1、知识点一 相似三角形与比例线段,(1)平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.(2)推论经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰.,1.平行线等分线段定理,2.平行线分线段成比例定理,(1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.,3.相似三角形,(1)相似三角形的判定判定定理定理1：两角对应相等，两三角形相似.定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.定理3：三边对应成比例，两三
2、角形相似.,引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.直角三角形相似的特殊判定斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似.(2)相似三角形的性质相似三角形对应边上的高、中线、对应角平分线和它们周长的比都等于相似比.相似三角形的面积比等于相似比的平方.(3)直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项.,(1)利用平行截割定理解决问题，特别要注意被平行线所截的直线，找准成比例的线段，得到相应的比例式，有时需要进行适当的变形，从而得到最终的结果.如图，在A
3、BC中，DEBC，EFCD，若BC3，DE2，DF1，则AB的长为_.,一个方法：平行截割定理的应用.,两种技巧：直角三角形射影定理应用技巧.,(2)将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”.作垂线构造直角三角形.如图，在RtABC中，ACB90，CDAB于点D，AD4，AC5.则BC_.,知识点二 直线与圆的位置关系,1.圆周角定理与圆心角定理,(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径.(2)圆心角定理定理：圆心角的度数
4、等于它所对弧的度数.,2.圆的切线,(1)切线的性质及判定切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.(2)切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.(3)弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.,3.圆内接四边形的性质与判定,(1)性质定理定理1：圆的内接四边形的对角互补.定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角. (2)判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个
5、顶点共圆.推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.,4.与圆有关的成比例线段,五种方法：与圆有关的辅助线的作法.,(3)有弦，作弦心距.有直径，作直径所对的圆周角.有切点，作过切点的半径.两圆相交，作公共弦.两圆相切，作公切线如图，ABC中，C90，AB10，AC6，以AC为直径的圆与斜边交于点P，则BP长为_.,解析连接CP.由推论2知CPA90，即CPAB，由射影定理知，AC2APAB.AP3.6，BPABAP6.4.,答案6.4,一个切入点：与圆有关的问题中，圆心、弦的中点，直径等 是解题中首先要考虑的量，往往成为解题的突破口.,(4)如图AB，AC是
6、O的两条切线，切点分别为，B，C，D是优弧上的点，已知BAC80，那么BDC_.,答案50,(1)相似三角形的判定已知有一角相等时，可选择判定定理1与判定定理2；已知有两边对应成比例时，可选择判定定理2与判定定理3；判定两个直角三角形相似时，首先看是否可以用判定直角三角形相似的方法来判定，如不能，再考虑用判定三角形相似的一般方法来判定.(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例，角相等；也可间接证明线段相等.,相似三角形的判定与性质突破方略,点评判定两个三角形相似的几种方法：两角对应相等，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；三边对应成比例，两三角形相似；相似三角形的定义.,(
7、1)与圆有关的比例线段(等积式)的证明常有以下三种方法：利用相似三角形；利用切割线定理、相交弦定理；利用角平分线定理.(2)判定圆的切线的方法以及切线定理的应用判定切线通常有三种方法：()和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线；()到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；()过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线.已知圆的切线时，第一要考虑过切点和圆心的连线得直角；第二应考虑弦切角定理；第三涉及线段成比例或线段的积时要考虑切割线定理.,与圆有关的定理的应用求解策略,【例2】 如图，AB是O的直径，C，F为O上的点，AC是BAF的平分线，过点C作CDAF交AF的延长线于D点，CMAB，垂足为点M.,K
8、,(1)求证：DC是O的切线；(2)求证：AMMBDFDA.,证明(1)如图，连接OC，OAOC，OCAOAC.又AC是BAF的平分线，DACOAC.DACOCA.ADOC.又CDAD，OCCD，即DC是O的切线.,(2)AC是BAF的平分线，CDACMA90，ACAC，ACDACM，CDCM.由(1)知DC2DFDA，连接BC，在RtABC中，CMAB，CM2AMMB，AMMBDFDA.,点评涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理
9、，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理.,证明四点共圆方法,四点共圆问题解题方略,(1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆.(2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆.(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.(4)如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等，且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆.(5)相交弦定理的逆定理.(6)割线定理的逆定理.,【例3】 (2016豫南九校3月模拟)如图，AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦BM与CD相交于点F.,(1)证明：A，E，F，M四点
10、共圆；(2)若MF4BF4，求线段BC的长.,(1)证明连接AM.由AB为直径可知AMB90，又因为CDAB，所以AEF90，所以AMFAEF180，因此A，E，F，M四点共圆.,(2)解连接AC，由A，E，F，M四点共圆，知BFBMBEBA.在RtABC中，BC2BEBA.又由MF4BF4知BF1，BM5，所以BC25，BC .,点评以圆为载体与三角形、四边形相结合的综合性题目，往往要综合运用多个定理以及添加相应的辅助线才能解决，在解题时要注意总结一些添加辅助线的技巧.,与圆有关的证明与计算问题,【示例】 (2013新课标全国卷)如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.,(1)证明如图，连接DE，交BC于点G.由弦切角定理，得ABEBCE，而ABECBE，故CBEBCE，所以BECE.又因为DBBE，所以DE为圆的直径，DCE90.由勾股定理可得DBDC.,
