1、动力学定律一般问题 引力问题 约束运动问题 非惯性系*,一般问题,力,力来自相互作用； 力是运动状态变化的原因., 万有引力,引力质量与惯性质量, 弹性力或回复力,取决于变形程度，电磁力, 摩擦力（静摩擦力和滑动摩擦力）,复杂性，电磁力，耗散力, 与相对滑动趋势的指向相反 正比于正压力,张力在连续物体（绳与杆）中的分布,光滑曲线上有一匀质链条，求链条上任意位置的张力。证明如果链条两端处于同一水平高度则链条保持静止。,解： 取一小段长为dl的线元， 质量dm=ldl 两端张力之差（净张力） dT=(dm)gsinq=ldlgsinq=lgdy,例 一根绳子跨于一光滑的定滑轮两边，绳中张力为T，绳
2、与滑轮接触的一段在轮心所张的角是2 。求绳对定滑轮的作用力。,T,解：x方向，y方向，,例：皮带绕过轮，其与轮相接触的一段在轮心所张角度为。皮带与轮之间的静摩擦力系数为。试求轮两方皮带中张力T1和T0之间的数量关系。,练习： （1）皮带绕过轮，其与轮相接触的一段在轮心所张角度为。皮带与轮之间的静摩擦力系数为 。试求轮两方皮带中张力T1和T0之间的数量关系。（2）一个质量为M半径R的园盘由轻质绳悬挂，如图所示。如果绳与园盘间存在摩擦，摩擦系数为 ，试计算绳子在园盘最低点最小可能的张力。 （3）如果园盘的侧面是光滑的，绳索的张力为多大？绳子作用在园盘上单位长度的作用力为多大？,练习： （2）一个质
3、量为M半径R的园盘由轻质绳悬挂，如图所示。如果绳与园盘间存在摩擦，摩擦系数为 ，试计算绳子在园盘最低点最小可能的张力。 （3）如果园盘的侧面是光滑的，绳索的张力为多大？绳子作用在园盘上单位长度的作用力为多大？,例题：均匀弹簧在重力场中的伸长问题。 M, K 引例：弹簧串联。哪个伸长更大？,n个弹簧串联，从下向上数 x1=mg/k, x2=2mg/k, x3=3mg/k, X=x1+x2+x3+xn=n(1+n)mg/2k M=nm X=Mg(1+n)/2k n无穷大, 1+n=n, k/n=K(n个串联弹簧的等效弹性系数)X=Mg/2K (M均匀弹簧的总质量，K弹性系数）,可以进一步考虑，均匀
4、弹簧悬挂小球的伸长，振动。,练习：均匀弹簧在离心力场中的伸长问题。 M, K,先看一个类似的问题旋转刚性杆的张力,L,T,T+dT,练习：均匀弹簧在离心力场中的伸长问题。 M, k （2010 IYPT题目）,x0,T,T+dT,x0+dx0,x,x+dx,类似于简谐振动方程，解是,质点动力学问题,典型问题： I：已知作用于物体（质点）上的力，由力学规律来决定该物体的运动情况或平衡状态；II：已知物体（质点）的运动情况或平衡状态，由力学规律来推出作用于物体上的力。,解题十六字诀：隔离物体，具体分析，选定坐标，运动方程。 中心问题在于正确地列出代数方程组； 关键问题有在于正确地进行具体分析(F,
5、ma)。,例 一升降机内有一光滑斜面。斜面固定在升降机的底版上，其倾角为 。当升降机以匀加速a0上升时，物体m从斜面的顶点沿斜面下滑。求物体m相对于斜面的加速度以及相对于地面的加速度。,解：,受力分析：,加速度分析： a= a+a0X方向: Y方向:,列方程：,解得:a=(g+a0)sin , N= m(g+a0)cos,练习:,分析： M: m:加速度： a1(+x方向） a=a1+a2,列方程： m: M:,IPhO4-1 (1970) 在质量M=1kg的木板上有质量m=0.1kg的小雪橇。雪橇上的马达牵引着一根绳子，使雪橇具有速度v0=0.1m/s。忽略桌面与木板之间的摩擦。木板与雪橇之
