1、 1 第三章 稳恒电流场的边值问题 3-1 在电导率为 的均匀半空间表面布以相距 2L 的电极 A 和 B ，并分别以 I 和 I向媒质中供电。试根据电场的叠加原理，求出 A 和 B 两个点电流源在表面上 M 点形成的电位。 解： 易知点电流源 A 在介质中任意一点产生的电位为 2A I R ， 同理可得点电流源B 在介质中任意一点产生的电位为 2B I R ， 则叠加后介质中任意一点的总电位为 22ABIIRR 对于表面上一点 M（设其坐标为 (0)x, ）而言， |AR x L ， |BR x L ，则有 22| | | |2 | | 2 | | 2 | |I I I x L x Lx L
2、 x L x L 3-2 当地表水平、地下为均匀各向同性岩石时，在地层表面布以相距 2L 的电极 A 和B ，并分别以电流强度 I 和 I 向地下供电，在地下建立稳定电流场。试解答如下问题：（ 1）求 A 和 B 连线中垂线上 h 处电流密度 hj 的表达式；（ 2）计算并绘图说明深度为 h 处的电流密度 hj 随 AB 的变化规律；（ 3）确定使 hj 为最大时，供电电极距 AB 与 h 的关系式。 解： （ 1）易知点电流源 A 在介质中任意一点产生的电位为 2A I R ，则 31( ) ( ) ( ) =22A IIE RR Rj同理可得点电流源 B 在介质中任意一点产生的电流密度为3
3、2B I R Rj， 叠加后得介质中任意一点的电流密度为 3322ABIIRRj在 A、 B 连线的中垂线上， ABR=R ， AB=2L R R e ，则有 33 22 222 ()I I LLR Lh j e e（ 2） （ 3）设 322 2( ) ( )f L L L h ，对其求导可得 35 2 2 2 2 222( ) ( ) 3 ( )f L L h L L h 2 令其等于 0，得 2 2 230L h L ，解得 12Lh故 hj 为最大时电极距 AB 与 h 的关系为 12 2 22AB L h h 3-3 在习题 3-2 中，电极距 2AB h 时，均匀各向同性半空间中
4、h 深度处的电流密度最大。如果在 h 深度以下存在高阻或低阻岩层，在这种层状介质空间中，为保持 h 深度电流密度不变， AB 将如何变化？为什么？ 3-4 如习题 3-4 图所示，在三层均匀地层表面布以相距为 2L 的电极 A 和 B ，并分别以 I 和 I 向地层媒质中供电。试求出在地表 M 点和 N 点之间形成的电位差 MN ，并讨论（ 1） MN 与 1Z 和 2Z 的关系；（ 2） MN 与 1 和 2 的关系。 0Z2Z1Z2 LMLI IB M N123NLA习题 3-4 图 解： 由题意知 1 3 1u Au s，其中 12A PP 对矩阵 1P 有 1211 22 12PP ，
5、12121212zPe ， 12122112zPe 对矩阵 2P 有 2311 22 22PP ，22231222zPe ， 22232122zPe 则 由 12A PP 计算后可得 122 ( )2 3 2 311 12( ) ( ) ( ) ( )= 4zzeA 1 2 1 2 21222 3 2 312 12( ) ( ) ( ) ( )= 4zzeeA 1 2 1 22 3 2 32112( ) ( ) ( ) ( )= 4A 1 2 1 2 212 ( )2 3 2 322 12( ) ( ) ( ) ( )= 4zzeA 1 2 1 2 3 设 12112k ， 23223k ，则
6、 有 121 2 1 2221211 2 ( ) 2 21 2 1 21zzz z z zk e k eBA k k e k e k e 则点电源在地表任意一点的电位为 0 1 0 1 0110 0 0( , 0 ) ( ) 2 ( ) 1 2 ( ) 22IIJ d A J d A J d 所以 M 点的电位为 101 0101 0 1 2 ( ) ( ) 2 ( ) 1 2 ( ) ( ) 2 ( )m A BMMMMMMI L L A J L L dLLI L L A J L L dLL 同理可得 N 点电位为 101 0101 0 1 2( ) ( ) 2 ( ) 1 2( ) ( )
7、 2 ( )N N NNNNNI L L A J L L dLLI L L A J L L dLL 所以 M 点和 N 点之间形成的电位差 MN M N （ 1） （ 2） 3-5 （ 1）设在均匀各向同性无限大导电岩石中有一半径为 a 的球形矿体，围岩电导率为 1 （电阻率为 1 ），球体电导率为 2 （电阻率为 2 ），导电岩石中流着均匀电流场，其电流密度为 0J ，如习题 3-5(a)图所示。求稳恒时的电位分布与电流分布。 （ 2）由于地面电法勘探的供电和测量均在地面进行 ,如习题 3-5(b)图所示，球心距地面距离为 0h 。求地下空间电流分布及地面电位分布。 (a)全空间均匀电流场中
