1、辽宁省朝阳市普通高中 2018 年高三第一次模拟考试数学试题（理）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合 ， ，则集合 不可能是（ ）|0AyABA B C|x， 1|()2Rxy， |lg0yx，D 2.设复数 满足 （ 是虚数单位） ，则 等于（ ）z(1i)3iz|zA B C D221223.按照程序框图（如图所示）执行，第 个输出的数是（ ）3A B C D65434.已知数列 的通项公式 ，若使此数列的前 项和 最大，则 的值na26nannS为（ ）A B C. 或 D121313145.九
2、章算术是我国古代内容即为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍凳，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽 丈，长 丈，上棱长 丈，高 丈，问：它的体积是342多少？”已知 丈为 尺，该锲体的三视图如图所示，在该锲体的体积为（ ）10A 立方尺 B 立方尺1010C. 立方尺 D 立方尺236.将函数 的图象向右平移 个单位长度后，再将所得图象上各点的纵坐3sin(2)yx标不变，横坐标压缩到原来的 倍，最终所得图象对应的函数的最小正周期为（ ）1A B C. D625627.设中心在原点、焦点在 轴上的双曲线的焦距为 ，圆
3、与该双曲线x12(6)0xy的渐近线相切，点 在双曲线上，若点 到焦点 的距离是 ，则点 到 的距离PPF9P2F是（ ）A 或 B 或 C. D1713513178.一个含有 项的等比数列，其中每一项都是小于 的正整数，这 项的和为 ，50512如果 是数列中奇数项之和，则 等于（ ）SSA B C. D90918129.某地流行一种游戏，如图一是一长方形纸盒，高为 ，宽为 ，纸盒底部是一个“心形”43图案，如图二所示， “心形”图案是由上边界 （虚线 上方部分）与下边界 （虚线1CL2C下方部分）围成，曲线 是函数 的图象，曲线 是函数L1425yx2的图象，游戏者只需向纸盒内随机投掷一颗
4、瓜子，若瓜子落在“心形”271yx图案内部即可获奖，则一次游戏获奖的概率为（ ）A B C. D16271-2471-2724+13510.从 名男同学和 名女同学中选 人去参加一个会议，规定男女同学至少各有 人参加，030 1下面是不同的选法种数的三个算式： ； ； .120348C4450230-C1323120020+C则其中正确算式的个数是（ ）A B C. D111.已知定义在 上的奇函数 可导，设其导函数为 ，当 时，恒有R()fx()fx(0)内，令 ，则满足 的实数 的取值范围是（ ）()xffx()F(3)21FA B C. D21内 12内内12内12.在 中， 为 的重心
5、，过 点的直线分别交 ， 于 ， 两点，且C GAC GABCPQ， ，则 的最小值（ ）APhBQk1625hkA B C. D27841二、填空题：每题 5 分，满分 20 分.13.设变量 、 满足约束条件 ，则 最大值是xy21xy2zxy14.抛物线 ： （ ）的准线与 轴的交点为 ，过点 作 的两条切线，切C2px0MC点分别为 ， ，则 PQM15.矩形 中， ， ， 平面 ， ， ， 分别是 ，ABD42BCPABCD2PAEFAB的中点，则四棱锥 的外接球表面积为CEF16.函数 在区间 （ ）上有且仅有一个零点，则1()sin(cos)2fxx()a内01a实数 的取值范围
6、是a三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在 中，已知 ， .ABC 454cos5B（1）求 的值；（2）若 ， 为 的中点，求 的长.cos10CDACD18. 在如图所示的几何体 中，平面 平面 ，四边形 和四边形ABCDEFABCDEFABCD都是正方形，且边长为 ， 是 的中点.ABEF2Q（1）求证：直线 平面 ；（2）求二面角 的大小.AE FQCAFCB19. 为了调查学生数学学习的质量情况，某校从高二年级学生（其中男生与女生的人数之比为 ）中，采用分层抽样的方法抽取 名学生依期中考试的数学成绩进行统计.根据数9:1n学
7、的分数取得了这 名同学的数据，按照以下区间分为八组：n ， ， ， ， ， ，3045)内60)内75)内90)内105)内120)内，12135得到频率分布直方图如图所示.已知抽取的学生中数学成绩少于 分的人数为 人.605（1）求 的值及频率分布直方图中第组矩形条的高度；n（2）如果把“学生数学成绩不低于 分”作为是否达标的标准，对抽取的 名学生，完90 n成下列 列联表：据此资料，你是否认为“学生性别”与“数学成绩达标与否”有关？（3）若从该校的高二年级学生中随机抽取 人，记这 人中成绩不低于 分的学生人数3120为 ，求 的分布列、数学期望和方差X附 1：“ 列联表 ”的卡方统计量公式
