1、第二节圆与方程及直线与圆的位置关系,知识点一 圆的方程,1.圆的定义及其方程,定点,定长,圆心,半径,D2E24F0,2.点与圆的位置关系,(1)理论依据： 与的距离与半径的大小关系(2)三个结论：圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点M(x0，y0) r2点在圆上； r2点在圆外； 0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为.,r1r2,无解,dr1r2,|r1r2|dr1r2,两组不同的实数解,两个基本图形：直线与圆相交，相切的构图.,(3)直线与圆相交，弦心距，半弦长，半径构成直角三角形直线y2x1被圆x2y21截得的弦长为_.,(4
2、)直线与圆相切，圆心与切点连线与切线互相垂直过点(0，1)且与圆(x2)2y21相切的直线方程是_.,答案y1和4x3y30,一个易错点：两圆相切时，注意是内切还是外切.,(5)已知圆C1：(xa)2(y2)24与圆C2：(xb)2(y2)21相切，则(ab)2_.解析圆C1圆心坐标为(a，2)，半径r12，圆C2圆心坐标为(b，2)，半径r21，则圆心距为|ab|，两圆外切时|ab|213，两圆内切时|ab|211.所以(ab)29或1.答案9或1,四条常用性质.,(6)圆心在过切点且垂直切线的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线.两圆方程相减得公共弦所在
3、直线方程已知点M(1，0)是圆C：x2y24x2y0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是_.,答案xy10,圆的方程突破方略,求圆的方程的几种方法,(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程；(2)待定系数法：若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，根据已知条件列出关于a、b、r的方程组，从而求出a，b，r的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值.,【例1】 (1)过点A(2，4)，B(3，1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程为_；,(2)经过点A(
4、2，4)，且与直线l：x3y260相切于点B(8，6)的圆的方程为_.,因此，所求圆的方程为x2y22x4y80或x2y26x8y0.(2) 法一设圆心坐标为C(a，b)，依题意得，,点评解决此类问题的关键是设出圆的方程利用待定系数法求解，或利用圆的几何性质求出圆心及半径.,直线与圆的位置关系求解方略,求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程,(1)几何方法：当斜率存在时，设为k，切线方程为yy0k(xx0)，即kxyy0kx00.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程.(2)代数方法：设切线方程为yy0k(xx0)，即ykxkx0y0，代入圆的方程，得一个关于x的一元二次方程，由0，求
5、得k，切线方程即可求出.注：若以上方法只求出一条切线，则说明过圆外一点(x0，y0)的圆的切线不存在，应补充上xx0.,圆的弦长的求法,答案A,点评解决(2)题的关键是利用弦心距、半径、半弦长构成的直角三角形求解，或将直线方程与圆的方程联立利用弦长公式求解.,圆与圆位置关系的判定及应用,圆与圆的位置关系突破方略,(1)两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线方程可由两圆的方程作差求得.并且两圆的连心线垂直平分公共弦.,点评解答与圆有关的问题，应注意数形结合，充分利用圆的几何性质，进行转化；两圆的公共弦所
6、在的直线方程设圆C1：x2y2D1xE1yF10，圆C2：x2y2D2xE2yF20，若两圆相交于A、B两点，则直线AB的方程可利用作差得到，即(D1D2)x(E1E2)yF1F20.(*)说明：方程(*)中D1D2与E1E2不同时为0，故方程(*)表示一条直线.而A、B两点坐标适合两圆方程，当然也适合方程(*).故过A、B两点的直线方程为(*).,与圆有关的轨迹问题,【示例】 已知圆x2y24上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.,(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程.,解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知
7、，P点坐标为(2x2，2y).因为P点在圆x2y24上，所以(2x2)2(2y)24，故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设PQ的中点为N(x，y).在RtPBQ中，|PN|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.,方法归纳求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.,