8、的导电球体 (b)半空间均匀电流场中的导电球体 习题 3-5 图 4 解： （ a） 有球体存在时，球内球外电位有两部分电位（正常电位和异常电位）叠加而成。这里将叠加后得电位称为一次场电位，而将异常部分称为一次场异常电位，并表示为 (2) (2)1 0 1aU U U (1) (1)1 0 1aU U U 其中 0U 为均匀电流场的电位， (2)1aU 为球内一次场的异常电位， (1)1aU 为球外一次场的异常电位。 取球心电位为零，可以写出均匀电流场的正常电位解为 0 0 1 cosU j r 。 易知球内外的电位具有轴对称性即与 无关，于是满足以下形式的拉普拉斯方程 2 1( ) ( si
9、 n ) 0si nuUrrr 采用分离变量法求解 ，并结合球内球外电位有限的条件可得得其通解形式为 ( 2 )10( , ) ( c os )na n nnU r A r P ( 1 ) ( 1 )10( , ) (c os )na n nnU r B r P 于是球内 与球外一次电位的一般解为 ( 2 )1 0 10c os ( c os )nnnnU j r A r P ( 1 ) ( 1 )1 0 10c os (c os )nnnnU j r B r P 根据球体与围岩的分界面上电位连续的边界条件可得 ( 1 )0 1 0 0 0 1 0 000c os ( c os ) c os
10、( c os )nnn n n nnnj r A r P j r B r P 根据球体与围岩的分界面上电流密度法线分量的连续性边界条件可得 00( 1 ) ( 2 )111211|r r r rUUrr 即 ( 2 ) ( 1 )1 0 0 1 0 0001 1 2 21 1 1 1c os ( 1 ) ( c os ) c os ( c os )nnn n n nnnj n B r P j nA r P 联立以上二式解得 211 0 1212Aj 3211 0 1 0212B j r 0( 1)nnA B n 所以球内与球外的一次电位表达式为： 5 ( 2 ) 211 0 1211 c os
11、2U j r ( 1 ) 30211 0 1211 ( ) c os2rU j rr 由公式 ()A E j 即可求得空间的电流分布。 (b)地面的影响可以用一个镜像球体代替，如球心深度相对球体半径较大，即球体埋藏较深时可以忽略球体与地面以上镜像的相互作用。这时采用将球外 (1)1U 表达式的异常部分加倍的方法可以求得 地下 一次电位的一级近似解答。 30211 0 1211 2 ( ) c os2rU j rr （ 1） 由公式 ()A E j 即可求得地下空间的电流分布。 若以球心在地面投影点 o 为原点， z 轴垂直向下。地面观察点坐标为 ( 0)M x y， ， ，球心坐标为 0(0
12、0 )h， ， ，于是 2 2 20r x y h ，2 2 20c o sxx y h 代入式（ 1）中即可得到地面的电位分布。 3-6 球面偶电层产生的电流场。如习题 3-6 图所示，有一半径为 a ，电导率为 2 的均匀球形矿体，位于电导率为 1 的无限均匀媒质中。设矿体处于氧化与还原的环境之中，因而在球面上产生一偶电层，其电 位跃变为 0 cos 其中 0 为球面电位的最大跃变值， 为极轴 Oz 和球心至观测点 P 的矢径之间的夹角。求此球面偶电层在球内外所产生的电位分布。 习题 3-6 图 解 ： 用分离变量法求解。设球外电势为 1 ，球内电势为 2 ，因 1 和 2 均满足拉普拉斯
13、方程，且具有轴对称性，故 1 和 2 仅为 、r 的函数，与方位角 无关，其通解为 6 10 ( ) ( c os )n nnnnn BA r Pr定解过程如下： r 时， 1 0 ，故 1 中无 nr 项，即 110 (co s )n nnn B Pr 0r 时， 2 有限，故 2 中无 )1(nr 项，即 20 (c o s )nnnn A r P 球面两侧电势跃变 1 2 0( ) c o sra uu ， 则有 c o s)( c o s)( 00 1 uPaAaBn nnnn n 球面两侧 nJ 连续，即 2121r a r arr， 则有 0 210 12 )( c o s)1()
14、( c o s n nn nn nnn Pa BnPanA 比较以上两式两端的 )(cosnP 系数，当 1n 时，得到 0121 uaAaB ， 31112 2 aBA 联立求解以上两式，得 auA 012 11 22 ， 0212 21 2 uaB 当 1n 时， 0 nn BA 。 将所求出的各系数代入通解，得 221021 ( ) c os2a ur 120212 ( ) c os2 r ua 3-7 球形矿体在点电源中的场如习题 3-7 图所示，在电导率为 2 的无限大均匀媒质中有一半径为 a 、电导率为 1 的均匀球形矿体，在距球心为 d 的 A 点处有一点电流源，其电流强度为 I
