1、第 19 讲 数列的生成函数题一： 已知数列 中，各项都是正数，且满足：na， 01a(4),2nN证明： 1,题二： 数列 中， ， ( 为常数， ) ，na121nnaac11,23n且 328（）求 的值； c（）证明： ； 1na2（）比较 与 的大小，并加以证明 k4039题三： 已知数列 na对任意的 ,2*Nn满足: nnaa21，则称 n为“Z数列”(1)求证：任何的等差数列不可能是“Z 数列”；(2)已知正数列 nb，若数列 nblg是“Z 数列”，数列 nb是否可能是等比数列，说明理由，构造一个数列 c，使得 是“Z 数列” ；(3)若数列 a是“Z 数列” ，设 ,*ts
2、mts且 求证 .stmst aa题四： 已知函数 ()yfx对任意的实数 ,()()(10xyfyfxyf都 有 且(1) ，nN*， ，设 且 为等比数列，求 的值；na1niSa2nSbnb1a(2)在(1)的条件下，设 2nC 证明： (i) 对任意的 20,1nnxaxx， N；(ii) 212n， N题五： 已知数列 满足 ， nx142134nx()求证： ；()求证： 3n1n题六： 对于任意的 *Nn，若数列 na同时满足下列两个条件，则称数列 na具有“性质 m”： 12na；存在实数 M,使得 n成立(1)数列 na、 b中， n、 6si2bn( 5,4321)，判断
3、n、 b是否具有“性质 ”；(2)若各项为正数的等比数列 nc的前 项和为 nS，且 3c, 7S，求证：数列nS具有“性质 m”；(3)数列 d的通项公式 nntd21)3( *N)对于任意 10,3n且 *Nn，数列 n具有“性质 ”，求实数 的取值范围第 19 讲 数列的生成函数题一： 见详解详解：1当 n=0 时， a 0a 12，命题正确0103,(4),2aa2假设 n=k 时有 ak1a k2则 n=k+1 时，1211(4)()()(4),kkk kkaaa而 ak1ak04a k1ak0，a k ak+10又 n=k+1 时命题正确2()4(),22 由 1、2知，对一切 n
4、N 时，有 ana n+12题二： （） ；（） （）见详解c详解：（）由 ，得 ，3218a2118cc解得 ，或 （舍去） （）证明：因为 ，221 ()0nnnaa当且仅当 时， 2a因为 ，所以 ，即 ( ) 110n1n,3下面证明：对于任意 ，有 成立 *N2当 时，由 ，显然结论成立假设结论对 时成立，即n 1k2.ka因为 ，且函数 在 时单调递增， 21 3()nnaa2()yx1x所以 即当 时，结论也成立3()k1于是，当 时，有 成立*Nn（）由 ，可得 ，21naa11()(2)nnnaa从而 因为 ，1n所以 1111 .222nkkknnaaaa121140403
5、939(53)(8)()92nnkn naa 因为 ，由（） ( ) 1a12na*N由 及 ， 经计算可得n231.8a， 所以，当 时， ；当 时， ；214039a1409当 时，由 ，38n得 111 11 1(5)(83)40 400 939239n nn nk kaaa 题三： 见详解详解：(1)设等差数列 n的首项 1，公差 d， dn)(102)(211 aan所以任何的等差数列不可能是“Z 数列”或者根据等差数列的性质： nn21所以任何的等差数列不可能是“Z 数列”(2)假设 为正数列， lg是“Z 数列” ，na lg是“Z 数列 ”，所以 nnnaalgl11 ，21n
6、a所以 n不可能是等比数列等比数列 ,01qccn只要首项 0c公比 q其他的也可以：2b， )(4n等比数列 n的首项 1,公比 ,通项公式 1 211 nnn ccc02qq恒成立, 01c 补充说明：分析： 11nnaa, )()(nan 根据几何意义只要 fc的一阶导函数单调递减就可以 (3)因为 ssb1, 121ssb, 232ssb, 11tttb 21.tttttstsa a一 共 项同理： 12112.tmstm smtmttsstsaaaabb 一 共 项因为数列 n满足对任意的 ,1*nNn均 有 所以 ,2211 smsttmtt mstst aa题四： (1)31a；
7、(2)见详解详解：(1) )()(yfxyf对于任意的 x R均成立, )1()(fnf,即 .1an ,01 ),(0Nan n是 以 为首项, 1为公比的等比数列, n1当 ，时1Sn,此时 ,2nb不是等比数列, .1a b成等比数列, 32b成等比数列, 32 1111 2)()(,2aaa ,322113 21() 96,()a，解得 31a(2)在(1) 的条件下, ,n知 03nc,(i) )32()1xx )12()1xxn= ccnn22= ()1ncx ,原不等式成立 解法二 (i)设 )3()12xf n,则 24(1()1)xfx= 32()nx 0)(3,0，fn时当
8、 ；当 0)(32，fn时 ；当 )(xfxn时取得最大值 .1nnc原不等式成立(ii)由 (i)知，对任意的 x0，有 2221 )1()3(1xxccn )()3(xxn= )33nx取 (1nn322 )= )1()1(n, 则 13)3(2221 naa n原不等式成立 题五： 见详解详解：() 证明：用数学归纳法证明(1)当 时， 所以结论成立n143x(2)假设 时结论成立，即 ，()kkx则 221()33044kkkx所以 即 时,结论成立由(1)(2)可知对任意的正整数 ，都有 k1nn3nx() 证明： 22133(1)4424nnn nxxx 因为 ，所以 ，即 所以
9、3nx()02nx10n1nx题六： （1） na不具有“性质 m”； nb具有“性质 ”；（ 2）见详解；（3） t详解：(1)在数列 中，取 1，则 32aa，不满足条件 ，所以数列 n不具有“性质 ”；在数列 b中， 1， 2b， 3， 4b， 15，则 31, 34, 423bb，所以满足条件； 6sin2( 5,)满足条件,所以数列 n具有“性质 m”(2)由于数列 c是各项为正数的等比数列,则公比 0q,将 413c 代入 3S4732q得： 162,解得 2或 q(舍去)所以 1c, 1n, 1nS 对于任意的 *N， 122 nnS且 2 所以数列 nS满足条件和,所以数列 具有“性质 m” (3)由于 dnt13,则 11)(3ntd, 22)(3nntd 由于任意 0,且 *,数列 具有“性质 ”,所以 1nd 即 nt212)(nt 12)(nt，化简得： 1)(t, 即 t对于任意 ,3且 *N恒成立,所以 11)(nnnttd= 1)(nt由于 0,3及,所以 nd1即 10,3n时，数列 nd是单调递增数列，所以 d最大项的值为 101023t满足条件只需 Mt2即可，所以这样的 存在，所以 1t即可