8、：2abcd 22()()abcdabcK附 2：卡方（ ）统计量的概率分布表：2K2()0.5.10.384682Pk 20. 已知椭圆 ： （ ）的左右焦点分别为 ， 且 关于直线C21xyab0a1F2的对称点 在直线 上.0xyM32xy（1）求椭圆的离心率；（2）若过焦点 垂直 轴的直线被椭圆截得的弦长为 ，斜率为 的直线 交椭圆于 ，2Fx312lA两点，问是否存在定点 ，使得 ， 的斜率之和为定值？若存在，求出所有满足条BPAPB件的 点坐标；若不存在，说明理由.P21. 已知函数 （常数 ）.2211()ln4fxaxax0（1）讨论 的单调性；（2）设 是 的导函数，求证：
9、.f ()ff 3()4elnxfa请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 的极xOyx C坐标方程为 ，直线 的参数方程为 为参数，直线 和圆 交于2sin()4l1tyl， 两点.AB（1）求圆 的直角坐标方程；（2）设 上一定点 ，求 的值.Cl(0)M内AB23.已知函数 ，且 的解集为()3fxm()0fx(24)内（1）求 的值；（2）若 ，使得 成立，求实数 的取值范围.Rx()2fxtt【参考答案】一、选择题1-5:CABCA 6-10:BDBCC 11-12：DA二、
10、填空题13. 14. 15. 16.1024159()(848内三、解答题17.解：（1） ，且 ， cos5B(018)， 23sincos5Bcos(80)cs3CA 2435sin15 210（2）由（1）可得 227icos()B由正弦定理得 ，即 ，解得 .siniBCA102A14B在 中， ， ，所以 D 72703537CD18.证明：（1）且 ，AFBE DC与 交于点 ， 与 交于点AF平面 平面 ，几何体 是三棱柱 CAFBE又平面 平面 ， ， 平面 ，ABCDEFABCBCE故几何体 是直三棱柱（1）四边形 和四边形 都是正方形，所以 且 ，ABCDABEFEFABD
11、C EFABC所以四边形 为矩形；EF于是，连结 交 于 ，连结 ， 是 中点，又PQPDQ是 的中点，故 是边 的中位线， ，ADAAE注意到 在平面 外， 在平面 内，直线 平面EFCFC FC（2）由于平面 平面 ， ， 平面 ，所以 .BEBABEBE于是 ， ， 两两垂直.以 ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直AAxyz角坐标系，因正方形边长为 ，且 为 中点，所以 ， ， ，2QD(210)Q内(2)F内(02)C内，(0)B内于是 ， ，设平面 的法向量为(0)C内(20)BF内BC()mxyz内则 ，解之得 ，同理可得平面 的法向量 ，mBF(1)m内 AF(10)n
12、内 1cos2n内记二面角 的大小为 ，依题意知， 为锐角， ，CA1cos23即求二面角 的大小为BF319. 解：（1） “成绩少于 分”的频率6051()510037nn的高度 7590)内内15301515( )07603/2 （2）按照“男生”和“女生”分层抽样在容量为 的样本中， “男生”人数 ， “女生”人数10910451059“达标”即“成绩不低于 分”的频数901()7630据此可填表如下： 达 标 未 达 标 合 计男 生 30 15 45女 生 45 10 55合 计 75 25 100据表可得卡方统计量22(31045)1073K.3.841故有不足 的把握认为“学生
13、性别”与“数学成绩达标与否”有关9%可以认为它们之间没有关联（3） “成绩不低于 分”的频率12011()503因高二年级的学生数远超过样本容量,故从该年级抽取任意 人的概率都可认为是15从而 (3)5XB内则 ，031462P1248()()5PX，21()()530故 的分布列为：X01648255P数学期望 3()E方差 12)55DX20. 解：（1）依题知 ，设 ，则 且 ，2(0)Fc内0()Mxy内01xc002xcya解得 ，即0xayc()a内 在直线 上， ， ，M320y32()0ac2c12ea（2）由（1）及题设得： 且 ， ， ，椭圆方程为12ca3b2a3b214
14、3xy设直线 方程为 ，代入椭圆方程消去 整理得 .lyxty20xt依题 ，即024t设 ， ，则 ，1()Axy内2()Bxy内12xt213xt如果存在 使得 为定值，那么 的取值将与 无关PmnPABkPABkt，令12PABykx223()3nmtn22()3mtnM则 为关于 的恒等式23() 0MttM(4)t ，解得 或023nm12n3综上可知，满足条件的定点 是存在的，坐标为 及P3(1)2内()内21. 解：（1） （ ， ）()lnfxax0a画出 （ ）及 （ ）的图象，它们的零点分别为 和ya0ly a1当 时， 在 ， ，01()fx)a内(1)内()内当 时， 在af当 时， 在 ， ，1()fx01)内()a内()内（2）因 lnllnfax要证 ，需证 （ ）3()4elxf3l4ex0法 1.即证 （ ）2ln0设 （ ） ， （ ）l()xF32e()xG0一方面 （ ） 在 ，21ln 0()Fe)内()内则 ()ex另一方面， （ ） 在 ，34()e)xG 0()Gx02)内()内