6、间的摩擦系数0.02。把住木板，起动马达。当雪橇达到速度v0时，放开木板。在此瞬间，雪橇与木板端面的距离L=0.5m。绳子拴在 （a）远处的柱子，(b)木板的端面上。 试描述两种情形下木板与雪橇的运动。雪橇何时达到木板端面？,解：（a）木板速度达到v0之前匀加速， 雪橇在木板上经过的距离为此后两者没有相对运动，马达空转，雪橇不能达到端面。,（b）系统动量守恒，设放开后木板的速度为V,雪橇为V+v0，,V=0。所以木板不动，雪橇以原有速度继续前进。t=L/v0,受力分析？,解1：两侧挂有M1,M2的滑轮与质量m的物体等效,解2：第一滑轮绳子张力为T, 重力加速度为g, 第二滑轮绳子张力为T/2,
7、 重力加速度为g=g-a, T:T/2=g:(g-a) a=g/2,旋转系统等效静力学问题,IPhO20-2 不共线的三个点P1,P2和P3质量分别为m1,m2和m3，彼此间仅有万有引力作用。令C代表过质点组（P1，P2，P3）质心并垂直于三角形P1P2P3所在平面的轴，当系统绕轴C旋转时，为使三角形P1P2P3的形状保持不变，那么质点间的距离P1P2a, P2P3=b, P1P3=c应满足什么关系？角速度应满足什么条件？即在什么样的条件下，系统能如刚体一样绕C轴旋转？,解: 取坐标原点在质心，则 引力 质点1惯性离心力 与引力平衡，故代入两项不共线，所以系数分别为零，,解：选取地面参考系。水
8、相对于参考系转动，任选一小块水，其受力如下图。mg为重力，N为这一小块水周围液体对它的作用力的合力，N应垂直于液体表面。,an,例5 定量计算牛顿旋转水桶的水面形状。,此为抛物线方程，可见液面为旋转抛物面。,IPhO21-3中子星的旋转(p258)毫秒脉冲星是宇宙中的一类辐射源，它们发射间隔周期为一到几毫秒的持续时间非常短的脉冲。这种辐射在无线电波长范围内，一台合适的无线电接收器便可用来检测各个脉冲，由此精确地测定其发射周期。这些无线电脉冲来自于一种特殊的，称之为中子星的星体表面。中子星非常密实，它们的质量与太阳的质量有相同数量级，而半径只有数十公里。它们非常快地自旋。由于高速旋转，中子星稍被
9、压扁（假定表面形状是长、短轴几乎相等的旋转椭球面）。令rp代表极半径，re代表赤道半径；并定义扁平率因子为e=(re-rp)/rp. 考虑一个中子星，质量 2.0*1030kg, 平均半径1.0*104m, 旋转周期 2.0*102 s （1）计算其扁平率因子，（给定引力常数G）。由于长期运动中能量损失，中子星的旋转减慢，从而导致扁平率减小。中子星有一固态壳层，它浮在液态内核上。中子星会时而发生“星震”，结果造成壳层形状改变。在一次这样的星震过程中及震后，壳层与内核的角速度都会变化，壳层角速度的变化如图所示。 （2）利用图中数据计算液态内核的平均半径。可近似认为壳层与内核密度相同（略去内核形状
10、变化）。,21-3解：建立XOY坐标，原点在星体中心，表面方程 y=y(x) 。假设没有切向应力，即合力沿着表面法向（即与切线垂直） 沿切线取一个矢量 (1, dy/dx)， 表面质元dm受合力为 (GMdmx/r3 w2xdm, GMdmy/r3) 两者垂直，内积为零： GMdmx/r3 w2xdm（GMdmy/r3 ) dy/dx0 ydy+(1-w2r3/GM)xdx=0,IPhO9-1 半径R=0.5m的空心球以角速度 绕其竖直直径旋转。在球内侧高度为R/2处有一小木块同球一起旋转。(g=10m/s2) (1)实现这一情况的最小摩擦系数为多少？ (2)求 时实现这一情况的条件。 (3)
