1、 1习题五 1.一颗骰子连续掷 4 次，点数总和记为 X.估计 P10= 1000.387 1 (0.387) 0.348,102012VP=3即有 PV1050.348 5. 有一批建筑房屋用的木柱，其中 80%的长度不小于 3m.现从这批木柱中随机地取出 100根，问其中至少有 30 根短于 3m 的概率是多少？ 【解】 设 100 根中有 X 根短于 3m，则 XB（ 100， 0.2） 从而 30 100 0.2301301100 0.2 0.8PX PX= = 1 ( 1.25) (1.25) 0.8944.= = = （ 2） XB（ 100,0.7）， 100175 100 0.
2、7751751100 0.7 0.3iiPX PX= 51 ( ) 1 (1.09) 0.1379.21= = = 7. 用 Laplace 中心极限定理近似计算从一批废品率为 0.05 的产品中，任取 1000 件，其中有20 件废品的概率 . 【解】 令 1000 件中废品数 X，则 p=0.05,n=1000,XB（ 1000,0.05）， E（ X） =50， D（ X） =47.5. 故 120501 30206.895 6.89547.5 47.5PX = = 461304.5 10 .6.895 6.895=8. 设有 30 个电子器件 .它们的使用寿命 T1， ， T30服从参
3、数 =0.1单位：（小时） -1的指数分布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，以此类推 .令 T 为 30 个器件使用的总计时间，求 T 超过 350 小时的概率 . 【解】11() 10,0.1iET= = 21( ) 100,iDT= ( ) 10 30 300,ET = ( ) 3000.DT = 故 350 300 5 350 1 1 1 (0.913) 0.1814.3000 30PT = = =9. 上题中的电子器件若每件为 a 元，那么在年计划中一年至少需多少元才能以 95%的概率保证够用（假定一年有 306 个工作日，每个工作日为 8 小时） . 【解】 设至少需 n 件才
4、够用 .则 E（ Ti） =10， D（ Ti） =100， E（ T） =10n， D（ T） =100n. 从而1 306 8 0.95,niiPT=即306 8 100.05 .10nn故 10 2448 244.80.95 , 1.64 , 272.10nnn= = 所以需 272a 元 . 10. 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、 1 名家长、 2 名家长来参加会议的概率分别为 0.05,0.8,0.15.若学校共有 400 名学生，设各学生参加会议的家长数相与独立，且服从同一分布 . （ 1） 求参加会议的家长数 X 超过 450 的概率？
5、 （ 2） 求有 1 名家长来参加会议的学生数不多于 340 的概率 . 【解】 （ 1） 以 Xi（ i=1,2,400）记第 i 个学生来参加会议的家长数 .则 Xi的分布律为 Xi0 1 2 P 0.05 0.8 0.15 易知 E（ Xi=1.1） ,D（ Xi） =0.19,i=1,2,400. 而400iiX X=,由中心极限定理得 400400 1.1400 1.1(0,1).400 0.19 4 19iiXXN=近似地于是450 400 1.1 450 1 450 1419PX PX=51 (1.147) 0.1357.= = （ 2） 以 Y 记有一名家长来参加会议的学生数
6、.则 YB（ 400,0.8） 由拉普拉斯中心极限定理得 340 400 0.8 340 (2.5) 0.9938.400 0.8 0.2PY =11. 设男孩出生率为 0.515，求在 10000 个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率？ 【解】 用 X 表 10000 个婴儿中男孩的个数，则 XB（ 10000， 0.515） 要求女孩个数不少于男孩个数的概率，即求 PX5000. 由中心极限定理有 5000 10000 0.515 5000 ( 3) 1 (3) 0.00135.10000 0.515 0.485PX =12. 设有 1000 个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为 0.9.以 95%概率估计，在一次行动中： （ 1）至少有多少个人能够进入？ （ 2）至多有多少人能够进入？ 【解】 用 Xi表第 i 个人能够按时进入掩蔽体（ i=1,2,1000） . 令 Sn=X1+X2+X1000. （ 1） 设至少有 m 人能够进入掩蔽体，要求 PmSn10000.95，事件 9001000 0.9 .1000 0.9 0.1 90nnSmmS= 由中心极限定理知： 1000 0.9 1 1 0.95.1000 0.9 0.1nnmPm S PS m= =因此可从1000 102nn 解出 n98.0199, 即最多可装 98 箱 .
