1、1,LTI系统基本性质。,本章主要内容：,LTI系统的时域分析卷积积分与卷积和。,卷积的性质。,信号的时域分解用 表示离散时间信号； 用 表示连续时间信号。,第二章 LTI系统的时域分析与卷积运算,说明：此课件对应于教材第2章的2.1-2.3节；教材2.5节不作要求；2.4节关于LTI系统的方程描述以后再讲。,2,2.0 引言 ( Introduction ),基本思想：若能把任意输入信号分解成基本信号的线性组合，那么只要得到了LTI系统对基本信号的响应，就可以利用系统的线性特性，将系统对任意输入信号产生的响应表示成系统对基本信号的响应的线性组合。,利用LTI系统满足齐次性和可加性，并且具有时
2、不变性的特点，为建立信号与系统分析的理论与方法奠定基础。,3,问题的实质：,以什么信号作为构成任意信号的基本信号；如何用基本信号的线性组合来构成任意信号；如何得到LTI系统对基本信号的响应。,基本信号应满足以下要求：,本身尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示尽可能广泛的其它信号；LTI系统对这种信号的响应易于求得。,4,如果解决了信号分解的问题，即：若有,则,将信号分解可以在时域进行，也可以在频域或其它变换域（例如拉普拉斯变换、Z变换、小波变换等）进行，相应地就产生了对LTI系统的时域分析法、频域分析法和S域分析法、Z域分析法、小波域分析法，等等。,分析方法：,2.1 离散时间LTI系统：卷
3、积和,一. 用单位脉冲表示离散时间信号,（Discrete-Time LTI Systems:The Convolution Sum）,单位脉冲序列,回顾:,具有提取信号 中某一点的样值的作用。,6,7,于是有：,单位脉冲序列的筛选性质:任何信号xn都可以被分解成加权、移位的单位脉冲信号的线性组合。,8,二、离散时间LTI系统的单位脉冲响应,单位脉冲响应 hn :LTI 系统对单位脉冲序列n 的响应： n hn,为什么需要hn? 由n的筛选特性，任意xn可表示为n 的延迟、加权的线性组合由LTI系统的线性性质，yn就是hn 的延迟、加权的线性组合,9,三、离散时间LTI系统对任意输入信号的响应
4、：卷积和,Solution:,Question:,已知： n hn由时不变性： n-k hn-k由齐次性： xkn-k xk hn-k,系统对输入信号xn的响应yn是一系列经延迟的单位脉冲响应的线性组合。,最后由可加性可得：,10,卷积和（简称 卷积）,记为:,- 卷积和,因此，单位脉冲响应hn可以完全刻画一个LTI系统 的所有性质。,根据卷积和公式，由单位脉冲序列的筛选性质可得：,-任意信号和n卷积等于其自身,11,（Continuous-Time LTI Systems:The convolution integral）,一. 用冲激信号表示连续时间信号,对一般信号 ，可以将其分成很多 宽
5、度的区段，用一个阶梯信号 近似表示 。当 时，有,2.2 连续时间LTI系统：卷积积分,12,定义 则有：,第k个矩形可表示为： 这些矩形叠加起来就成为阶梯形信号 ，即：,注:请注意到这里每个矩形是表示为xk和面积 的乘积，而该面积为1。,13,取极限可得：,当 时，,故：,-单位冲激信号的筛选性质,14,单位冲激响应h(t) -LTI 系统对输入信号 (t)的响应 (t) h(t),二、连续时间LTI系统的单位冲激响应,15,三、连续时间LTI系统对任意输入信号的响应:卷积积分,表明:LTI系统可以完全由它的单位冲激响应 来表征。,于是系统对任意输入 的响应可表示为：,-卷积积分(简称卷积)
