数列的极限讲解.ppt-道客多多_道客多多docduoduo.com

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1、第二节数列的极限一、数列极限的定义二、收敛数列的性质三、收敛准则上一页目录下一页退出引例设有半径为 R 的圆 , 用其内接正 n 边形的面积 An 逼近圆面积 S . 刘徽割圆术 (公元三世纪 ) 概念的引入 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” R正六边形的面积 1A正十二边形的面积 2A正形的面积 126 n nA , 321 nAAAA S上一页目录下一页退出 2、截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” ;211 X第一天截下的杖长为;2 121 22 X为第二天截下的杖长总和;2 12 121 2

2、 nnXn 天截下的杖长总和为第nnX 211 1上一页目录下一页退出一、数列极限的定义定义 : 按自然数 ,3,2,1 编号依次排列的一列数 ,21 nxxx ( 1)称为无穷数列 , 简称数列 . 其中的每个数称为数列的项 , nx 称为通项 ( 一般项 ) . 数列 ( 1) 记为 nx .例如 ;,2,8,4,2 n;,21,81,41,21 n2 n21 n上一页目录下一页退出注意： 1.数列对应着数轴上一个点列 .可看作一动点在数轴上依次取 ., 21 nxxx1x 2x3x 4x nx2.数列是整标函数 ).( nfx n ;,)1(,1,1,1 1

3、 n)1( 1 n;,)1(,34,21,21 nnn )1(1nn n ,333,33,3 上一页目录下一页退出随着 n 趋于无穷 , 数列的通项有以下两种变化趋势 : 时的变化趋势：当观察上述数列 n可以看到 , (1)通项无限趋近于一个确定的常数 ; (2) 通项不趋近于任何确定的常数 . 问题 : 当无限增大时 , 是否无限接近于某一确定的数值 ?如果是 ,如何确定 ? nxn.1)1(1,1无限接近于无限增大时当 nxnnn问题 : “无限接近”意味着什么 ?如何用数学语言刻划它 . 1nx nnn11)1( 1 通过上面演示实验的观察 : 上一页目录下一页退

4、出 ,1001给定 ,10011 n由 ,1 0 0 时只要 n ,10011 nx有,1 0 0 01给定 ,1 0 0 0 时只要 n,10000 11 nx有,1 0 0 0 01给定 ,1 0 0 0 0 时只要 n,100011 nx有,0给定 ,)1( 时只要 Nn .1 成立有 nx上一页目录下一页退出定义如果对于任意给定的正数 ( 不论它多么小 ), 总存在正数 N , 使得对于 N n 时的一切 n x , 不等式 a x n 都成立 , 那末就称常数 a 是数列 n x 的极限 , 或者称数列 n x 收敛于 a , 记为 , lim a x n n 或

5、 ). ( n a x n 如果数列没有极限 ,就说数列是发散的 . 注意： ;.1 的无限接近与刻划了不等式 axax nn 2 有关与任意给定的正数 N上一页目录下一页退出 x1x2x 2Nx1Nx 3x几何解释 : 2a aa.)(,),(,落在其外个至多只有只有有限个内都落在所有的点时当NaaxNn n :定义N其中 ;: 每一个或任给的 .: 至少有一个或存在.,0,0limaxNnNaxnnn恒有时使上一页目录下一页退出数列极限的定义未给出求极限的方法 . 例 1 .1)1(lim1 nn nn证明证 1nx 1)1( 1 nn nn1,0任给 ,1 nx要 ,1

6、 n只要 ,1n或所以 , ,1N取 ,时则当 Nn 1)1(1nn n就有 .1)1(l i m 1 nn nn即注意：上一页目录下一页退出例 2 .l i m),( CxCCx nnn 证明为常数设证 Cxn CC ,成立,0任给所以 , 0,n对于一切自然数.l i m Cx nn 说明 :常数列的极限等于同一常数 . 小结 : 用定义证数列极限存在时 ,关键是任意给定寻找 N,但不必要求最小的 N. ,0上一页目录下一页退出例 3 .1,0lim qq nn 其中证明证 ,0任给,0 nn qx ,lnln n,lnln qN 取 ,时则当 Nn ,0 nq就

