据微分关系连图线,4应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩值，并将其标在 Q x和 Mx 坐标系中。,0.89 kN=,1.11 kN,45,解法2：1确定约束力,RA0.89 kN RB1.11 kN,2确定控制面为A、B 、
11、及 C、D两侧截面。,3从A截面右开始画剪力图。,46,4从A右侧截面开始画弯矩图。,从C左到C右,从A右到C左,从C右到D左,从D右到B左,C,D,B,A,A,C,D,B,47,例 试画出梁剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,根据梁的整体平衡，由,求得A、B 二处的约束力,2确定控制面,由于AB段上作用有连续分布载荷，故A、B两个截面为控制面;另外约束力RB右侧的截面，以及集中力qa左侧的截面，也都是控制面。,目录,48,3建立坐标系 建立Qx和Mx坐标系,4确定控制面上的剪力值，并将其标在Qx中。,5确定控制面上的弯矩值，并将其标在Mx中。,目录,49,解法2：1确定约束力,2确定控制面，
12、即A、B 两侧截面 、D截面。,3从A右测截面开始画剪力图。,目录,A,B,D,50,4求出剪力为零的点到A的距离。,B点的弯矩为（-1/27qa/47a/4）=qa2,AB段为上凸抛物线。且有极大值。该点的弯矩为1/29qa/49a/4=0+81qa2/32=81qa2/32,5从A截面左测开始画弯矩图,A,A,E,B,D,E,B,D,AB段为上凸抛物线。且有极大值。该点的弯矩为1/29qa/49a/4=0+81qa2/32=81qa2/32,51,例 试画出图示有中间铰梁的剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,从铰处将梁截开,目录,52,总结：剪力、弯矩图的特征,53,弯曲内力,简易作图法:
13、 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作 图的方法。,例4 用简易作图法画下图所示梁的内力图。,解: 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图。,特殊点: 端点、分区点（外力变化点）和 驻点等。,54,左端点：,分区点A：,M 的驻点：,右端点：,Q,x,x,M,55,按叠加原理作弯矩图,一、叠加原理： 多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。,适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。,56,弯曲内力,二、材料力学构件小变形、线性范围内必遵守此原理叠加方法,步骤：分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图
14、；将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）。,57,弯曲内力,例按叠加原理作弯矩图(AB=2a，力P作用在梁AB的中点处）。,q,P,P,=,+,A,A,A,B,B,B,=,+,58,弯曲内力,三、对称性与反对称性的应用： 对称结构在对称载荷作用下，Q图反对称，M图对称；对称结构在反对称载荷作用下，Q图对称，M图反对称。,59,弯曲内力,例 作下列图示梁的内力图。,P,PL,PL,0.5P,0.5P,0.5P,0.5P,P,0,0.5P,0.5P,0.5P,P,60,弯曲内力,P,PL,PL,0.5P,0.5P,0.5P,0.5P,P,0,M,x,M1,x,M2,x,0.5PL,P
15、L,0.5PL,0.5PL,61,弯曲内力,例 改内力图之错。,a,2a,a,q,qa2,A,B,Q,x,x,M,qa/4,qa/4,3qa/4,7qa/4,qa2/4,49qa2/32,3qa2/2,5qa2/4,62,弯曲内力,例 已知Q图，求外载及M图（梁上无集中力偶）。,Q(kN),x,1m,1m,2m,2,3,1,5kN,1kN,q=2kN/m,M(kNm),x,1,1,1.25,63,弯曲内力,56 刚架和曲杆的内力图,一、平面刚架,1. 平面刚架：同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连接而组成的结构。特点：刚架各杆的内力有：Q、M、N。,2. 内力图规定：弯矩图：画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号。剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架的外侧），但须注明正、负号。,64,弯曲内力,例 试作图示刚架的内力图。,P1,P2,a,l,A,B,C,N 图,Q 图,M 图,P1a+ P2 l,65,弯曲内力,二、曲杆：轴线为曲线的杆件。内力情况及绘制方法与平面刚架相同。,例 已知：如图所示，P及R 。试绘制Q、M、N 图。,P,解：建立极坐标，O为极点，OB极轴，q表示截面mm的位置。,A,B,66,弯曲内力,P,A,B,M图,Q图,N图,2PR,P,P,