6、,与离散LTI系统类似已知： (t) h(t)由时不变性： (t-) h(t-)由齐次性： x() (t-) x()h(t-),根据卷积积分公式，由单位冲激信号的筛选性质可得：,-任意信号和(t)卷积等于其自身,16,卷积和/卷积积分的计算基本步骤：,自变量 hn hk， h(t) h()，替换： xn xk x(t) x()反转： hk h-k h() h(-)时移: h-k hn-k h(-) h(t-)相乘： xkhn-k x()h(t-)求和/积分：,两种常用的求卷积方法：图解法和解析法,17,例:(图解法)一个 LTI系统的单位脉冲响应为hn，输入信号为xn，如下图(a)所示。求系统
7、的输出响应。,18,2,(h0k),(h-1k),19,yn的取值范围？或者说n取哪些值时， yn =0？,所以，yn的有效取值范围是-2n4,20,例:(图解法)求下图所示两个信号x(t)和h(t)的卷积,当 t1 : x()h(t-) = 0所以,21,22,23,故：,24,或者写成,25,例: 设x1n=e-nun，x2n=un, 求x1n*x2n。,解 由卷积和定义式得,显然，上式中n0，故应写为,26,例：(解析法)求信号 和 的卷积,27,2.3 线性时不变系统的性质（ Properties of Linear Time-Invariant Systems）,一. 卷积积分与卷积
8、和的性质,1. 交换律：,28,结论：,一个单位冲激响应是 的LTI系统对输入信号 所产生的响应，与一个单位冲激响应是 的LTI系统对输入信号 所产生的响应相同。,29,2. 分配律：,结论：两个LTI系统并联，其总的单位脉冲(冲激)响应等于各子系统单位脉冲(冲激)响应之和。,=,30,3. 结合律:,结论:两个LTI系统级联时，系统总的单位冲激(脉冲)响应等于各子系统单位冲激(脉冲)响应的卷积。,=,31,由于卷积运算满足交换律，因此系统级联的先后次序可以调换。,=,32,4. 卷积运算还有如下性质：,卷积积分满足微分、积分及时移特性：,若 ，则,微分特性：积分特性：时移特性：,h(t),x
9、(t)x(t-t0),y(t)y(t-t0),时移特性即对应于LTI系统的时不变特性：,33,微分特性的证明：,积分特性的证明与微分特性类似，从略,时移特性的证明：,本页仅供学有余力同学参考,34,卷积和满足差分、求和及时移特性：,证明略,若 ，则,差分特性：求和特性：时移特性：,35,例：求下列卷积积分,36,例：求信号 的卷积,恰当地利用卷积的性质可以简化卷积的计算：,本例题的两种解法仅供学有余力同学参考,37, 当 时，, 当 时，, 当 时，, 当 时，, 当 时，,图解法,38,将 微分一次有:,根据微分特性有:,解法二,由积分公式可得:,39,二.LTI系统的性质,1. 记忆性：,
10、LTI 系统的特性（记忆性、可逆性、因果性、稳定性）都应在其单位冲激/脉冲响应中有所体现。,如果LTI系统的单位冲激/脉冲响应不满足上述要求，则系统是记忆的。,40,2. 可逆性：,因此有：,如果LTI系统可逆，一定存在一个逆系统，且逆系统也是LTI系统，它们级联起来构成一个恒等系统。,41,42,3. 因果性：,LTI系统具有因果性的充分必要条件： 连续时间系统： 离散时间系统：,为什么？,43,4. 稳定性：,LTI系统稳定的充分必要条件： 连续时间系统： 离散时间系统：,证明：,44,45,5. LTI系统的单位阶跃响应：,在工程实际中，常用单位阶跃响应(记为s(t)或sn)来描述LTI
11、系统。单位阶跃响应就是系统对 或 所产生的响应。因此有:,例如一个RC电路系统由直流电源供电,若电源电压为1伏，则输出信号(电容上的电压）就可以看作该电路系统的单位阶跃响应。,46,例题：LTI系统的单位阶跃响应,解：根据LTI系统的微分特性,47,48,本章小结：,1. 信号的时域分解: 又叫单位脉冲(冲激)信号 的筛选特性,2.LTI系统的时域分析: 卷积和: 卷积积分:,系统级联、并联时， 与各子系统的关系。,记忆性、因果性、稳定性、可逆性与 的关系；,3. LTI系统的特性与 的关系：,49,信号卷积运算。由h(t)和hn判断LTI系统的记忆性、因果性、稳定性和可逆性。,本章重点与难点,
