1、1导数应用常见九种错解剖析导数作为一种工具，在解决数学问题时极为方便，尤其是利用导数求函数的单调性、极值、最值、和切线的方程，但是笔者在教学过程中，发现导数的应用还存在许多误区。一、对导数的定义理解不清致错例 1、已知函数 ，则63241)(xxf 0(1x)-(lim )2xff B 0 C D 2错解： ，从而选；或1)(,)( /3/ fxf原 式 0)(,2)( /3/ fxf原 式剖析：防错的关键是认真理清导数的定义特别是要分清导数定义中“ ”与“ ”的对应y形式的多样性。正解：原式= ,从而应选。/00(1)-(x)-1limli ()=222xxfffff点评： = ,函数在某一
2、点 x0处的导数，就是函数在这一点/)fy0的函数值的增量与自变量的增量的比值在自变量的增量趋近于零时的极限，分子分母中的自变量的增量 必须保持对应一致，它是非零的变量，它可以是2 ， 等。在导数定义中应特别x 21注意“ ”与“ ”的对应形式的多样性，但不论哪种形式都应突现 “ ”与“ ”的一致y xy性。二、对“连续”与“可导”定义理解不清致错。例 2、函数 y=f(x)在 x=x0处可导是函数 y=f(x)在 x=x0处连续的（ ）、充分不必要条件 B 必要不充分条件 、充要条件 、既不充分也不必要条件错解： 认为“连续”与“可导”是同一个概念而错选。或者对充分、必要条件的概念不清而导致
3、错选。剖析：防错关键是（）理清充分、必要条件的概念；（）函数 y=f(x)在 x=x0处可导必在x=x0处连续，函数 y=f(x)在 x=x0处连续不一定在 x=x0处可导。如函数 在 x=处连续但在|xyx=处不可导。 在又,xy000lim()li,lim()li(),()xxxfffxx=处连续， 当 时，y()(|,11,ff0x的左右极限不相等，所以其极限不相等，因此函数 在 x=处不可导。从而本题应选。yx |x三、对 为极值的充要条件理解不清致错。/0()fx例 3、函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2在 x=1 处有极值 10，求 a、b 的值。错解： =3x2+2ax+b
4、,由题意知 =0,/ /(1)f且 f(1)=10,即 2a+b+3=0,且a2+a+b+1=10,解之得 a=4,b=11 ,或a=3 b=3剖析：错误的主要原因是把 为极值的必要/0()fx条件当作了充要条件， 为极值的充要条件/是 =0 且 x0附近两侧的符号相反.，所以后/0()f面应该加上：当 a=4,b=11 时=3x2+8x11=（3x+11）(x1),在 x=1 附近两侧的符号相反， a=4,b=11.当 a=3 b=3/ 时 fl(x)=3（x1） 2, 在 x=1 附近两侧的符号相同，所以 a=3 b=3 舍去。 （a=4,b=11 时，f(x)=x3+4x211x+16
5、的图象见下面左图，a=3 b=3 时（f(x)=x 33x 2+3x+9 的图象见右图。 ） 四、对函数的单调区间考虑不全致错例 4、求函数 = (x0)的()f)ln(x单调增区间。2错解：由题意得 = 0， ， ，又因为函数的定义/()fx12012x1x域是（0，+ ） ，所以函数的单调递增区间是（0，1）和（1，+ ） 。剖析：本题错在对函数在 x=1 处是否连续没有研究，显然函数在 x=1 处是连续的，所以函数的单调递增区间是（0，+ ）.对于 0（或 0）的解集中的断开点的连续性，我们要/()fx/()f进行研究，不能草率下结论。五、对函数单调的充要条件理解不清致错例 5、已知函数
6、 f(x)= 在(2,+ ) 内单调递减，求实数 a 的取值范围。21xa错解： = ,由函数 f(x) 在(2,+ ) 内单调递减知 0 在(2,+ )/()f /)fx内恒成立，即 在(2,+ ) 内恒成立，因此 a .2)(1xa021剖析：错误的主要原因是由于对于函数 f(x)在 D 上单调递增（或递减）的充要条件是 /()fx(或 )且 在 D 任一子区间上不恒为零没有理解。而当 a= 时 =0 在0/f/f /()f( 2,+ ) 恒成立，所以不符合题意，所以舍去。即实数 a 的取值范围为 。 1,2六、没有考虑函数在某点不可导致错例 6、求 f(x)= 在1，3上的最大值和最小值
7、。32)(x错解：由题意得 = ，令 =0 得 x=1./f34/()fx当 x=1 和 3 时，函数的,9)(,),9)1(3ff最大值是 ，当 x=1 时，函数的最小值是 1.剖析：错误的主要原因是解题过程中忽略了对函数的不可导点的考察，因为函数的最值可以在导数为零的点或不可导点或区间的端点处取得.所以后面应该加上：在定义域内不可导的点为：x 1=0,x2=2 ，f(0)=0 ,f(2)=0,9)3(,1),9)1(3fff当 x=1 和 3 时，函数的最大值是 ，当 x=0 或 2 时，函数的最小3值是 0。事实上只要作出函数 f(x)的图象就不难发现当 x=0 或 2 时，函数的最小值
8、是 0。当 x=1 和 3 时，函数的最大值是 。39七、忽视原函数的定义域致错。例 6、求函数 的单调增区间2xy错解： 函数 2101,21)(1)(, /1 xyxuyufux 知由则设的单调增区间为 。2xy)2,剖析：错解原因主要是忽视原函数的定义域所致。正解：先求原函数的导函数即 ,210,101,21 2/ xxxyxy 又知由因此原函数 的单调增区间为21,0评析：利用导数求函数的单调区间，别忘了考虑原函数的定义域。八、忽视导函数与原函数图象关系致错。例 8、设 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象最有)(xf)(xfy)(xf )(xfy3可能的是（ ）错解：本题是
9、一道高考选择题，抽样表明许多考生由于对导函数与原函数图象关系深入不够而凭空乱猜。剖析：由导函数的图象知，导函数在 x=0 和 2 时的导函数 值为 0，故原来的函数 在)(xfyx=0 和 2 时取得极值。当 时，导函数值为正（或 0） ，当 时，导函数值为负,0x或 2x所以当 时函数 为增函数 ，当 时，函数 为减函数，故选0x或 )(fyx)(fy项为 C。点评：只要抓住导函数的零点就是原函数图象的极值点以及导函数与单调性的相互关系本题就可迎刃而解。九、忽视切点在曲线上的隐含条件致错。例 9、已知 ，函数 的图象与函数 的图象相切。0,1cbbxf)( cbxg2)(求 b 与 c 的关系式（用 c 表示 b） 。错解：由函数的导函数就是曲线的切线方程知， ，得 ，故 。)( xf 12b从而有 bxx2剖析：本题前面得到 是对的，由于条件不够，就胡乱认为： 而造成错解。21 )(xgf正解：依题意令 ，得 ，故 。由于 ，得)( xgf 1b2bx)21()(bf。ccbb,01,4)1(2 点评：在由 得到 ，就应想切线的交点必是在原两函数图象的交点，这)(xf 2是解决曲线切线问题的关键。