11、在以下两种情况下研究运动的稳定性(i)木块位置有微小变动；(ii)球角速度有微小变动。,解：（1）（2）（3）把 和 当作变量，判断N,f以及 的增减。,增加 ，则N增加，f减小，能满足 ，所以能保持平衡， 减小则N减小，f增大，不能满足 ，向下滑。 改变，两者系数皆正，两者比值的变化更重要,附近，,该系数仍大于零。如果木块向上滑动，,增加，要求摩擦系数增加，,不够大，故滑下来；,如果向下滑，则摩擦力足够，不回来了。,附近,增加则,增大，不能保持平衡，向上滑；,减小则,减小， 保持平衡。,增加时，要求摩擦系数减小，可以停留； 如果向下滑，要求摩擦系数增大，摩擦力不够，返回。,引力问题,万有引力
12、 求解匀质杆(质量为M,长为l)与其延长线上一质点间的引力（p84)。解：质量元dM=Mdx/l,球壳的万有引力,地球内部物体受到的万有引力,兰色部分：不贡献引力 红色部分：贡献引力，恰如位于球心的一个质点M，M是红色部分的总质量,球体的万有引力,O,R,F,r,原型：假定巴黎和伦敦之间由一条笔直的地下铁道连接着。在两城市之间有一列火车飞驶，仅仅由地球的引力作动力。试计算火车的最大速度和巴黎到伦敦的时间。设两城市之间的直线距离为300km, 地球的半径为6400km，忽略摩擦力。考察知识点：1.球对称引力场 2.简谐振动。 考题（2004复赛第三题）有人提出了一种不用火箭发射人造卫星的设想。沿
13、地球的一条弦挖一通道，在通道的两个出口处A和B ，分别将质量为M的物体和质量为m的待发射卫星同时释放，只要M比m足够大，碰撞后质量为m的物体，即待发射的卫星就会从通道口B冲出通道。设待发卫星上有一种装置，在卫星刚离开出口B时，立即把卫星速度方向变为沿该处地球切线的方向，但不改变速度的大小，这样卫星便有可能绕地心运动，成为一颗人造卫星。若卫星正好沿地球表面绕地心做圆周运动，则地心到该通道的距离为多少？ 已知M=20m，地球半径为6400km。假定地球是质量均匀分布的球体，通道是光滑的，两物体间的碰撞是弹性的。 考察知识点：1.球对称引力场 2.简谐振动。3.弹性碰撞 4. 机械能守恒5.有心力场
14、里的运动（第一宇宙速度）,竞赛题与常规考题的区别： 1. 考察的问题原型相同，但是综合性或复杂性更强对策：熟悉各种原型问题。 2. 在试题的入手上设置障碍，让人难以下手，实际上还是对应于一些基本的物理原型。对策：识破题目的障眼法，找到原型。 3. 题目的物理过程较多，有的是同一个物理原型的反复运用，加上各种物理情形的讨论，有的是多个不同物理原型的综合。 对策：养成严谨的思维习惯。对于讨论题，常规考题设置了一些简化假设（比如没有摩擦，2004复赛第七题在碰撞停止之前水平速度一直向右等等）。不要想当然，问问自己，有几种可能？都要考虑进去。,解：,线性恢复力，做振幅为A的简谐振动,弹性碰撞，注意：正
15、负号，用恢复系数 （写能量守恒式子）,简谐振动，能量守恒 （不要把v 当成发射速度）,宇宙速度,2002决赛第五题,假设银河系的物质在宇宙中呈球对称分布，其球心称为银心。距离银心相等处的银河系质量分布相同。又假定距银心距离为r处的物质受到银河系的万有引力和将以r为半径的球面内所有银河系物质集中于银心时所产生的万有引力相同。已知地球到太阳中心的距离为R0，太阳到银心的距离 太阳绕银心做匀速圆周运动，周期 。太阳质量为MS，银河系中发亮的物质仅分布在 的范围内。目前可能测得绕银心运动的物体距银心的距离不大于6a，且在 范围内，物体绕银心运动的速率是一恒量。按上述条件解答：1.论证银河系物质能否均匀
