1、弹性力学的平面问题,要点, 建立平面问题的基本方程,包括：平衡微分方程；几何方程；物理方程；边界条件的描述等,一 平面应力问题与平面应变问题,1. 平面应力问题,(1) 几何特征,一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。, 平板,如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等,(2) 受力特征,外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿 z 方向不变化。,(3) 应力特征,如图选取坐标系，以板的中面为xy 平面，垂直于中面的任一直线为 z 轴。,由于板面上不受力，有,因板很薄，且外力沿 z 轴方向不变。,可认为整个薄板的各点都有：,由剪应力互等定理，有,结论：,平面应力问题只有三个应力分量：,应
2、变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与 z 无关。,2. 平面应变问题,(1) 几何特征,水坝,滚柱,厚壁圆筒,一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。, 近似认为无限长,(2) 外力特征,外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度 z 方向不变化。,约束 沿长度 z 方向不变化。,(3) 变形特征,如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线为 z 轴。,设 z方向为无限长，则,沿 z 方向都不变化，,仅为 x，y 的函数。,任一横截面均可视为对称面,水坝,因为任一横截面均可视为对称面，则有,所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面。, 平面位移
3、问题, 平面应变问题,注：,(1)平面应变问题中,但是，,(2)平面应变问题中应力分量：, 仅为 x y 的函数。,可近似为平面应变问题的例子：,煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。,如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？,平面应力问题,平面应变问题,非平面问题,平面应力问题,平面应变问题,非平面问题,3. 平面问题的求解,问题：,已知：外力（体力、面力）、边界条件，,求：, 仅为 x y 的函数,需建立三个方面的关系：,（1）静力学关系：,（2）几何学关系：,（3）物理学关系：,形变与应力间的关系。,应力与体力、面力间的关系；,形变与位移间的关系；,建立
4、边界条件：, 平衡微分方程, 几何方程, 物理方程,（1）应力边界条件；,（2）位移边界条件；,二 平面问题基本方程,平面问题的平衡微分方程：,（2）,说明：,（1）两个平衡微分方程，三个未知量：, 超静定问题，需找补充方程才能求解。,（2）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用；,（3）平衡方程中不含E、v，方程与材料性质无关（钢、石料、混凝土等）；,（4）平衡方程对整个弹性体内都满足，包括边界。, 平面问题的应力边界条件,斜面上的应力,几何方程,说明：,（1）,反映任一点的位移与该点应变间的关系，是弹性力学的基本方程之一。,（2）,当 u、v
5、 已知，则 可完全确定；反之，已知 ，不能确定u、v。,（积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）,（3）, 以两线段夹角减小为正，增大为负。,2. 刚体位移,物体无变形，只有刚体位移。 即：,(a),(b),(c),由(a)、(b)可求得：,(d),将(d)代入(c)，得：,或写成：,上式中，左边仅为 y 的函数，右边仅 x 的函数，两边只能等于同一常数，即,(d),积分(e) ，得：,(e),其中，u0、v0为积分常数。 （x、y方向的刚体位移），代入（d）得:,(10), 刚体位移表达式,讨论：,（1）,仅有x方向平移。,（2）,仅有y方向平移。,（3）,r,说明：, P点沿切向绕O点转
6、动, 绕O点转过的角度（刚性转动）,物理方程,建立：平面问题中应力与应变的关系,物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。,1. 各向同性弹性体的物理方程,在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料力学中的广义虎克（Hooke）定律。,（13）,其中：E为拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；v为侧向收缩系数，又称泊松比。,（1）平面应力问题的物理方程,由于平面应力问题中,（15）, 平面应力问题的物理方程,注：,(1),(2), 物理方程的另一形式,（2）平面应变问题的物理方程,由于平面应变问题中,（16）, 平面应变问题的物理方程,注：,(2),平面应变问题 物理方程的另一形式：,由式（1
7、3）第三式，得,？,（3）两类平面问题物理方程的转换：,（16）, 平面应变问题的物理方程,(1),平面应力问题,平面应变问题,材料常数的转换为：,(2),平面应变问题,平面应力问题,材料常数的转换为：,边界条件,1. 弹性力学平面问题的基本方程,（1）平衡方程：,（2）,（2）几何方程：,（9）,（3）物理方程：,未知量数：,8个,方程数：,8个,结论：,在适当的边界条件下，上述8个方程可解。,2. 边界条件及其分类,边界条件：,建立边界上的物理量与内部物理量间的关系。,是力学计算模型建立的重要环节。,边界分类,（1）位移边界,（2）应力边界,（3）混合边界, 三类边界,（1）位移边界条件,
8、位移分量已知的边界 位移边界,用us 、 vs表示边界上的位移分量， 表示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为：,（17）, 平面问题的位移边界条件,说明：,称为固定位移边界。,（2）应力边界条件,给定面力分量 边界 应力边界,由前面斜面的应力分析，得,式中取：,得到：,（18）,式中：,l、m 为边界外法线关于 x、y 轴的方向余弦。如：, 平面问题的应力边界条件,垂直 x 轴的边界：,垂直 y 轴的边界：,例1,如图所示，试写出其边界条件。,q,(1),(2),(3),(4),说明：,x = 0 的边界条件，是有矛盾的。由此只能求出结果：,内容回顾：,1.,两类平面问题：,平面
9、应力问题,平面应变问题,几何特征;,受力特征;,应力特征。,几何特征;,受力特征;,应变特征。,水坝,滚柱,位移边界条件,2.,平面问题的基本方程：,（1）平衡方程：,（2）,（2）几何方程：,（9）,（3）物理方程：,（4）边界条件：,1）,2）,应力边界条件,平面应力问题,例2,如图所示，试写出其边界条件。,(1),AB段（y = 0）：,代入边界条件公式，有,(2),BC段（x = l）：,(3),AC段（y =x tan ）:,例3,图示水坝，试写出其边界条件。,左侧面：,由应力边界条件公式，有,右侧面：,例4,图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点A处无应力存在
10、。,解：, 平面应力问题，在 AC、AB 边界上无面力作用。即,AB 边界：,由应力边界条件公式，有,（1）,AC 边界：,代入应力边界条件公式，有,（2）,A 点同处于 AB 和 AC 的边界，满足式（1）和（2），解得, A 点处无应力作用,例5,图示楔形体，试写出其边界条件。,图示构件，试写出其边界条件。,例6,例5,图示楔形体，试写出其边界条件。,上侧：,下侧：,图示构件，试写出其应力边界条件。,例6,上侧：,下侧：,（3）混合边界条件,(1),物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。,(2),物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另一为应力边界条件。如：,图(a)：, 位移边界条件, 应力边界条件,图(b)：, 位移边界条件, 应力边界条件,平面问题的基本方程,1. 平衡微分方程,（2）,2. 几何方程,（9）,3. 物理方程,（平面应力问题）,（15）,4. 边界条件,位移：,（17）,应力：,（18）,