15、 ，并取 A 在 oz 轴上。（ 1）求球内和球外的电位分布；（ 2）设球形矿体和点电源均在地表下，求地表下的电位分布。 7 习题 3-7 图 解： 易知球内和球外一次场的电位 由两部分组成 (2) (2)1 0 1aU U U (1) (1)1 0 1aU U U 其中 0U 为均匀电流场的电位， (2)1aU 为球内一次场的异常电位， (1)1aU 为球外一次场的异常电位，且 10 4IU R。 易知球内外的电位具有轴对称性即与 无关，于是满足以下形式的拉普拉斯方程 2 1( ) ( si n ) 0si nuUrrr 采用分离变量法求解，并结合球内球外电位有限的条件可得得其通解形式为 (
16、 2 )10( , ) ( c os )na n nnU r A r P ( 1 ) ( 1 )10( , ) (c os )na n nnU r B r P 将 1R 用展开，得球内与球外一次电位的一般解为 ( 2 )1 10 ( c os )n nnnnn rU q A r Pd ( 1 ) ( 1 )1 10 ( c o s )n nnnnn rU q B r Pd 根据球体与围岩分解面上电位连续的边界条件，可得 ( 1 )00001100 ( c o s ) ( c o s )nnnnn n n nnnrrq A r P q B r Pdd 根据电流密度的法线分量在球体与围岩分界面上连
17、续的边界条件可得 111 ( 2 )00002111 ( c o s ) ( 1 ) ( c o s )nnnnn n n nn r n rq n A r P q n B r Pdd 联立以上二式解得 21 112() 1( 1 )n nnAq n n d 8 21021112()( 1 )nn nrnBq n n d 所以球内和球外一次场的电位表达式为： ( 2 ) 1 2 11 10 12()1 ( c o s ) 4 ( 1 ) n nnnIn rUPR n n d 21(1) 01 2 11 110 12()1 ( c o s ) 4 ( 1 )nnnnn rInR n n d r （
18、 2）采用异常电位加倍的近似方法，又供电电源 A 位于地面，电源是以 2 的立体角流出，故电位公式前的 14I 应改为 12I 。此时球外一次场的电位表达式为 2101 2 11 110 12()1 2 ( c o s ) 2 ( 1 )nnnnn rInUPR n n d r 3-8 设电流强度为 I 的点源 A 位于垂直分界面左边岩石的地面上， A 与分界面的距离为 d ，左边岩 石电导率为 1 （电阻率为 1 ），右边岩石电导率为 2 （电阻率为 2 ），如习题 3-8 图所示。求地表面上电位分布与地下电流场的分布。 习题 3-8 图 解： 采用镜像法。 为了满足电场分布的边界条件，当求
19、与电源 A 位于同一岩石中 1M 点的点位时，应将 2岩石对地中电流场的作用用一个与 A 相对分界面为镜像对称的 “虚电源 ” 1A 来代替， 1A 的电流为 1I 。做了如上处理后此时地下半空间相当于充满了电阻率为 1 的均匀岩石。于是 1M 点的电位为两个点电源产生的电位之和 1 1 11122IIU rr 其中 r 和 1r 为 1M 点与 A 和 1A 点距离之和。 而当求无电源存在的 2 岩石中 2M 点之电位时，则 1 岩石对地中电流场的作用也可以用一个 “虚电 源 ”来代替。但此时该 “虚电源 ”的位置将与实电源 A 重合；我们将重合后的这个电源叫 2A ，其点电流为 2I 。此
20、时地下半空间又相当于充满了电阻率为 2 的单一岩石，于是2M 点的电位为 9 22222IU r 其中 2r 为 2M 点与 2A 点之距离。 根据分界面上电位连续的条件可以得到 1 1 1 2 2122 2 2I I Ir r r ， 因在分界面上 12r r r，所以上式简化为 1 1 2 2()I I I （ 1） 根据分界面上电流密度法线分量连续的条件可得 1 1 1 1 2 2 22111112 2 2I I r I rrx x x 化简后得 12I I I （ 2） 联立（ 1）（ 2）两式可以解得 211 1221I I K I . 212 12211 (1 )I I K I 所