16、分布2.计算银河系中发光物质质量最多有多少3.计算整个银河系物质质量至少有多少4.计算银河系中不发光物质（暗物质）质量至少有多少 上述计算结果均用太阳质量MS表示。,解：如果均匀分布，M(r)r3, v不可能是恒量。如果v=const, 必须M(r)r为了确定M(a),约束运动问题, 运动学的约束：质点被限制于某个曲面或某个曲线上运动。, 约束反力：约束对质点的反作用力。,沿着约束的法向,例2（P143）：质点从光滑的静止大球的顶端滑下。试问滑到何处，质点就会脱离球面飞出。,求解及分析（初始条件）,当=cos-1(2/3), N=0 标志质点开始离开球面,例题： 质点沿光滑抛物线 y2=2x无
17、初速的下滑，质点的初始坐标为（2，2），问质点在何处脱离抛物线。 提示：曲率半径,解：,解2 ：质点受力mg, N, 当N0时，水平方向受力为零，故ax=0, 即vx（或vx2)有极大值,a、b、c、d 是位于光滑水平桌面上的四个小物块，它们的质量均为m。 a、b间有一自然长度为l, 劲度系数为k1的弹簧联接；c、d间有一自然长度为l, 劲度系数为k2的弹簧联接。四个物块的中心在同一直线上。如果b、c发生碰撞，碰撞是完全弹性的，且碰撞时间极短。开始时，两个弹簧都处在自然长度状态，物块c、d 静止， a、b以相同的速度v0向右运动。试定量论述 若k1 k2，四个物块相对于桌面怎样运动？ 若k1
18、4k2，四个物块相对于桌面怎样运动？,2005决赛第六题,练习：飞船环绕地球飞行时，处于失重状态，因此不能用常规仪器测量重量，以导出宇航员的质量。太空实验室2号等飞船配备有身体质量测量装置，其结构是一根弹簧，一端连接椅子，另一端连在飞船上的固定点。弹簧的轴线通过飞船的质心，弹簧的倔强系数为k=605.6N/m。 (1) 当飞船固定在发射台上时，椅子（无人乘坐）的振动周期是T0=1.28195s。 计算椅子的质量m0 (2) 当飞船环绕地球飞行时，宇航员束缚在椅子上，再次测量椅子的振动周期T，测得T=2.33044s , 于是宇航员粗略地估算自己的质量。他对结果感到疑惑。为了得到自己的真实质量，
19、他再次测量了椅子（无人乘坐）的振动周期，得到T0=1.27395s。 问宇航员的真实质量是多少？飞船的质量是多少？ 注：弹簧的质量可以忽略，而宇航员是飘浮着。,开普勒第三定律的修正,F1 = m1v12 / r1 = 4 2 m1r1 / T2 F2 = m2v22 / r2 = 4 2 m2r2 / T2. Newtons third law tells us that F1 = F2, and so we obtain r1 / r2 = m2 / m1,The total separation of the two bodies is given by a = r1 + r2 which
20、 gives r1 = m2a / (m1 + m2) Combining this equation with the equation for F1 derived above and Newtons law of gravitation gives Newtons form of Keplers third law:,42m1r1 /T2 = Gm1m2/a2,T2 = 42 a3/G(m1 + m2).,mv2 / a = Gm1m2 / a2 v=2a/T m=m1m2 / (m1 + m2),Solution II:,T2 = 4 2 a3 / G(m1 + m2).,例6（P11
