1、 安徽科技学院教案 3.1 微分中值定理授课章节 3.1.2 拉格朗日中值定理授课学时 30 分钟 讲授方法 启发式讲授 教学条件 普通教室/黑板、粉笔等教学目标：1使学生掌握拉格朗日中值定理，熟练运用拉格朗日中值定理证明不等式；2使学生在掌握拉格朗日中值定理的同时，能联系前后学习的内容进行层次归纳与总结，形成系统的知识层次与结构；3使学生经历拉格朗日中值定理的完整的研究过程，体会数学研究与数学应用的乐趣，发展应用意识和解决问题的能力.教学重点、难点：1重点：拉格朗日中值定理及其应用.2. 难点：拉格朗日中值定理的证明.教学要点：1. 拉格朗日中值定理的证明；2. 拉格朗日中值定理的应用；3.
2、 拉格朗日中值定理与罗尔定理的关系.思考题/作业：9、10、11（1）.教学小结：本节课学习的主要内容是微分中值定理中的核心定理拉格朗日（Lagrange）中值定理，罗尔（Rolle）定理可以看成是拉格朗日中值定理的特殊情形. 微分中值定理揭示的是函数在某个区间的整体性质与该区间内某一点处的导数之间的关系，因而称为中值定理. 它是几个定理的统称. 微分中值定理也是微分学的理论基础，微分学的很多重要的应用都是建立在这个基础之上，后面将要讨论的洛必达（Lhospital）法则、泰勒（Taylor）公式、函数的单调性与极值等都要用到微分中值定理. 安徽科技学院教案 3.1.2 拉格朗日中值定理一、内
3、容回顾定理 1（Rolle）设函数 满足：()fx（1）在闭区间 上连续；,ab（2）在开区间 内可导； ()（3） ,)ff则至少存在一点 ，使得 . ()ab()0f几何意义：在定理的条件下，区间 内至少存在一点 ，,ab使得曲线在点 处具有水平切线. (,)f二、拉格朗日中值定理定理 2（Lagrange）设函数 满足： ()fx（1）在闭区间 上连续；,ab（2）在开区间 内可导；()则至少存在一点 ，,使得 . ()fbaf或写成 . ()()fffb上述公式称为拉格朗日中值公式，且对于 也成立. a几何意义：如果连续曲线 上除端点外处处具有不垂直()yfx于 轴的切线，则在曲线弧
4、上至少存在一点 ，在xAB(,)f该点处曲线的切线平行于弦 . 首先回顾前面所学习的内容，然后通过提问引入新课的内容:微分中值定理的核心内容- 拉格朗日（Lagrange）中值定理. 【本节重点】板书定理内容解释定理的条件及结论，指出定理条件的一般性. 借助于图像，图文并茂地解释定理的几何意义. 安徽科技学院教案 由拉格朗日定理的几何意义可以看出，当函数满足时，此时弦 的斜率等于零. 即 . 这便()fafbAB()0f是罗尔定理的结论. 所以罗尔定理可以看成是拉格朗日中值定理的特殊情形. 即Lagrange 中值定理 Rolle 定理()()fafb 证明分析： 从上述拉格朗日中值定理和罗尔
5、定理的关系，自然想到利用罗尔定理来证明拉格朗日中值定理，为此我们设想构造一个与 有密切联系的函数 （称为辅助函数） ，使)(xf )(x满足条件 .然后对 应用罗尔定理，再把对)(x)(ba所得的结论转化到 上，证得所要的结论. 从拉格朗日xf中值定理的几何解释来寻找辅助函数.证明： 作辅助函数f(x)f(a) (xa)， . bf,b则 在闭区间 上连续，在开区间 内可导，且)(,)(x)f (x) abf)(，由罗尔定理知，至少存在一点 ，0)(ba(,)ab使得 ， ()0即 f () .)(abf由此得 , 证毕 . 引导学生通过观 察图形的区别引导学生思考拉格 朗日中值定理与罗尔定理的关系【本节难点】板书分析证明的思路引导学生采用逆向思维的方式，从几何图形入手分析得出辅助函数的构造. 此定理的证明关键是构造辅助函数满足罗尔定理条件，然后利用罗尔定理的结论证明. 安徽科技学院教案 三、定理的应用例 证明不等式 . ln(1)(0)xxx证：设 ，则 在 上满足拉格朗日()lfttft,中值定理条件，因此有.()0()0,fxffxx即 ，ln1又因为 ,0x所以 ，1x即 . ln(),(0)x练习：证明不等式. ln(0)babab板书证明的分析过程. 指出本题的关键是找出研究的对象函数，注意观察不等式的特点，找出合适的函数，合理运用定理证明不等式.
