1、第 9 讲 圆锥曲线解题规律（上）题一：如图 A、B 是抛物线 y2=2px（p0）上的两点，满足 OAOB（O 为坐标原点）求证：A、B 两点的横坐标之积，纵坐标之积分别为定值。直线 AB 经过一个定点。题二：如图，M 是抛物线上 y2=x 上的一点，动弦 ME、MF 分别交 x 轴于 A、B 两点，且MA=MB. （1）若 M 为定点，证明：直线 EF 的斜率为定值； （2）若 M 为动点，且EMF=90，求EMF 的重心 G 的轨迹题三：如图所示，抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点 P(1,2)， A(x1， y1)，B(x2， y2)均在抛物线上(1)写出该抛物线的方程及其
2、准线方程；(2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求 y1 y2 的值及直线 AB 的斜率题四：已知 12,AB是椭圆21(0)xyab的顶点（如图）,直线 l与椭圆交于异于顶点的 ,PQ两点,且 2/l若椭圆的离心率是 32,且 2|5ABxO A BEFM（）求此椭圆的方程；（）设直线 1AP和直线 BQ的倾斜角分别为 ,试判断是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由 题五：已知曲线 c上任意一点 P 到两个定点 F1(- 3，0)和 F2( 3，0)的距离之和为4 （1）求曲线 的方程；（2）设过(0，-2)的直线 l与曲线 c交于 C、D 两点，且 ODC(0为坐标原
3、点） ，求直线 l的方程题六：已知点 A（1，0） ， B（1，1）和抛物线. ， O 为坐标xy4:2原点，过点 A 的动直线 l 交抛物线 C 于 M、 P，直线 MB 交抛物线 C 于另一点Q，如图.（I）证明: 为定值;（II）若 POM 的面积为 ，求向量O 5与 的夹角；OMP() 证明直线 PQ 恒过一个定点.第 9 讲 圆锥曲线解题规律（上）题一：证明： 12x 212 22112 121212 111212 12112121, 0004ABypxyOABx ypxyypk xypxyyy 设 则 方 程 为 即 2124 ,0pxp 经 过 点12x若 时 2121 44 2
4、,0,0xppxpAB即 斜 率 不 存 在 此 时 直 线 方 程 为 经 过 点 直 线 经 过 定 点题二： 22().973yx详解：（1）设 M（y ,y0） ，直线 ME 的斜率为 k(l0)则直线 MF 的斜率为k，方程为 200().ykxy由 ，消2002()yx201得解得 将 k 换成-k，可得 F 点坐标2001(1),EEkyyx (定值)00220014(1)()2FEFk kykyx所以直线 EF 的斜率为定值（2） 直线 ME 的方程为90,5,1,MAB当 时 所 以 200()ykxy由 得2002yxy200(1),Ey同理可得 200(),.F设重心 G
5、（ x, y） ，则有22220000(1)()333MEFyyx 消去参数 得0212().973x题三： y24 x，准线方程是 x1.详解：根据两直线倾角互补， kPA kPB，利用斜率公式求解(1)由已知条件，可设抛物线的方程为 y22 px.点 P(1,2)在抛物线上，2 22 p1，得 p2.故所求抛物线的方程是 y24 x，准线方程是 x1.(2)设直线 PA 的斜率为 kPA，直线 PB 的斜率为 kPB.则 kPA (x11)， kPB (x21)y1 2x1 1 y2 2x2 1 PA 与 PB 的斜率存在且倾角互补， kPA kPB. .y1 214y21 1y2 214
6、y2 124y由（1）-（2）得直线 AB 的斜率 (利用点差法可推得 k)21214ABykx题四： 详解：（）由已知可得 235cab，所以 .1,2ba椭圆方程为214xy（） 是定值 理由如下：由（） ，A 2（2，0） ，B（0，1） ，且 l/A2B，所以直线 l的斜率 21ABk设直线 l的方程为 12,(),()2yxmPyQx,214xym联 立，220xm .08)(422即 ，且 21mx, ,PQ两 点 不 是 椭 圆 的 顶 点1 21tan,tan2APBQyykkxx 又因为 mxyxy2211,，21tat xy12()x21 2112()()()xmm212
7、1() ()()0()xxtanttan()0又 ,0,)2,( 是定值题五：214xy； l的方程是 yx或 2yx详解：（1）根据椭圆的定义，可知动点 M的轨迹为椭圆，其中 a， 3c，则21bac所以动点 M 的轨迹方程为214xy（2）当直线 l的斜率不存在时，不满足题意当直线 的斜率存在时，设直线 l的方程为 k，设 1(,)Cx， 2(,)Dy， 0OCD， 120xy 12y， yk， 21()4yk 12()40 由方程组21,4.xyk得 241620kx则 12264kx，122x，代入，得 2224k即 4，解得， 或 所以，直线 l的方程是 yx或 yx题六： ; PQ
8、 过定点 E（1，4）.5详解：（I）设点 、 M、 A 三点共线，PyyM),(),(212122, ,44APky即 4,1421221 yy即.52121OM(II)设 POM=，则 .cos| P由此可得 tan=1. 5in|,25SROM又 (0,)4, 4.OM故 向 量 与 的 夹 角 为()设点 、 B、 Q 三点共线，yQ,32 ,QMBk3132213313,44(),40.yyy即 即 即即, 32322y即.(*)04)(43232yy ,443232yykPQ)(232xyyPQ的 方 程 是直 线即 .4)(,4)( 3232232 xyyxyy 即由（*）式， 代入上式，得)(32 ).1()(32x由此可知直线 PQ 过定点 E（1，4）.