21、以两区域中电位为 1 12111()2IKU rr 2 122212IKU r 3-9 如习题 3-9 图所示，在地层表面 O 点有一电流 强度为 I 的点电流源， 1 和 3 分别为顶层和底层各向同性媒质的电导率。 2h 和 2v 分别为均匀各向异性夹层媒质的径向和垂向电导率。试求地层表面 0z 处的电位分布。 o0z 131h2h 2h2vI习题 3-9 图 3-10 有一二层地层模型，如习题 3-10 图所示。二地层电导率分别为 1 和 2 （电阻率分别为 1 和 2 ）。现在坐标轴上 A 处有一电流强度为 I 的点电流源，在坐标轴上 B 处有一10 电流强度为 I 的点电流源。试讨论以
22、下几种情况的中心轴线上的电位分布。（ 1） A 和 B 点均在地层 中；（ 2） A 和 B 点分别在地层 和 中；（ 3） A 和 B 点均在地层 中。 习题 3-10 图 解： （ 1）易知点电流源 A 在 、 区产生的电位为分别为 121 1 1 1 211( ) ( )44A I I I IR R R R 22 2 2 1 221144A IIRR 同理点电流源 B 在 、 区产生的电位为分别为 121 1 1 21 ()4B IIRR 222 1 2214B IR 则 区中中心轴线上任意一点的电位为 111 2 1 21 1 2 1 1 2121 1 21 1 1 1( ) ( )4
23、 | | 4 | |1 1 1 1 ( ) 4 | | | |ABA A B BA B A BIIz z z z z z z zIz z z z z z z z 同理可得 区中中心轴线上任意一点的电位为 22 12 11()2 ( )AB ABI z z z z (2) 易知点电流源 A 在 、 区产生的电位为分别为 111 1 2214A IR 212 2 1 21 ()4A IIRR 同理点电流源 B 在 、 区产生的电位为分别为 11 121 1 1 21 ()4B IIRR 222 1 2214B IR 则 区中中心轴线上任意一点的电位为 1 1 2111 1 2 1 221 1 1(
24、)4 | |ABA B BI z z z z z z 同理可得 区中中心轴线上任意一点的电位为 2 1 2222 1 2 1 221 1 14 | | | |ABA A BI z z z z z z （ 3）易知点电流源 A 在 、 区产生的电位为分别为 111 1 2214A IR 212 2 1 21 ()4A IIRR 同理点电流源 B 在 、 区产生的电位为分别为 111 1 2214B IR 212 2 1 21 ()4B IIRR 则 区中中心轴线上任意一点的电位为 11 12 11()2 ( )AB ABI z z z z 同理可得 区中中心轴线上任意一点的电位为 21222 1
25、 21 1 1 1 ( ) 4 | | | | | | | |ABA B A BI z z z z z z z z 3-11 有一个三层地层模型，如习题 3-11 图所示。各地层电导率分别为 1 ， 2 ， 3 （电阻率分别为 1 ， 2 ， 3 ）。地层 的厚度为 h 。在坐标轴上 A 处有一电流强度为 I 的点电流源，在坐标轴上 B 处有电流强度为 I 的点电流源。试讨论以下几种情况下中心轴线上的电位分布。（ 1） A 和 B 点均在地层 中； （ 2） A 和 B 点分别在地层 和 中；（ 3） A 和B 点均在地层 中；（ 4） A 和 B 点分别在地层 和 中；（ 5） A 和 B
26、点分别在地层 和 中；（ 6） A 和 B 点均在地层 中。 12 习题 3-11 图 3-12 如习题 3-12 图所示，在一个电导率为 t 的无限大地层钻一半径为 b 、泥浆电导率为 m 的无限长的井，在井轴上有一电流强度为 I 的点电极。求井内外的电位分布。 解： 易知 、 区中的二次电位满足拉普拉斯方程，求解后可得 ( ) ( ) i z innnn A I B K e e d 由于 与 无关，故上式可化简为00 ( ) ( ) izA I B K e d 又 区中 的一次电位为002 ()4 izmI k e d ， 则 、 区中的电位分别为 1 0 0 02 ( ) ( ) ( )
27、 4 izmI K A I B K e d 2 0 02 ( ) ( ) 4 izmI C I D K e d 由 0 ， 时电位有限可得 0BC 由 b 时满足边值关系 112|bbm b t b 2 解得 13 1 0 11 0 1( ) ( )1 ( ) ( )b Q K b K bA b Q K b I b 11 0 111 ( ) ( )QD b Q K b I b 其中 mttQ 则井内外的电位分布为 1 0 11 0 021 0 1( ) ( ) ( ) ( ) 4 1 ( ) ( ) izmb Q K b K bI K I e db Q K b I b 12021 0 11 ( ) 4 1 ( ) ( ) izmQI K e db Q K b I b
