1、第二类曲面积分,一、基本概念,观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的),曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面分上侧和下侧,曲面分左侧和右侧,莫比乌斯带,并作曲面的法线,该法线有两个可能的方向,选定其中一个方向,如果,(不跨越,曲面的边界),相应的法向量的,方向与原方向相同,如果相应的法向量的方向与原方向相反,是一个单侧曲面.,就称,通常我们遇到的曲面都是双侧的,如球面、,旋转,抛物面、,马鞍面等.,但是单侧曲面也是存在的,所,1、曲面侧的概念,谓的莫比乌斯带就是一个典型的单侧曲面的例子.,典型双侧曲面, 曲面分类,双侧曲面,单侧曲面,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,播放,莫比乌斯带,典型单侧曲面
2、:,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,今后我们总假定所考虑的曲面是双侧的.,对于双,侧曲面,我们可通过选定曲面上的一个法向量来,规定曲面的侧.,反之,我们也可通过选定曲面的侧来规定曲面上,各点处的法向量的指向.,2
3、、有向曲面的概念（曲面的定侧）,例如 由方程zz(x y)表示的曲面为双侧曲面，可分为上侧与下侧,设 为曲面上 的法向量，则当cos0时 n所指向的 一侧是上侧,同理 当cos0时 n所指向的一侧就是 下侧,如果取定曲面的上侧，我们就认为它的法向量指向被取定。,曲面的侧确定与它的法向量有何关系呢？,其方向用法向量指向表示。,方向余弦, 0 为前侧 0 为后侧,封闭曲面, 0 为右侧 0 为左侧, 0 为上侧 0 为下侧,外侧 内侧,侧的规定,指定了侧的曲面叫有向曲面,类似地 如果曲面的方程为yy(z x) 则曲面分为左侧与右侧。当cos0时，法向量指向的一侧是曲面的右侧当cos0时，法向量指向
4、的一侧是曲面的左侧 如果曲面的方程为xx(y z) 则曲面分为前侧与后侧。当cos0时，法向量指向的一侧是曲面的前侧当cos0时，法向量指向的一侧是曲面的后侧,3、曲面在坐标面上的投影,在有向曲面上取一小块曲面S 用()xy表示S在xOy面上的投影区域的面积 假定S上各点处的法向量与z轴的夹角的余弦cos有相同的符号(即cos都是正的或都是负的),类似地,二、第二类曲面积分的概念与性质,1、实例: 流向平面一侧的流量.,2、第二类曲面积分的概念与性质,定义,其上任一点,处的单位法向量,又设,则有函数,它在,上的第一类曲面积分,，称为函数,在有向曲面,上的第二类曲面积分.,于是,第二类曲面积分可
5、写成如下形式:,(1),有向曲面元,常将其记为,它在三个坐标在上的,投影分别记为,这种形式的第二类曲面积分又称为对坐标的曲面,积分.,第二类曲面积分在实际应用中常出现的形式是,注:,(1),式给出了两类曲面积分之间的联系.,其中,为负,甚至为零,它们都要改,变符号,与二重积分的面积微分元,总取正值,是有区别的.,要注意到,可能为正也可能,这里的,（1）、存在条件:,（2）、物理意义:,（3）第二类曲面积分与有向曲面,的法向量的指向有,关。,则积分要改,变符号,即,（4）第二类曲面积分也有与二重积分类似的性质.,如,积分的可加性等.,三、第二类曲面积分的计算,其它情,形依此类推.,设光滑曲面,多
6、交于一点,则,由,有,-化为二重积分,钝角而定.,有,同理,则有,则有,有,注:,积分曲面更复杂的情形可分片计算之.,有,(前正后负),(右正左负),(上正下负),小结：,第二类曲面积分的计算应注意的问题:,(3)曲面S取哪一侧；,(2)向哪个坐标面投影；,(1)曲面S用什么方程表示；,(4)积分前取什么符号。,方体的整个表面的外侧 (x y z)|0xa 0yb 0zc,把的上下面分别记为1和2 前后面分别记为3和4 左右面分别记为5和6,解,除3、4外 其余四片曲面在yOz 面上的投影为零 因此,方体的整个表面的外侧 (x y z)|0xa 0yb 0zc,把的上下面分别记为1和2 前后面
7、分别记为3和4 左右面分别记为5和6,解,除3、4外 其余四片曲面在yOz 面上的投影为零 因此,a2bc,同理可得,于是所求曲面积分为(abc)abc,解,解,练习：,计算曲面积分,其中,是平面,所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧 .,解,同理，,计算曲面积分,所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧 .,解,原式,原式,解: 利用两类曲面积分的联系, 有,不同的单一型积分化成相同的单一型积分方法,其他情况类似。,内容小结,1. 第二类曲面积分的概念,第二类曲面积分为,内容小结,1. 第二类曲面积分的概念,的指向有关 .,物理意义 :,2. 第二类曲面积分的计算,投影区域为,则,内容小结,1. 第二类曲面积分的概念,2. 第二类曲面积分的计算,投影区域为,则,钝角而定 .,(前正后负),(右正左负),(上正下负),不同的单一型积分化成相同的单一型积分方法,其他情况类似。,