7、有 .0l i m nn q,0q若 ;00limlim nnn q则,10 q若,lnln qn 上一页目录下一页退出例 4 .lim,0lim,0axaxxnnnnn求证且设证 ,0任给.l i m ax nn 故,lim ax nn ,1 axNnN n时恒有使得当axaxaxnnn 从而有aax n a1 上一页目录下一页退出例 4-1 证 .1lim1 nn aa 时，证明当注意到 .1n a,0 为了使 1n a .1n a,01 nn a 令于是 a = nn )1( nnnn 1nn nn 1 nan 因此 , ,an , aN取则当 n N 时 ,有

8、nn a 1nn a 1 . .1l i m nn a即只要使 ,na二、收敛数列的性质 1、有界性定义 : 对数列 nx , 若存在正数 M , 使得一切自然数 n , 恒有 Mx n 成立 , 则称数列 nx 有界 ,否则 , 称为无界 .例如 , ;1 n nx n数列 .2 nnx 数列数轴上对应于有界数列的点 nx 都落在闭区间, MM 上 .有界无界上一页目录下一页退出收敛数列的有界性 nx如果数列收敛 ,那么数列 nx 一定有界 . 问题对于无限多项，.),2,1( nx n如何求 M ？ M可取.1, . . . ,m a x 21 axxx N定理

9、1 收敛的数列必定有界 . 证 ,lim ax nn 设由定义 , ,1取,1, axNnN n时恒有使得当则.11 axa n即有,1,1,m a x 1 aaxxM N记, Mxn n 皆有则对一切自然数 .有界故 nx注意：有界性是数列收敛的必要条件 . 推论无界数列必定发散 . 上一页目录下一页退出关系：收敛有界 nx nx注极限的唯一性 2、唯一性定理 2 每个收敛的数列只有一个极限 . 证 ,lim,lim bxax nnnn 又设由定义 , 使得.,0 21 NN ;1 axNn n时恒有当;2 bxNn n时恒有当 ,ma x 21 NNN 取时有

10、则当 Nn )()( axbxba nn axbx nn .2 .时才能成立上式仅当 ba 故收敛数列极限唯一 . 上一页目录下一页退出例 5 .)1( 1 是发散的证明数列 nnx证 ,lim ax nn 设由定义 , ,21对于,21, 成立有时使得当则 axNnN n),21,21(, aaxNn n时即当区间长度为 1. ,1,1 两个数无休止地反复取而 nx不可能同时位于长度为 1的区间内 . ., 但却发散是有界的事实上 nx上一页目录下一页退出 3、保号性定理 3 若 =a,a 0（或 a 0），则 N 0,当 n N时 , 0（或 0） . lim

11、nn xnx nx证由极限定义，对，，当时，，即，故当时， . 类似可证的情形 . 02a 0N nN2naxa 322na xa nN02n ax 0a上一页目录下一页退出 3、子数列的收敛性的子数列（或子列）的一个数列称为原数列到中的先后次序，这样得这些项在原数列保持中任意抽取无限多项并定义：在数列nnnxxx , 21 ni xxxx , 21 knnn xxx .knxxxkxxkknnnnkkk项，显然，中却是第在原数列而项，是第中，一般项在子数列注意：例如，上一页目录下一页退出定理 4 收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同证的任一子数列

12、是数列设数列 nn xxk,lim ax nn .,0,0 axNnN n恒有时使,NK 取,时则当 Kk .Nnnn Kkk . ax kn .l i m ax knk 证毕上一页目录下一页退出定义 5 数列 xn的项若满足 x1x2 xnxn+1 ,则称数列 xn为单调增加数列 ; 若满足 x1x2 xnxn+1 ,则称数列 xn为单调减少数列 ; 当上述不等式中等号都不成立时 ,则分别称 xn 是严格单调增加和严格单调减少数列 . 收敛准则单调增加且有上界的数列必有极限 ;单调减少有下界的数列必有极限 . 三、收敛准则上一页目录下一页退出 .)11(,)111

13、()11(,111,11)1()(1()(,0.)11(.)11(5111111是单调增加的即数列得代入取即有时当单调增加且有上界只需证明证收敛证明数列例nnnnnnnnnnnnnnnnnnbnabnabnaabanbabbaabababann上一页目录下一页退出上一页目录下一页退出五、小结数列 :研究其变化规律 ; 数列极限 :极限思想、精确定义、几何意义 ; 收敛数列的性质 : 有界性、唯一性、子数列的收敛性 . 上一页目录下一页退出一、利用数列极限的定义证明 :1 、231213l i m nnn；2 、 19. . . .9 9 9.0lim n二、设数列 nx 有界，又 0lim nny ，证明： 0lim nnnyx .练习题上一页目录下一页退出

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