21、1）：竖直上抛的物体，最小应具有多大的初速度V0才不再回到地球？（第二宇宙速度或逃逸速度）,隔离物体 具体分析(万有引力）,建立坐标 运动方程（及初始条件）,求解及分析,分离变量,整理得：,分析：,第二宇宙速度或逃逸速度,作定积分：,a. 如果vv0, 物体上升的最大高度是多少？ b. 从某一高度落到地面的速度是多少？,例7（P113）：光滑桌面上有一物体，质量为m，系于弹簧的一端。今将弹簧拉长x0，并给物体以初速度v0后任其运动，试求解这物体的运动。弹簧的劲度系数为k。,隔离物体,具体分析(弹性恢复力）,建立坐标(一维，平衡点),运动方程（及初始条件）,求解及分析,分离变量,作定积分：,整理
22、得：,分离变量,再积分：,记：,通解：,恢复力驱使系统回复平衡位置， 惯性则阻止系统停留在平衡位置。,例：有一密度为 的细棒，长度为l,其上端用细线悬着，下端紧帖着密度为 的液体表面。现将悬线剪断，求细棒恰好全部没入液体中时的沉降速度。设液体没有粘性。解：,式子两边乘以dx,棒在水中作什么运动？,例7（P113）：一小环自由地穿在光滑细棒上，棒在水平面内绕其一端O以匀速转动，角速度为0。求解小环的运动情况。已知开始时环在O端以速度v0在棒上运动。,（1）隔离物体,（2）具体分析(法向水平分力),（3）建立坐标（极坐标）,（4）运动方程（及初始条件）,（5）求解及分析,变换、分离变量,无恢复力,
23、积分、整理得：,再积分：,分析：,于t,永不折回。, 摩擦力, 摩擦力：物体与物体相接触时，在接触面上所存在的互相施以阻止相对滑动的作用力。,复杂性，电磁力，耗散力, 与相对滑动趋势的指向相反 要有正压力,静摩擦力 static friction, 滑动摩擦力kinetic friction,静摩擦力大小将自动调节，使相对滑动总是不能真的发生。,干摩擦：固体与固体接触面上的摩擦,请思考：M与粗糙的地面之间有摩擦力吗？,a. M与m之间光滑接触 b. M与m之间有摩擦，m静止,例4（P134）：以初速度竖直向上抛一物体。空气阻力正比于速度而变化。试研究物体的运动情况。,（1）隔离物体,（2）具体
24、分析（空气阻力),（3）建立坐标（一维）,（4）运动方程（及初始条件）,（5）求解及分析,分离变量,湿摩擦问题 fluid resistance 湿摩擦力的大小随着相对运动速度的加快而增大. 摩擦为零,（6）分析,（1）(a)t较小时，v0（向上）， (b)t增大，v=0 (最高点）, 0(下降） (c)t, v -mg/h (terminal speed),（2）求最大高度(a) v=0, 求x(b) 直接求速率与位置的关系,例:风向与帆船的航向作角。试研究驱使帆船向前行驶的风力如何取决于帆面的方向。,风束强度I，帆面面积S,研究最有效利用风力 即：dF/d=0 注意：根据具体情况选择答案,练习: 图示为一圆锥摆。悬线长为l,摆锤质量为m。摆锤在水平面内作匀速圆周运动，使悬线扫过一个圆锥面，悬线与竖直方向成 角。（1）求摆的周期（2）三个长度不同的摆，以相同角速度绕竖直方向转动，试分析三个摆锤所在平面的高低。,解：,周期只与摆面高度 有关，角速度相同，故摆面高度相同。,例1（P140）：研究摆长l为的单摆运动。,隔离物体 具体分析（单侧的约束运动),建立坐标（二维“自然”坐标）,内禀运动方程,求解及分析,对于一般角度的摆动, 分析,1， 来回摆动,1， 变速转动,=1， 无限趋直,约束解除 （约束反力的指向出现不合理）,重新讨论3种运动模式的划分条件！,
