1、,第三章 泊松过程(Poisson process),第一节 泊松过程的定义和例子,第二节 泊松过程的基本性质,第三节 非齐次泊松过程,第四节 复合泊松过程,1计数过程,则,第一节 泊松过程的定义和例子,注,如果在不相交的时间区间中发生的事件个数是独立的，则称计数过程有独立增量。,若在任一时间区间中发生的事件个数的分布只依赖于时间区间的长度，则称计数过程有平稳增量。,首页,满足,首页,则称,注意,从条件（3）可知泊松过程有平稳增量，且,并称,生起率或强度,（单位时间内发生的事件的平均个数）。,首页,说明,要确定计数过程是泊松过程，必须证明它满足三个条件：,为此给出一个与泊松过程等价的定义,则称
2、,首页,满足,定义3.3,例3.1 考虑某电话交换台在某段时间接到的呼叫. 令X(t)表示电话交换台在(0,t时间段内收到的呼叫次数, 则X(t),t0满足定义3.3中的各个条件,故X(t),t0是一个泊松过程.其实对于任意的0t1t2tn,随机变量X(t2)-X(t1),X(t3)-X(t2),X(tn)-X(tn-1)分别表示,在时间段(t1,t2,(t2,t3,(tn-1,tn内,电话交换台接到的呼叫次数,它们是相互独立的,所以随机过程X(t),t0是一个独立增量过程. 而且对于任意的st,随机变量X(t)-X(s)的分布可以认为仅与t-s有关,故X(t),t0是平稳独立增量过程.,例3
3、.2 考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客.如果记X(t)为在时间(0,t内到达售票窗口的旅客数, 则计数过程X(t),t0满足定义3.3中的各个条件,故是一个泊松过程. 例3.3 考虑机器在(t,t+h)时间段内发生故障的事件. 若机器发生故障,立即修理后继续工作,则在(t,t+h)时间段内机器发生故障而停止工作的事件数,构成一个随机点过程,该过程可以用泊松过程进行描述.,补例,已知商店上午9：00开门，试求到9：30时仅到一位顾客，而到11：30时总计已达5位顾客的概率。,解,设 表示在时间t时到达的顾客数,首页,定理3.1 泊松过程的两种定义,即定义3.2与定义3.3是等价的. 证明:
4、 首先证明定义3.2蕴涵定义3.3. 比较两条定义,由于定义3.2的条件(3)中蕴涵X(t)为平稳增量 过程,所以只需证明由定义3.2的条件(3)可以推出定义3.3的 条件(3).由式PX(t+s)-X(s)=n=e-t ,n=0,1,2,.对充分小的h,有PX(t+h)-X(t)=1=PX(h)-X(0)=1=e-h =h =h1-h+o(h)=h+o(h);PX(t+h)-X(t)2=PX(h)-X(0)2= =o(h).,以下证明定义3.3蕴涵定义3.2. 经比较,只需证明由定义3.3中后两式可以推出定义3.2的(3)式.为此令Pn(t)=PX(t)=n=PX(t)-X(0)=n.根据定
5、义3.3的(2)与(3),有P0(t+h)=PX(t+h)=0=PX(t+h)-X(0)=0=PX(t)-X(0)=0,X(t+h)-X(t)=0=PX(t)-X(0)=0PX(t+h)-X(t)=0=P0(t)1-h+o(h),所以 =-P0(t)+ .令h0取极限得P0(t)=-P0(t) 或 =-.,积分得lnP0(t)=-t+C 即 P0(t)=ke-t. 由于P0(0)=PX(0)=1, 代入前式得 P0(t)=e-t.类似地,对于n1,有Pn(t+h)=PX(t+h)=n=PX(t+h)-X(0)=n=PX(t)-X(0)=n,X(t+h)-X(t)=0+PX(t)-X(0)=n-
6、1,X(t+h)-X(t)=1+PX(t)-X(0)=n-j,X(t+h)-X(t)=j.根据定义3.3的(2)与(3),得Pn(t+h)=Pn(t)P0(h)+Pn-1(t)P1(h)+o(h)=(1-h)Pn(t)+hPn-1(t)+o(h)于是,有,=-Pn(t)+Pn-1(t)+ .令h0取极限得Pn(t)=-Pn(t)+Pn-1(t),所以etPn(t)+Pn(t)=etPn-1(t),因此etPn(t)=etPn-1(t).当n=1时,得etP1(t)=etP0(t)=ete-t=,P1(t)=(t+c)e-t.,由于P1(0)=0, 代入上式得c=0, P1(t)=te-t.以下
7、用数学归纳法证明: Pn(t)= e-t成立.假设n-1时有结论,证对n有:PX(t+s)-X(s)=n=e-t ,n=0,1,2,.根据etPn(t)=etPn-1(t)式,有etPn(t)=et e-t= ,积分得etPn(t)= +c .,由于Pn(0)=PX(0)=n=0, 因而c=0, 所以Pn(t)=e-t .由条件(2)X(t)是独立、平稳增量过程,故有PX(t+s)-X(s)=n=e-t , n=0,1,2,故定义3.3蕴涵定义3.2.,第二节 泊松过程的基本性质,一数字特征,特征函数为,2到达时间间隔和等待时间的分布,定义,则称,则称,首页,定理3.2,证,或,首页,那么类似地有,（增量的独立性）,（平稳独立增量过程）,首页,可见,一般地,首页,这就证明了到达时间间隔序列 是相互独立同分布的随机变量序列，且都具有相同均值为 的指数分布。,首页,定理3.3,其概率密度为,证,因为,所以,首页,于是,首页,又称为爱尔兰分布，它是n个相互独立且服从指数分布的随机变量之和的概率密度。,“电话呼叫”是一个泊松过程.相继出现的第i-1次和第i次电话呼叫的间距距离Ti=Wi-Wi-1(i=1,2,)是一个连续型随机变量,它们都服从参数为的指数分布, 其概率密度为其等待时间Wn也都是连续型随机变量,服从分布, 其 密度函数称爱尔兰分布:,
